E tátisca 1 Equilibrio 1.Equilibrio 2.Centros de gravedad y g y 3

E táti
Estática
1.Equilibrio
1
Equilibrio
2.Centros de g
gravedad y
3.Momentos de inercia
Parte de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos
Parte de la física que estudia las relaciones existentes
entre las fuerzas que actúan en un cuerpo para que se
encuentre en equilibrio
Un punto está en equilibrio si la resultante de las
fuerzas aplicadas es nula
G G
ΣF = 0
Un sólido/sistema está en equilibrio si 1) la resultante
de las fuerzas aplicadas es nula y 2) el momento
resultante de las fuerzas aplicadas es nulo
G G
ΣF = 0
G G
ΣM = 0
∑F
=0
x
∑F
y
P
=0
∑M
O
f s − F1 = 0
Fn − P = 0
=0
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
En el equilibrio la resultante
de las fuerzas aplicadas es
nula
G G
ΣF = 0
Si la resultante de las
fuerzas
aplicadas
es
conservativa,
se
puede
expresar por
∑
G
G
F = −∇
∇U
En las posiciones de equilibrio la energía potencial debe ser
máxima o mínima
Si al separarse de la posición de equilibrio, el sistema
retorna a dicha posición, el equilibrio es estable
Si al separarse de la posición de equilibrio,
equilibrio el sistema se
aleja cada vez más de dicha posición el equilibrio es
inestable
Si all separarse de
d la
l posición
i ió de
d equilibrio
ilib i ell sistema
i t
sigue
i
estando en una posición de equilibrio análoga a la inicial el
equilibrio es indiferente
Estable
Indiferente
Inestable
q
estable → Energía
g p
potencial mínima
Equilibrio
Equilibrio inestable → Energía potencial máxima
Equilibrio
l b indiferente
df
→ Energía
í potenciall constante
Estable
Inestable
Imágenes: ©2004 Física. Tipler-Mosca by W.H. Freeman and Company
Indiferente
El centro de gravedad de un sistema de puntos materiales (o
un sólido)
ólid ) es ell punto
t del
d l espacio
i en ell que se considera
id
que
está aplicado el peso.
Es un p
punto único, independiente
p
de la p
posición y orientación
del sólido
G
•G
G
Cada partícula i del sistema, está situada en un punto de
coordenadas
d
d (x
( i, yi, zi) respecto a un sistema
i
d referencia
de
f
i
cartesiano, y tiene un peso pi.
Z
mi(xi, yi, zi)
Pi
zi
Y
xi
yi
X
El centro de gravedad de un sistema, es un punto del espacio en el
que se puede considerar que está aplicada la resultante de los
pesos de cada una de las partículas que constituyen el sistema.
Z
p2
p1
X
Z
p3
p4
•G
Y
pn
Y
X
P
Sistema 1 (n pesos) = Sistema 2 ( resultante de los n pesos)
El sistema constituido pon n
pesos, se puede sustituir por el
peso resultante aplicado en el
centro de gravedad,
gravedad
y la
resultante
y
el
momento
resultante es el mismo
El centro de gravedad G está
situado en un punto de
coordenadas (xG, yG, zG) respecto
a dicho sistema de referencia y
en él se aplica la resultante de
t d los
todos
l pesos P
n
m x + ... + mn xn
=
xG = 1 1
m1 + ... + mn
∑m x
i i
i =1
n
∑m
i
i =1
n
m y + ... + mn yn
=
yG = 1 1
m1 + ... + mn
∑m y
i
i =1
n
i
∑m
i
i =1
n
m1 z1 + ... + mn zn
zG =
=
m1 + ... + mn
∑m z
i =1
n
i i
∑m
i =1
i
Z
M
dm
1
xG =
M
∫ xdm
L
L
r
z
Y
1
yG =
M
∫ ydm
1
zG =
M
∫ zdm
L
x
y
X
L
Z
M
A
dA
z
Y
x
y
X
1
xG =
M
∫∫ xdm
1
yG =
M
∫ ydm
1
zG =
M
d
∫ zdm
A
L
L
Z
M
dV
r
z
1
xG =
M
∫∫∫ xdm
1
yG =
M
∫∫∫ ydm
1
zG =
M
d
∫∫∫ zdm
Y
x
y
X
v
v
v
El área generada cuando una curva plana y homogénea gira
en torno a un eje contenido en su plano, pero que no la
corta es igual a la longitud L de la curva por la longitud de la
circunferencia que describe el centro de gravedad al girar
A
L
yG
B
ω
A
X
L
yG
B
X
La curva AB, de longitud L, al gira en torno a X describe una
circunferencia de radio yG: A= 2πyG·L
El volumen generado cuando una superficie plana y
h
homogénea
é
gira
i en torno a un eje
j contenido
id en su plano,
l
pero
que no la corta es igual al área de la superficie por la longitud
de la circunferencia que describe el centro de gravedad al girar
yG
ω
yG
X
La superficie, de área A, al gira en torno a X describe una
circunferencia de radio yG: V= 2πyG·A
vi = ω ri
n
n
1
1
1 2 n
2
2 2
EC = ∑ mi vi =∑ miω ri = ω ∑ mi ri 2
2
i =1 2
i =1 2
i =1
n
EC =
1
I ejeω 2
2
I eje = ∑ mi ri
i =1
2
n
n
i =1
i =1
I O = ∑ mi ri 2 =∑ mi ( xi2 + yi2 + zi2 )
Z
n
IYOX = ∑ mi zi2
mi(xi, yi, zi)
i =1
n
IYOZ = ∑ m x
i =1
2
i i
ri
zi
Y
n
I XOZ = ∑ mi yi2
xi
yi
i=1
X
El momento de inercia respecto a un punto es la suma de
los momentos de inercia respecto a tres planos
perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
I O = I XOY + I XOZ + IYOZ
El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma
de los momentos de inercia respecto a tres ejes
perpendiculares entre sí que se corten en dicho punto
1
I O = ( I OX + I OY + I OZ )
2
El momento de inercia respecto
p
a un p
punto es la suma del
momento de inercia respecto a un eje y el momento de
inercia respecto a un plan perpendicular a él que se corten en
dicho punto
I O = I OZ + I XOY = I OY + I XOZ = I OX + IYOZ
El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los
momentos de inercia respecto a los dos planos
perpendiculares entre sí que se corten en dicho eje
IOX = I XOY + I XOZ
I OY = I XOY + IYOZ
I OZ = I XOZ + IYOZ
Si la figura está en el plano YOZ
IYOZ = 0
I OX = I XOY + I XOZ
Z
Y
X
I OY = I XOY
I OZ = I XOZ
1
I O = ( I OX + I OY + I OZ ) = I OY + I OZ
2
I O = IYOZ + I OX = I OX
I O = I XOY + I OZ
I O = I XOZ + I OY
En una figura
g
plana,, el momento de inercia respecto
p
p
a un
punto es la suma de los momentos de inercia respecto a dos
ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano, que se
cortan
t en dicho
di h punto
t
En una figura plana,
plana el momento de inercia respecto a un
punto es igual al momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la figura, que pase por dicho punto
En una figura plana, el momento de inercia respecto a un eje
contenido en el plano, es igual al momento de inercia respecto
a un plano perpendicular a él que le corte en dicho eje
Respecto a las rectas OX, OY
Y
mi
n
PXY = ∑ mi xi yi
i=1
yi
X
xi
Z
G
I O = I G + Md
2
1
d1
O
Y
X
El momento de inercia respecto a un punto O es la suma del momento de
inercia respecto
p
al centro de g
gravedad G y de la masa total del sistema p
por
el cuadrado de la distancia que separa los puntos G y O
d2
Z
G
I OZ = I GZ + Md
O
2
2
Y
X El momento de inercia respecto a un eje cualquiera (OZ) es la suma del
momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por el centro de
gravedad G (Eje CZ) y la masa total del sistema por el cuadrado de la
distancia que separa los dos ejes
Z
G
d3
O
I XOY = I XGY + Md
2
3
Y
X
El momento de inercia respecto a un plano cualquiera (XOY) es la suma del
momento de inercia respecto a un plano paralelo que pase por el centro de
gravedad
d d G (Plano
(Pl
XGY) y la
l masa total
t t l del
d l sistema
i t
por ell cuadrado
d d de
d la
l
distancia que separa los dos planos
El momento de inercia respecto a un punto, eje o plano es
igual al momento de inercia respecto a un punto,
punto eje o
plano paralelo al anterior y que pase por el centro de
gravedad, mas la masa total del sistema por el cuadrado de
la distancia que separa ambos puntos, ejes o planos