www.clasesalacarta.com Variable aleatoria discreta P X = xi = pi

www.clasesalacarta.com
04.- Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad _ Estadística Aplicada y
Cálculo Numérico
Variable aleatoria discreta
Función de probabilidad
P X = x i = pi ≥ 0
Función de distribución
; i=1, 2,…
∞
F x = P X≤x =
pi = 1
P X = xi
=
xi≤x
i=1
pi
xi≤x
Esperanza
De la variable
De la función
∞
EX=
xi P X = xi
E Y = E h(X) =
i
h x i P X = xi
i=1
Variable aleatoria continua
Función de Densidad o de Probabilidad
b
P a≤X≤b =
f x dx ;
Función de Distribución
x
F x =P X≤x =
a, b ∈ R
f u du
-∞
a
f x ≥ 0; ∀ x
∞
P (X=a) = 0
f x dx = 1
P(a  X  b)= F(b)–F(a)
-∞
Esperanza
De la variable
EX=
∞
De la función
x f x dx
E Y = E h(X) =
-∞
∞
h x f x dx
-∞
Propiedades de la Esperanza
E[aX] = a E[X], a  R
Varianza
Var[X]= E[(X-E[X])2] = E[X2] – E[X]2  0
Propiedades
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
Var[X] = 0  X es cte
Var[aX] = a2Var[X]  a cte
Var[aX + b] = a2Var[X]  a, b ctes
E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y], a, b  R
Independencia
Variable Discreta
P X = x, Y = y = P X = x ∙ P Y = y
Variable Continua
∀ x, y
f x, y = fX x ∙ fY y
∀ x, y
Distribuciones Discretas
Distribución Binomial: B(n, p)
Función de Densidad
Media
n
P X=k =
pk qn-k
k
Varianza
μ = E(X) = np
Función de Distribución
0
P xi
i=1
1
 = Var(X) = n p q
X1:B(n1, p)
X2:B(n2, p)
si x < 0
k
F X =
2
si 0 ≤ x ≤ n
X1 + X2: B(n1+n2, p)
si x > n
Distribución de Poisson
Función de Densidad
Media
e-λ 𝜆k
P X=k =
si k=0,1…
k!
Función de Distribución
X
F x =
x=0
e-λ ∙ 𝜆k
k!
Varianza
2
μ = E(X) = 
 = Var(X) = 
X1:P( 1)
X1 + X2: P(1 + 2)
X2:P( 2)
1
www.clasesalacarta.com
04.- Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad _ Estadística Aplicada y
Cálculo Numérico
2
Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
Función de Densidad
Media
1
si a ≤ x ≤ b
f x = b-a
0
en otro caso
E[X]= μ =
Varianza
b+a
2
b+a
2
E[X]= μ =
Distribución Normal: N (, )
Función de Densidad
f x =
-
1
x-μ 2
2 σ2
2 μ σ2
Media
Varianza
E[X]= μ
Var(X) = 2
X1:N(1, 1)
X2:P(2, 2)
X=X1+X2:N μ1 +μ2,
Tipificada
X-μ
x-μ
P
≤
=P Z≤z
σ
σ
σ21+σ22
1- α
P
Z<Zα
= 1-α
2
Intervalos Caracte rístico s
(μ - σ ,
(μ - 2σ ,
(μ – 3σ ,
68.03%
95%
99.7%
μ + σ)
μ + 2σ)
μ +3σ)
Distribución Exponencial
Función de Densidad
−𝜆x
f x = 𝜆e
0
Media
Varianza
Función de Distribución
1
1
Var x = 2
E x =
λ
λ
Suma de variables independientes
si x ≥ 0
si x < 0
−𝜆x
F x = P(X ≤ x) 1 - e
0
X1,X2,...,Xn  Xi  =E[X] 2=V[X]
X=
E [ X1,X2,...,Xn] = n  2
E [ X1,X2,...,Xn] = n 
si x ≥ 0
si x < 0
xi
n
μ X =μ
VX=
σ2
n
Teorema Central del Límite
Binomial  Normal
n > 30
0.1< p < 0.9
B n, p → N np,
Poisson  Normal
npq
λ >5
P λ → N λ,
Corrección de Yates
P(X=a)=P(a-0.5Za+0.5)
P(X>a)=P(Za+0.5)
P(Xa)=P(Za+0.5)
P(Xa)=P(Za-0.5)
P(X<a)=P(Za-0.5)
P(aX<b)=P(a-0.5Zb+0.5)
λ