Formulario de Estadística (I.T. Telemática)

Formulario de Estadística (I.T. Telemática)
Curso 2005/2006
PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Combinaciones
C n ,m
Desigualdad de Tchebychev
⎛n⎞
n!
= ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ m ⎠ m!(n − m)!
1
P ( X - µ > kσ ) ≤ 2
k
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
Distribución Bernoulli, X~B(p)
f (0) = p,
Distribución Uniforme, X~U(a,b)
⎧⎪ 1
a≤ x≤b
f ( x) = ⎨ b - a
⎪⎩0
en otro caso
b+a
(b - a) 2
E( X ) =
Var(X) =
2
12
f (1) = 1 − p, E ( X ) = p, Var ( X ) = p (1 − p )
Distribución Exponencial, X~Exp( λ )
Distribución Binomial, X~B(n,p)
⎧⎛ n ⎞ x
x = 0,1, 2, ..... , n
E ( X ) = np
⎪⎜ ⎟ p (1 − p) n − x
f ( x) = ⎨⎜⎝ x ⎟⎠
⎪
en otro caso
Var ( X ) = np(1 − p)
0
⎩
Distribución Geométrica, X~G(p)
⎧ p (1 − p ) x −1
x = 1, 2, .....
E( X ) = 1/ p
f ( x) = ⎨
en otro caso Var ( X ) = (1 − p ) / p 2
⎩0
Distribución de Poisson, X~P( λ )
⎧ λ x e −λ
⎪
f ( x) = ⎨
x!
⎪⎩0
x = 0, 1, 2,.....
en otro caso
E ( X ) = Var ( X ) = λ
⎧λ e − λx
f ( x) = ⎨
⎩ 0
x≥0
E( X ) =
resto
Distribución Normal, X~N ( µ , σ )
f ( x) =
1
σ 2π
−
( x−µ )2
e
E( X ) = µ
2σ 2
∀x ∈ ℜ
Var ( X ) = σ 2
1
λ
Var(X) =
1
λ2
• Diferencia de medias muestrales con varianzas conocidas
una
m.a.s.
de
Si
X1
con
X 11 , X 12 ,........, X 1,n1 es
MUESTREO
Principales estadísticos
Media muestral :
X
∑X
=
n
i
E ( X 1 ) = µ1 y Var( X 1 ) = σ 12 y X 21 , X 22 ,........, X 2,n2 es una m.a.s. de
Varianza muestral :
S
2
∑(X
=
i
− X )2
n −1
Proporción muestral :
Pˆ =
∑X
n
i
,
X i ~ B( p)
DISTRIBUCIONES MUESTRALES (Exactas en poblaciones
normales)
X variable aleatoria poblacional, E ( X ) = µ Var ( X ) = σ 2
( X 1 , X 2 ,........, X n ) muestra aleatoria simple de X.
X 2 con E ( X 2 ) = µ 2 y Var( X 2 ) = σ 22
⎛
σ 12 σ 22 ⎞⎟
+
N ⎜ µ = µ1 − µ 2 , σ =
⎜
n
n 2 ⎟⎠
1
⎝
• Diferencia de medias muestrales con varianzas desconocidas
Si X 11 , X 12 ,........, X 1,n1 es una m.a.s. de X 1 con E ( X 1 ) = µ1 y
X1 - X 2
X 21 , X 22 ,........, X 2,n2 es una m.a.s. de X 2 con E ( X 2 ) = µ 2
X 1 − X 2 − ( µ1 − µ 2 )
S12 S 22
+
n1 n2
•
Media muestral con varianza conocida
⎛ σ ⎞
X ≈ N ⎜⎜ µ ,
⎟⎟
n⎠
⎝
• Media muestral con varianza desconocida
⎞
⎛
⎟
⎜
⎜X −µ⎟ ≈ t
t-Student con n-1 grados de libertad
n -1
⎜ S ⎟
⎟
⎜
n ⎠
⎝
•
Proporción muestral
⎛
p (1 − p) ⎞
⎟
Pˆ ≈ N ⎜⎜ µ = p, σ =
⎟
n
⎝
⎠
≈
≈ t k (Aproximadamente)
con k = inf( n1 − 1, n 2 − 1)
•
Diferencia de medias muestrales con varianzas desconocidas
pero iguales
Si X 11 , X 12 ,..., X 1,n1 es una m.a.s. de X 1 con E(X1 ) = µ1 , Var(X1 ) = σ 2
y X 21 , X 22 ,...., X 2,n2 es m.a.s. de X 2 con E( X 2 ) = µ2 , Var(X1 ) = σ 2
X 1 − X 2 − ( µ1 − µ 2 )
Sp
1
1
+
n1 n 2
sigue una distribucion t-Student con n1 + n 2 − 2
(n1 − 1) S1 + ( n 2 − 1) S 2
n1 + n 2 − 2
2
grados de libertad, donde S p2 =
2