DISEMINACIÓN DE MASAS DE ALTA EXACTITUD POR EL

DISEMINACIÓN DE MASAS DE ALTA
EXACTITUD POR EL METODO
DE GAUSS MÁRKOV DESDE
1 mg HASTA 1 kg
Expositora: Luz Cori A.
Fecha 2012-05-17
1. MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS - MCO Y
GAUS MARKOV - GM
1.1. Modelo Matemática MCO-GM
 En este modelo de diseminación se realiza una serie de comparaciones que a su vez
genera un número igual de ecuaciones en donde las incógnitas son los valores de
masa de las pesas (a excepción de la pesa patrón involucrada), generalmente estos
modelos se usan por décadas de 1 kg a 100 g, de 100 g a 10 g , … ó de 1 kg a 10 kg
•
La solución de estos sistemas de ecuaciones implica un mayor número de mediciones
y el uso de matemáticas más complejas que para la calibración de pesas por
comparación una a una, sin embargo, debido a la necesidad de generar la escala de
masa a partir de 1 kg y a la posibilidad de obtener resultados muy confiables al
introducir patrones de control, estos métodos son recomendados para la calibración
de pesas clase OIML E1
1.2. Mínimos cuadrados Ordinarios - MCO
 En este método, se analizaran los principales supuestos del estimador de mínimos
cuadrados ordinarios paso a paso donde se demuestra cada supuesto de: linealidad,
esperanza nula, insesgadez, ausencia de autocorrelación, matriz de varianza y
covarianza, en presencia de una matriz de varianza y covarianza de los errores, para
llegar al menor estimado.

 Para este método consideramos el modelo lineal general,
Y  X 
(1)
donde  es el error,  es el mejor estimado del modelo lineal y X es la matriz de
diseño, y la matriz columna “ Y “ se obtiene de la siguiente ecuación
yi  mi   ai Vp  Vx i
donde:
mi
ai Vp  Vx i
es la diferencia del patrón y la muestra de un ciclo de
mediciones
es la densidad del aire por la suma de volúmenes de la pesas
del patrón y la muestra
 Supuestos del Estimador de Mínimos Cuadrados
Ordinarios

S1-Linealidad:

Y  X    sigue siendo lineal en el vector de parámetros β y la
El modelo

variable dependiente Y es una función lineal de β , tal como se observa en la
siguiente ecuación:
T

T
X YX Xβ
X X 
T
1
T

T
X Y X X

1
T



β  XTX
X Xβ

1
(2)
X TY
Para comprobar que los parámetros estimados son una combinación lineal de las
perturbaciones aleatorias del modelo basta con sustituir Y por su expresión
completa
(ecuación 2)
Entonces tenemos:

  XY
β  X X  X ( X    )
β  X X  X X   X X 
β  XTX
1
T

1
T

T
T
1
T
T
1


β    XTX
X T

1
X T
(3)
S2-Esperanza nula
otro supuesto de MCO indica que
matemáticamente es cero.
 es
el error del ajuste, cuya esperanza
E ( )  0
S3-Insesgadez
En primer lugar, contar con un estimador insesgado nos asegura que el valor esperado
de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro. Este requisito es
fundamental a la hora de realizar una estimación. Partiendo de la ec. (3)


 X
E ( β )  E   X X  X  
E ( β )  E    X X  X E ( )
β    XTX

1
T
1
T

T

E( β)  
1
T
T
E ( )  0
(4)
Entonces se cumple la insesgades tal como se muestra en la ecuación (4)
S4-Ausencia de autocorrelación
Este supuesto indica que la variable y las perturbaciones no están correlacionadas es
decir no existe autocorrelación entre los errores; por lo tanto la covarianza (Cov) de los
errores es igual a cero, = 0 , lo cual implica que no existe autocorrelación en la variable
dependiente, es decir, Cov (Yi , Yj ) = 0.
cov(  t ,   )  E ( t  E ( t ))(   E (  ))   E ( t )(   E (  )) 
 E[( t )  ]  E[( t ) E (  )]  E ( t   )
cov( t ,   )  E ( t ) E (  )  0
(t   )
(5)
S5-Matriz de varianza covarianza
Var ( t )  E    t  E ( t ) 2

Var ( t )  E ( t2 )
(t  1,2,..., n)
Llevándolo a su forma matricial : E ( T )  
donde fi es un valor arbitrario.
(6)

Varianza del estimador  :

Para obtener la mínima varianza de MCO se obtiene la varianza del estimador 




 

var( β )  E ( β - E( β ))( β - E( β )) T 


usando la ecuación (4) tenemos


 

var( β )  E ( β -  )( β -  ) T 


Usando la ecuación (3) tenemos


β    XTX

1
X T

var( β )  E
  X

T
X  X T
1
  X
T
X  1 X T   T

var( β )  X T X  X T E ( T ) X T X  1 X
1

T
T
T
T
var( β )  
X
X

X
X
E
(

)

X
X

 
1
1
I

de la ecuación (6) se tiene fi:

var( β )   X X 
T
1


var( β MCO )   X T X 
1
El método de MCO no es el mejor estimado de la mínima varianza por el valor arbitrario
que proporciona este método. Por esta razón se dice que MCO no es eficiente.

Se puede obtener la mínima varianza de var( β )
solo si :
2
  I
donde :
 2I 
(Yi  X i  )(Yi  X i  ) T
.I
n p
Siendo   una matriz simétrica, definida positiva.
y es homocedastica y no correlativa, entonces, se tendría:

var( β )   2 X T X  1
Como se menciono anteriormente aquí no se ha demostrado que sea homocedastica, en GM
se demostrara este supuesto.
1.1. Metodo de Gauss Markov GM
El Metodo de Gauss Markov afirma que la estimación por mínimos cuadrados
generalizados del modelo teórico de regresión es óptima en el sentido de que hace
mínimo el módulo del vector de residuos (mínima varianza).
S6-Supuesto de Homocedasticidad
Se dice que existe homocedasticidad cuando la varianza de los errores de la regresión
es la misma para cada observación i (de 1 a n observaciones), es decir:
E ( i2 )   
2
i  1, n
2
donde 
es un escalar constante para todo i. Lo que significaría que habría una
distribución de probabilidad de idéntica amplitud para cada variable aleatoria.
Esta cualidad es necesaria, según el teorema de Gauss Márkov, para que en un
modelo los coeficientes estimados sean los mejores o eficientes, lineales e
insesgados.
Entonces la varianza de es la misma para todas las observaciones
Var ( t )  E    t  E ( t ) 2
Var ( t )  E ( t2 )   2

(t  1,2,..., n)
En el modelo la matriz de varianzas de los errores es de la forma
(7)
E ( T )   2 I  
 Entonces homocedasticidad significa igual dispersión, en otras palabras significa
que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma
varianza 2 .


Transformando el modelo inicial
que se cumplan todos los
homocedasticidad)
Definimos la matriz
Y  X  
supuestos
de una forma conveniente de modo
de Gauss Markov (supuesto de
 como simétrica y positiva.
Ahora esta matriz debe ser igual a una matriz Q que es simétrica y no singular.
Entonces definimos la matriz con las siguientes propiedades:
  QQ
(8)
Se considera la siguiente transformación del modelo lineal general multiplicando por
Q 1
Y  X 
Y *  Q 1Y

Q 1Y  Q 1 X  Q 1
X *  Q 1 X
 Y *  X *   *
 *  Q 1
Ahora nos queda verificar que el modelo transformado de esta forma cumpla con todos los
supuestos del teorema de Gauss Markov
 Linealidad: el modelo sigue siendo lineal dado que
 Esperanza nula:
Y * es función lineal de β
E ( * )  E (Q 1 )  Q 1 E
( )  0

0
 Para cumplir con el supuesto de homocedasticidad recurrimos a la ecuación (7) donde:
T
1
 *  E ( * * )  E (Q 1 (Q 1 )T )  Q 1 
E ( T )Q 1  Q
QQQ 1  I




I

NOTA: Como
Q
es una matriz simétrica se cumple que
I
Q  QT
 El estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) se define como el estimador de
mínimos cuadrados ordinarios de en el modelo transformado:


β MCG  X


*T
X
1
*

1
T
T
X* Y*
1

1
1
T
1
β MCG  (Q X ) (Q X ) (Q X ) (Q Y )
1

β MCG


T

1

1
  X Q Q X  X T Q 1Q 1Y

  




1
1


β MCG  X T  1 X

1
X T  1Y
(9)

El estimado β MCG se puede escribir también como:


1
T
β MCG  X  X

1

T

β MCG    X T  1 X
1
X  ( X   )

1
X T  1
Ahora calculamos la varianza del estimado de mínimos cuadrados

generalizados β MCG





Var ( β MCG )  E ( β - E( β ))( β - E( β )) T 


(10)

Para el cálculo de Var ( β MCG ) recurrimos a la ecuación por insesgades del modelo

lineal se tiene: E( β MCG )  
Ahora remplazamos la ecuación anterior de insesgades en la ecuación (10)


 

Var ( β MCG )  E ( β -  )( β -  ) T 




Var ( β MCG )  E  X T  1 X




Var ( β MCG )  X T  1 X

1

1
X T  1
 X 
T
1
X

1
X T  1

X T  1 E ( T ) X 1 X T  1 X






1
Var ( β MCG )  X T  1 X X T  1 X   1 X T  1 X
 

I
I

1

1

T



Var ( β MCG )  X T  1 X 
1
(11)
2. CALCULO DE LA COMPONENTE Y
CALCULO DE LA COMPONENTE Y
. La incertidumbre por indicación de la balanza debida a la resolución y desviación de la
balanza
y  I . f s  (mP   P ). X Pi   ai .V   i
I  u (d )  u A ( I )  I resolución 
I desviación
Incertidumbre por el factor de sensibilidad de la balanza ( f s )
Para balanzas electrónicas se asume que su incertidumbre es despreciable u( f s )= 0
La incertidumbre combinada de la pesa patrón
.
u m cP  
u 2 m cPcert
  u 2  m cP 
Incertidumbre por la Densidad del aire:
La incertidumbre debido a la corrección por empuje del aire será calculada de la siguiente
forma
2
2
  P   i i

m ni
u 2  P 
2 u  i 
ˆ
uE i 
m cP  
 u a     a   o  
  a   o    a   o   2 al   o  
4
m nP




 P4
P
i


i
 
La incertidumbre del volumen de la masa patrón y la masa a calibrar
u 2 (V )  ( u 2 (V )  u 2 (V ))
Para calcular la incertidumbre de y derivamos cada una de sus componentes, tal como se
muestra a continuación
y  I . f s  (mP   P ). X Pi   ai .V   i
 


Y1
Y2
Y3
2
  I f s   2
  I f s  2
u 2 (Y1 )  
u
(
I
)


 u ( fs )


(
I
)

(
f
)



s 
2
2
2
2
 X P2 u 2 (mP )  X P2 u 2 ( P )
2
 fs . u (I )  I . u ( f s )
2

2
2

2
 X P2 ( u 2 (mP )  u 2 ( P ))
2
 f s . u (resl )  u ( rept )  I . u ( f s )
.
2
2
   a V  2
   a V  2
u 2 (Y3 )  
u
(

)

u (V )
a



  (V ) 
 (  a ) 
2
 V 2 . u 2 (  a )   a . u 2 (V )
2
 V 2 . u 2 (  a )   a ( u 2 (V )  u 2 (V ))
 es el error del ajuste, cuya esperanza matemáticamente es cero y varianza  2 entonces :
  2
u( y)  f s .u 2 (resl)  u 2 (rept)  I 2 . u 2 ( f s )  u 2 (mP )  u2 ( P )X P2
2
2
V 2 . u 2 (a )  a (u 2 (V )  u 2 (V ))   2
u( y)  

2
  mP  X P  2
   P  X P  2
u (Y2 )  
u
(
m
)

P

  ( )  u ( P )

(
m
)




P
P
2
2
Var ( β MCG )  X  X 
T
1
1
2 
(Yi  X i  )(Yi  X i  )T
n p
3. APLICACIÓN DEL METODO DE GM EN LA
CALIBRACION DE PESAS E1
Comparadora de masas requerida para hacer una década
de pesas de alta exactitud E1
METTLER TOLEDO
AX 106
Resolución de 0,001 ug
Capacidad máxima 111 g
Como hacer una década
Ejemplo con el método de GM
De 100 g a 10 g
MATRIZ
yi =comparaciones de patron (-1) con la muestra (1)
100 g E0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
y11
y12
y13
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100 g E1
1
0
0
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
50 g E1
0
1
1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
20 g E1
20 g (.) E1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
-1
-1
0
0
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
0
1
0
10 g E1
0
1
0
1
0
1
0
1
-1
1
1
0
-1
10 g (pv) E0
0
0
1
0
1
0
1
-1
1
1
1
0
1
Datos de para la calibración de pesas
CALIBRACIÒN DE PESAS POR EL METODO DE GM - DISEMINACIÓN DE PESAS
E0
E1
E1
E1
E1
E1
E0
Valor nominal
valor de masa
g
100 g
100 g
50 g
20 g
20 g (.)
10 g
10 g (pv)
mg
Incertidumbre
estándar
-0,0778
mg
0,0072
-0,0066
0,004
Volumen
Incertidumbre
volumen
cm3
12,438
12,4898
6,2467
2,498
2,4984
1,2491
1,2445
cm3
0,0040
0,004
0,0020
0,0016
0,0016
0,0012
0,0015
Calibración de pesas por el método de GM de una década
y  m  aVx  Vp
decadas
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
y10
y11
y12
y13
(g)
100
100
100
100
100
50
50
30
30
20
20
20
10
 m
densidad del aire
(mg)
mg/cm3
-0,009
1,16768138
-0,010
1,16805527
-0,021
1,16825329
-0,002
1,16778308
-0,016
1,16686444
0,023
1,16559560
0,012
1,16447456
0,0007
1,16247540
-0,025
1,16291314
0,010
1,16056822
0,021
1,16062615
0,014
1,16126413
-0,014
1,16170532
-0,0778 mg
incertidumbre
densidad del aire
mg/cm3
0,00096811
0,00096842
0,00096859
0,00096820
0,00096744
0,00096638
0,00096545
0,00096380
0,00096416
0,00096222
0,00096226
0,00096279
0,00096316
V V 
cm3
0,05180
0,05420
0,04960
0,00240
-0,00220
-0,00120
-0,00580
0,00420
-0,00500
-0,00480
-0,00440
0,00040
-0,00460
Y
(mg)
0,051
0,054
0,037
0,001
-0,019
0,022
0,005
0,006
-0,031
0,004
0,016
0,014
-0,019
-0,0778
Calibración de pesas por el método de GM de una
década
Resultados
MASA (g)
CORRECCION
( mg )
-0,078
-0,023
-0,023
-0,012
0,001
0,011
-0,007
100 g E0
100 g E1
50 g E1
20 g E1
20 g (.) E1
10 g E1
10 g E0


T
1
β MCG  X  X

1
INCERTIDUMBRE (mg)
k=1
k=2
0,0036
0,007
0,0066
0,013
0,0039
0,008
0,0023
0,005
0,0023
0,005
0,0017
0,003

T
1
X  Y
Var ( β MCG )  X T  1 X 
1
GRACIAS POR SU ATENCION