Ejercicio 1 :

Ejercicio 1:
Calcúlese la sección eficaz diferencia (dσ/dΩ) y total (σ) en la dispersión
elástica de partículas puntuales por una esfera de masa infinita y radio R. En la
figura, b es el parámetro de impacto e i y r son los ángulos de incidencia y de
reflexión. Ayuda: a) ¿qué relación deben de verificar los ángulos de incidencia, i, y
de reflexión, r? b) dΩ=2π sinθdθ, donde θ es el ángulo que forman el momento
incidente y el momento dispersado.
Apartado a: Cálculo de la sección eficaz en forma diferencial
r
i
b
R
Partimos de la expresión que relaciona la sección eficaz con el parámetro de impacto:
d  2  b( )db
En la que debemos determinar la dependencia de b con el ángulo θ, para ello
analizaremos la relación que existe de forma geométrica:
r
i
θ
b
b
i
R
b  R  sen(i)
y
2i  i  r    
( relación entre ángulo de incidencia y ángulo reflejado y además relación con θ)
Por
por tanto tenemos que :
i

2


2
Por tanto la expresión de b dependiente de θ será :



b( )  R  sin(  )  R  cos( )
2 2
2
Una vez que tenemos esta relación sustituimos en la expresión primera y operamos para
calcular la sección eficaz en forma diferencial:
 
d  2  R cos   db
2
Procedemos al cálculo utilizando que dΩ=2π sinθdθ :


2  R cos  db
R cos
d
db
2
2



d
2  sen  d
d sen
Calculemos la derivada de b respecto al ángulo θ:
db
R

  sen
d
2
2
== >

R cos
d R
 
2
 sen   
d 2
 2  sen
Nota: El signo menos de la derivada lo suprimimos a la hora de sustituir en la expresión
de la sección eficaz porque evidentemente esta no tiene sentido que sea negativa, por lo
que lo que consideramos es el módulo de la derivada.
Ahora bien, necesitamos tener la expresión solo con θ, para ello utilizamos que:
 
  1
cos    sen    sen
2
2 2
Por lo que la forma diferencial de la sección eficaz quedará finalmente en :
d R R 1
R2
 
 sen 
d  2 sen 2
4
Apartado b: Cálculo de la sección eficaz total.
Para el siguiente apartado partimos de la expresión calculada anteriormente, operamos e
integramos para calcular la sección eficaz total.
d 
R2
R2
d 
 2 sen  d
4
4
e integramos :

R2
d


   sen  d

2
0
R2
      cos   cos 0   R 2
2
Nota: El signo es positivo ya que el signo menos que proviene de resolver la integral
indefinida se anula al aplicarle los límites, este resultado es el esperado, puesto no
tendría sentido que fuese negativo.
Véase que los datos obtenidos concuerdan a la perfección con los esperados, pues
nuestra esfera tiene geometría perfecta.
Daniel Díaz Simón
Borja Valcárcel Gómez