Tema 5A. Trigonometría

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Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Dado un ángulo cualquiera, si desde un punto, A, de uno de
sus lados se traza su proyección, A´, sobre el otro lado se
obtiene un triángulo rectángulo. Esto permite definir las
razones trigonométricas seno, coseno y tangente, como
sigue:
AA´ cateto opuesto
=
sen Ô =
OA
hipotenusa
OA´ cateto contiguo
=
cos Ô =
OA
hipotenusa
AA´ cateto opuesto
=
tag Ô =
OA ´ cateto contiguo
El ángulo O puede medirse en grados o en radianes. El
grado es una medida sexagesimal: un ángulo completo
(una vuelta completa) mide 360º. El radian es una medida
longitudinal, numérica real: un radian es un ángulo que
abarca un arco de longitud igual al radio con el que ha
sido trazado. La relación entre ambas unidades es 360º =
2π radianes → La circunferencia completa abarca 2π
radianes (tiene una longitud de 2π radios). Un ángulo –un
arco que se ha trazado con radio 1– mide 1 radian cuando su “longitud” es 1.
Las calculadoras disponen de las teclas DEG y RAD, para grados y radianes, respectivamente.
Ejemplos:
Utilizando las definiciones, para el triángulo adjunto, se tiene:
3
4
3
sen  = = 0,6; cos  = = 0,8; tag  = = 0,75
5
5
4
Utilizando la calculadora (teclas sin, cos y tan) se tiene:
Modo DEG: sen 0º = 0; sen 20º = 0,3420; sen 30º = 0,5; cos 0º = 1; cos 20º = 0,9397;
cos 60º = 0,5; tag 0º = 0; tag 20º = 0,93640; tag 30º = 0,5774; tan 90º = Error
Modo RAD: sen 0 = 0; sen 0,2 = 0,1987; sen 1 = 0,8415; cos 0 = 1; cos 0,2 = 0,9801;
cos 1 = 0,5403; tag 0 = 0; tag 0,2 = 0,2027; tag 0,4 = 0,4228; tag (π/2) = Error
Notas:
1. Cuando se use la calculadora debe comprobarse en qué modo (DEG o RAD) está.
2. Las abreviaturas sen, cos y tag, para seno coseno y tangente, respectivamente, pueden
sustituirse por sin, cos y tan.
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un ángulo
Como consecuencia de las definiciones, se cumplen:
1
sen α
;
1 + tag 2 α =
sen 2 α + cos 2 α = 1 ; tag α =
cos α
cos 2 α
Por tanto, conociendo una cualquiera de las razones trigonométricas se pueden determinar las
demás.
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Nota: Significado de algunas cuestiones de notación:
sen 2 α = (sen α) 2 = (sen α) · (sen α) ; cos 2 α = (cos α ) 2 ; tag 2 α = (tag α ) 2
sen α 2 = sen(α 2 ) = sen(α · α)
OJO: sen α · 2 = 2sen α = sen α + sen α ≠ sen (α · 2) = sen (2α ) = sen 2α = sen ( α + α)
Ejemplos: Aplicación de las relaciones anteriores para determinar las restantes razones
trigonométricas a partir de una de ellas.
2
2
2
Si se sabe que sen α = 0,8 → 0,8 + cos α = 1 ⇒ cos α = 0,36 → cos α = ±0,6.
0,8
El valor de tag α =
= ±1,33...
± 0,6
1
1
1
2
⇒ cos 2 α = ⇒ cos α =
Si tag α = 2 ⇒ 1 + 2 =
5
cos 2 α
± 5
2
Como sen α = cos α · tag α ⇒ senα =
± 5
Nota: El doble signo de los resultados está relacionado con la periodicidad y con la simetría
de las funciones trigonométricas. A continuación se matiza este hecho.
2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera suele
recurrirse a una circunferencia centrada en el origen. El vértice de cada
ángulo se sitúa en el centro, siendo uno de sus lados el eje positivo
OX; los ángulos se consideran positivos si se miden en sentido inverso
al movimiento de las manecillas de un reloj, y negativos en el mismo
sentido de dicho movimiento. Se cumple que 360º – α = –α.
sen α =
y
→ si r = 1, sen α = y;
r
cos α =
x
→ si r = 1,
r
El seno de un ángulo es positivo cuando mide entre 0º y 180º (primero y segundo
cuadrante); es negativo cuando está en los cuadrantes tercero y cuarto. Además:
sen α = sen (180º − α) = −sen (180º + α) = − sen (360º − α) = sen (–α)
Y en radianes: sen α = sen (π − α ) = −sen (π + α ) = −sen (2π − α ) = −sen α
•
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Ejemplos:
Como puede comprobarse con la calculadora:
sen 30º = sen 150º = 0,5
sen 23º = sen 157º = 0,3907
sen 190º = sen 350º = –0,1736
sen 230º = sen 310º = –0,7660
sen 1 = sen (π – 1) = 0,8115
sen 4 = sen (2π – 4) = –0,7568
El coseno de un ángulo es positivo cuando su valor está entre 0º y 90º o entre 270º y 360º
(primero y cuarto cuadrante); es negativo cuando está en los cuadrantes segundo y tercero..
Además:
cos α = cos (360º – α) = −cos (180º − α) = −cos (180º + α)
Y en radianes:
cos α = cos(2π − α ) = −cos (π − α ) = − cos (π + α )
•
Ejemplos:
Como en el caso del seno, puede comprobarse con la calculadora que:
cos 20º = cos (–20º) = cos 340º = 0,9397
cos 140º = cos 220º = –0,7660
cos 0,5 = cos (–0,5) = cos (2π – 0,5) =0,8776
cos (π – 1) = cos (π – 1) = –0,5403
Razones trigonométricas de ángulos que miden más de 360o
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor que 360o se reduce a su
equivalente en el primer giro: son equivalente los ángulos α y 360º + α, o en radianes 2π + α y
α. En general, son equivalente α y k · 360º + α, o bien 2kπ + α y α, siendo k un número
entero, y se cumple que:
sen (k · 360º + α) = sen α; cos (k · 360º + α) = cos α; tag (k · 360º + α) = tag α;
Esto significa que el valor de las razones trigonométricas se repite cada vuelta, cada 360º,
cada 2π radianes.
Observación: Con la tangente de un ángulo se puede precisar algo más, ya que se cumple que
tag (k · 180º + α) = tag α. Esto es, el valor de la tangente se repite cada 180º.
• En consecuencia, el seno y el coseno son razones periódicas de periodo 2π; la tangente es
periódica de periodo π.
Ejemplos:
sen 390º = sen 30º = 0,5; sen 800º = sen (2 · 360º + 80º) = sen 80º = 0,8660
cos 1200º = cos (3 · 360º + 120º) = cos 120º = –0,5
tan 940º = tan (2 · 360º + 220º) = tan 220º = tag 40º = 0,8391
3. Razones trigonométricas inversas: sin–1, cos–1 y tan–1
Las razones trigonométricas inversas permiten hallar un ángulo del que se conoce su seno, su
coseno o su tangente. Esto es, determinan un ángulo cuyo seno, coseno o tangente es igual a
un número dado.
La forma clásica de referirse a ellas es “arco seno”, “arco coseno” y “arco tangente”. Se
definen como sigue:
Arco seno (sin–1)
En grados: Para un número y comprendido entre –1 y 1: arcsin y = α ⇔ sin α = y .
En radianes: Si x es un número que representa un valor en radianes, dado otro número y
comprendido entre –1 y 1: arcsin y = x ⇔ sin x = y .
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Ejemplo:
arcsin 0,5 = 30º ya que sin 30º = 0,5 → el valor de arcsin 0,5 se obtiene con la
calculadora: tecla sin–1 (que suele activarse pulsando SHIFT sin 0.5.)
Pero también arcsin 0,5 = 150º, pues igualmente, sin 150º = 0,5.
Así pues, hay dos ángulos, en el primer giro, cuyo seno vale 0,5. Y dos ángulos más en los
sucesivos giros. Por tanto, los ángulos α que cumplen que su seno es 0,5, que es lo que
30º + k ·360º
significa arcsin 0,5 = α, son: α = 
150º + k ·360º
π
 + 2kπ
Las soluciones en radianes serían: arcsin 0,5 = x ⇔ x =  6
 5π + 2kπ
 6
Arco coseno (cos–1)
Para un número y comprendido entre –1 y 1: arccos y = α ⇔ cos α = y .
En radianes: Si x es un número que representa un valor en radianes, dado otro número y
comprendido entre –1 y 1: arccos y = x ⇔ cos x = y .
Ejemplo:
arccos (–0,5) = 120º ya que cos 120º = –0,5 → el valor de arccos (–0,5) se obtiene con la
calculadora: tecla cos–1 (que suele activarse pulsando SHIFT cos (–0.5) .)
Pero también arccos (–0,5) = 240º, pues igualmente, cos 240º = –0,5.
120º + k ·360º
En general, arccos (–0,5) = α ⇔ α = 
240º + k ·360º
 2π
 3 + 2kπ
Las soluciones en radianes serían: arccos (–0,5) = x ⇔ x = 
 4π + 2kπ
 3
Arco tangente (tan–1)
Para un número y comprendido entre –∞ y +∞: arctan y = α ⇔ tan α = y
En radianes: Si x es un número que representa un valor en radianes, dado otro número y:
arctan y = x ⇔ tan x = y .
Ejemplo:
arctan 1,5 = 56,31º ya que tan 56,31º = 1,5 → el valor de arctan 1,5 se obtiene con la
calculadora: tecla tan–1 (que suele activarse pulsando SHIFT tan 1.5 .)
Pero también arctan 1,5 = 236,31º = 56,31º + 180º, pues igualmente, tan 236,31º = 1,5.
En general: arctan 1,5 = α ⇔ α = 56,31 + k · 180º.
Las soluciones en radianes serían: arctan 1,5 = x ⇔ x = 0,9828 + kπ .
Observación final: El valor del ángulo elegido dependerá de la situación, de los datos
conocidos.
Ejemplos:
Si se sabe que sen α = 0,8 y que α está en el primer cuadrante, entonces α = 53,13º; pero
si α está en el segundo cuadrante, entonces α = 126,87.
Si se sabe que cos α = 0,4 y que α está en el primer cuadrante, entonces α = 66,42º; pero
si α está en el cuarto cuadrante, entonces α = –66,42 = 293,58º.
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Si tan α = –2 y α está en el segundo cuadrante, entonces α = 116,57º; pero si α está en el
cuarto cuadrante, entonces α = –63,57º = 296,57º.
Aplicación: resolución de ecuaciones trigonométricas elementales
Las ecuaciones trigonométricas más elementales y comunes son de la forma:
sen ax = b;
cos ax = b;
tag ax = b
Todas ellas pueden resolverse directamente con la calculadora, con ayuda de las “funciones”
sin−1, cos−1 y tan−1.
Sus soluciones son:
arcsin b
• sen ax = b ⇒ ax = arcsin b ⇒ x =
a
arccos b
• cos ax = b ⇒ ax = arccos b ⇒ x =
a
arctan b
• tag ax = b ⇒ ax = arctan b ⇒ x =
a
Ejemplos de ecuaciones sen ax = b:
Con la calculadora en el modo DEG:
sen x = −1
⇒ x = arcsin(−1) = −90º = 270º → x = 270º + k · 360º.
⇒ 2x = arcsin 1 = 90º + k · 360º → x = 45º + k · 180º.
sen 2x = 1
sen (x + 45º) = −0,5 ⇒ x + 45º = arcsin(−0,5) → x + 45º = −30º = 330º ⇒ x = 185º.
1
OJO: Un ERROR frecuente es: sen 2x = 1 ⇒ sen x = → ... MUY MAL
2
1
En cambio, ESTÁ BIEN lo siguiente: 2sen x = 1 ⇒ sen x = → ...
2
Ejemplos de ecuaciones cos ax = b:
Con la calculadora en el modo RAD:
π
π
+ 2kπ .
2
2
π
π
π
5π
π

+ 2kπ .
cos x −  = 0 ⇒ x − = arccos 0 → x − = 1,57 ... = + 2kπ → x =
3
3
2
6
3

π 2kπ
cos 3x = −1 ⇒ 3x = arccos (−1) → 3x = π + 2kπ → x = +
.
3
3
x
x
x
π
x π
2π
cos = 0,5 ⇒ = arccos 0,5 → = 1,047... =
→
= + 2kπ ⇒ x =
+ 4 kπ .
2
2
2
3
2 3
3
1
OJO: Un ERROR frecuente es: cos 3x = 1 ⇒ cos x = → ... MUY MAL.
3
x
O también: cos = 0,5 ⇒ cos x = 1 → … MUY MAL:
2
cos x = 0 ⇒ x = arccos 0 → x = 1,57 ... =
→ x=
Ejemplos de ecuaciones tag ax = b:
Con la calculadora en el modo RAD:
tag x = 1 ⇒ x = arctan 1 → x = 0,785... =
π
4
+ kπ
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tag x =
3 ⇒ x = arctag
3 → x=
π
3
6
+ kπ
tag 2x = 4 ⇒ 2x = arctag 4 → 2x = 1,3258 + kπ → x = 0,6629 + k
π
.
2
OJO: Un ERROR frecuente es: tag 2x = 4 ⇒ tag x = 2 → ... MUY MAL.
5. Algunas fórmulas trigonométricas
Las razones trigonométricas de ángulos no siguen un funcionamiento lineal. Esto es, no
transforman sumas en sumas. Esto significa que, por ejemplo:
sen (α + β) ≠ sen α + sen β; cos (2α) ≠ 2 · cos α; o tag (α – β) ≠ tag α – tag β.
Por tanto, cuando sea necesario aplicar el seno, el coseno o la tangente a sumas o restas de dos
ángulos existen una serie de fórmulas que habría que tener en cuenta. Algunas de estas
fórmulas son:
senos
cosenos
tangentes
sin (α + β) = sin α cos β + cos α. sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α. sin β
tan (α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
sin(α − β) = sin α cosβ − cosα sin β
cos(α + β) = cos α cos β + sin α. sin β
tan (α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
tan 2α =
sin
1 − cos α
α
=±
2
2
cos
α
1 + cos α
=±
2
2
tan
2 tan α
1 − tan 2 α
1 − cos α
α
=±
2
1 + cos α
Observación: Estas fórmulas no es necesario memorizarlas; basta con saber que existen, y que
a la hora de aplicar las razones trigonométricas a sumas o restas de ángulos hay que tenerlas
en cuenta.
6. Aplicación de la trigonometría para la determinación de distancias inaccesibles
Las razones trigonométricas se pueden utilizar para determinar la longitud de los lados de un
triángulo rectángulo, a partir de otros elementos, ángulos o lados, conocidos de ese triángulo.
Así, pueden servir para conocer la altura de una torre, la anchura de un río o la pendiente
media de un montículo, ejemplos que pueden generar esquemas en forma de triángulo
rectángulo.
Un mapa topográfico puede
“verse” como un triángulo
rectángulo. La distancia entre
los puntos A y B del mapa es
La torre puede considerarse
un cateto de un triángulo
rectángulo, la altura CB; el
otro cateto puede ser un
La anchura de un río puede
medirse considerando el
triángulo rectángulo de
vértices A, B y C, siendo A y
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la distancia entre las
proyecciones de A y B sobre
un plano (el que determina la
curva de nivel que pasa por
A): sería el cateto AC, la
base, de un triángulo
rectángulo; la altura, el otro
cateto, es la diferencia de las
curvas de nivel.
En este caso, la base mide 3
cm × 25000 = 75000 cm =
750 m.
El triángulo así obtenido es
el siguiente.
segmento CA, que parte del
pie de la torre y que mide lo
que se desee, supóngase que
40 m. Desde esa distancia se
mide el ángulo de elevación
hasta el punto más alto de la
torre. Si se supone que ese
ángulo mide 36º se construye
el siguiente triángulo
rectángulo.
7
B dos puntos enfrentados,
uno de cada orilla y
determinando un cateto
perpendicular al cauce. El
vértice C se obtiene
trasladándose por la orilla,
pongamos 50 m, desde A, en
dirección perpendicular a
AB. Desde el punto C se
mide el ángulo formado por
los lados CA y CB, cuya
medida supondremos que es
40º. El triángulo obtenido es
el siguiente.
Los problemas anteriores pueden resolverse aplicando las técnicas de resolución de triángulos
rectángulos.
• Resolver un triángulo es determinar sus elementos desconocidos (ángulos o lados) a partir
de otros conocidos.
Un triángulo rectángulo puede resolverse conociendo:
(1) dos lados;
(2) uno de sus ángulos agudos y un lado.
Naturalmente, al decir que el triángulo es rectángulo se saben dos cosas
más:
– qué tiene un ángulo de 90º, C = 90º
– que sus lados verifican el teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2.
En los siguientes ejemplos resolvemos algunos casos.
Ejemplos:
Sabiendo que A = 40º y
Sabiendo que A = 20º y
Sabiendo que a = 8 cm y
b = 10 cm, hallar a, c y B.
c = 15 cm, hallar a, b y B.
c = 12 cm, hallar b, A y B.
B = 90 – A = 90 – 40 = 50º
10
⇒
cos 40 =
c
10
10
c=
=
= 13,05
cos 40 0,766
a
⇒ a = 10 tag 40
tag 40 =
10
= 10 · 0,839 = 8,39 cm
B = 90 – A = 90 – 20 = 70º
b
⇒ b = 15 cos 20
cos 20 =
15
= 15 · 0,94 = 14,1 cm
a
⇒ a = 15 sen 20
sen 20 =
15
= 15 · 0,342 = 5,13 cm
b = 12 2 − 8 2 = 80 = 8,94
8
sen A =
= 0,666... ⇒
12
A = arcsen 0,666 = 41,81º
B = 90 – 41,81 = 48,19º
José María Martínez Mediano