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Teorema.- Sea ax2+bx+c=0, si a=0 entonces
b b 2 4ac
x
2a
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Derechos reservados
1
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DEMOSTRACIÓN
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
1) Dejar los términos con x
solos de un lado de la
ecuación
2)Sacar a de factor común
3)Se pasa dividiendo a.
Se identifica con los
dos primeros términos
del desarrollo de
x k 2
2
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DEMOSTRACIÓN
ax bx c
2
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
Toma en cuenta
x 2kx k x k
2
2
2
b
x x?
a
2
Identificar k
b
b
a
k
2 2a
3
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DEMOSTRACIÓN
Toma en cuenta
x 2kx k x k
ax bx c
2
2
2
2
b
x x?
a
2
2 b
a x x c
a
b
b
c
2
b
a
x x
k
a
a
2 2a
2
2
Se completa el cuadrado. Se
b
b
b
c
suma en ambos lados la
x 2 2 x
2a 2 a 2 a a
misma cantidad para no
2
2
b b c
x
2a 2a b
alterar la igualdad
4
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DEMOSTRACIÓN
2
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
2
2
b
b b c
2
x 2 x
2a
a
2a 2a
2
2
b
b
4ac
x
2
a
2
4a
b
b 2 4ac
x
2a
4a 2
b b 2 4ac
x
2a
2
b b c
x
2a 2a b
2
b
b2
c
x 2
a
2a
4a
5
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
2
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
2
2
b
b b c
2
x 2 x
2a
a
2a 2a
2
2
b b c
x
2a 2a b
2
b
b2
c
x 2
a
2a
4a
2
b
b
4ac
x
2
a
2
4a
b
b 2 4ac
x
2a
4a 2
b b 2 4ac
x
2a
Si b 2 4ac 0
Dos raíces reales
distintas
6
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
2
2
b
b b c
2
x 2 x
2a
a
2a 2a
2
2
b b c
x
2a 2a
b
2
b
b2 c
x 2
a
2a
4a
2
2
b
b
4ac
x
2
a
2
4a
Si b 2 4ac 0
b
x
0
2a
b
x
2a
Una raíz de
multiplicidad 2
7
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
2
2
b
b b c
2
x 2 x
2a
a
2a 2a
2
2
b b c
x
2a 2a
b
2
b
b2 c
x 2
a
2a
4a
2
2
b
b
4ac
x
2
a
2
a
4
Si b 2 4ac 0
No hay soluciones
reales
2
2
b
b
4ac
x
2
2
a
4
a
positivo
negativo
Imposible
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Tipos de solución
DEMOSTRACIÓN
ax 2 bx c
2 b
a x x c
a
b
c
2
x x
a
a
2
2
b
b b c
2
x 2 x
2a
a
2a 2a
2
2
b b c
x
2a 2a
b
2
b
b2 c
x 2
a
2a
4a
2
2
b
b
4ac
x
2
a
2
a
4
Si b 2 4ac 0
Las raíces son
números complejos,
conjugados entre sí
b b 2 4ac
x
2a
9