Probemos que, para todo entero n, si n es par, entonces n2 es par

Una deducción o DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA es una sucesión coherente de
pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis,
permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la
aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas
anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). El
hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad;
sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí
existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en
matemáticas: 1) Método directo, 2) Método contrarrecíproco 3) Reducción al absurdo
EJEMPLOS
1) Probemos que, para todo entero n , si n es par, entonces n 2 es par.
Demostración: (METODO DIRECTO)
Sea n un número entero par. Entonces 2 es factor de n , por tanto se puede expresar
2
como n = 2m para algún entero m. Se sigue que n 2 = ( 2m ) = 4m 2 .
Ahora, 4m 2 se puede escribir como 2 ( 2m 2 ) donde 2m 2 es también un entero,
por lo que 2 ( 2m 2 ) es par y como 2 ( 2m 2 ) = n 2 , llegamos a que n 2 es par, que era lo que
queríamos demostrar.
2) Para todo entero n , si n 2 es par, entonces n es par.
Demostración: (METODO CONTRARECIPROCO)
La proposición a probar es P(n) → Q(n), donde P(n) es “ n 2 es par”, Q(n) es “ n es par”
y n es un entero arbitrario. El contrarrecíproco es ∼ Q(n) → ∼ P(n), es decir, si n es
impar entonces n 2 es impar. Vamos a demostrar esto último. Para ello hemos de asumir
la veracidad de que “ n es impar” y llegar a demostrar que
“ n 2 es impar” es cierto.
Sea n un entero impar, entonces n = 2m + 1 , donde m es un entero.
2
Ahora, n 2 = ( 2m + 1) = 4m 2 + 4m +1 donde n 2 = 4m 2 + 4m + 1 = 2 ( 2m 2 + 2m ) + 1 así
2m 2 + 2m es un número entero, por lo tanto n 2 es impar
3) Demostrar que 2 es irracional.
Demostración: (REDUCCION AL ABSURDO)
Este es un buen ejemplo de demostración por contradicción. Suponemos que
2 es racional y llegamos a una contradicción.
m
Supongamos que 2 es racional, por lo tanto 2 =
donde m y n son números
n
enteros, con n≠0.
m
es una fracción reducida (irreducible), es decir,
n
que m y n no tienen factores en común. (Si tuvieran factores en común, simplificamos)
Ahora:
m
m2
2 = → 2 = 2 → 2n 2 = m 2 , m 2 es par → m 2 es par por demostración anterior
n
n
Así, m = 2 p, p ∈ Z , luego m 2 = 4 p 2
Sustituyendo este resultado en la ecuación 2n 2 = m 2 tenemos:
2n 2 = 4 p 2 → n 2 = 2 p 2 → n 2 es par → n es par
Hemos demostrado que tanto m como n son los dos pares, es decir, tienen un divisor en
común: el 2, lo cual es una contradicción porque partimos de la suposición de que m y n
no tienen factores comunes. Por tanto, hemos deducido como cierta una proposición y
su negación, situación que da lugar a la contradicción, con lo que hemos probado el
teorema.
Podemos suponer que la fracción
4) Demostrar que, para cualquier par de enteros x e y, el producto xy es par si y sólo si x
es par o y es par.
Demostración:
Primero probamos, utilizando el método directo, que si x es par o y es par, entonces el
producto xy es par.
Supongamos que x es par, es decir, x=2n, para algún entero n. Entonces
xy=2ny, por lo tanto, xy es par. El mismo argumento nos servirá para el caso en el que
supongamos que y es par.
Ahora probamos la implicación en sentido contrario: si xy es par, entonces x es par o y
es par. Utilizaremos la demostración mediante el contrarrecíproco: si x e
y son impares, entonces xy es impar.
Sean x e y dos enteros impares: x=2n+1 e y=2m+1, con n, m enteros.
Entonces xy=(2n+1)(2m+1)=4mn+2n+2m+1=2(2mn+n+m)+1,entonces xy es impar.
Con lo que queda demostrado.
5) Si a y b son números racionales, entonces a+b es un número racional.
Demostración:
Por hipótesis como a y b son números racionales, entonces se pueden escribir de la
p
r
forma a =
y b = , con q y s ≠ 0 ( p, q, r y s ∈
q
s
Ahora realizando la suma de esas expresiones tenemos,
p r ps + qr
+ =
, como la suma de números enteros da enteros, igualmente el producto
q s
qs
entonces el numerador y denominador son números enteros.
ps + qr u
Por lo tanto
= es un número racional.
qs
v
6) Dada la ecuación ax 2 + b x + c = 0 , demuestre que
x=
−b ±
b 2 − 4ac
2a
Demostración:
Sea a x 2 + b x + c = 0 la ecuación cuadrática con a ≠ 0 , dividiendo ambos lados entre
“a”,
a x2 + b x + c 0
=
entonces
a
a
x2 +
b
c
x + = 0 entonces
a
a
a x2 b x c
+
+ = 0 , luego
a
a a
x2 +
b
c
, completando cuadrados en el lado
x=−
a
a
izquierdo
2
2
b
c ⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
x + x + ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ , luego
a
a ⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
2
x2 +
2
b
c b2
⎛ b ⎞
x +⎜ ⎟ = − +
, donde
a 4a 2
a
⎝ 2a ⎠
2
b ⎞
− 4ac + b 2
⎛
, eliminando el exponente y aplicando conmutatividad
⎜ x+
⎟ =
2a ⎠
4a 2
⎝
b ⎞
⎛
⎜ x+
⎟ =±
2a ⎠
⎝
b 2 − 4ac
4a 2
, entonces x = −
b
±
2a
b 2 − 4ac
4a 2
, simplificando
radicales
x=−
b
b 2 − 4ac
±
, entonces
2a
4a 2
x=−
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
Sea a x 2 + b x + c = 0 la ecuación cuadrática con a ≠ 0 ,dividiendo ambos lados entre
“a”,
a x2 + b x + c 0
=
entonces
a
a
x2 +
b
c
x + = 0 entonces
a
a
izquierdo
a x2 b x c
+
+ = 0 , luego
a
a a
x2 +
b
c
, completando cuadrados en el lado
x=−
a
a
2
2
b
c ⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
x + x + ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ , luego
a
a ⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
2
2
b
c b2
⎛ b ⎞
x + x +⎜ ⎟ = − +
, donde
a
a 4a 2
⎝ 2a ⎠
2
2
b ⎞
− 4ac + b 2
⎛
, eliminando el exponente y aplicando conmutatividad
⎜ x+
⎟ =
2a ⎠
4a 2
⎝
b ⎞
⎛
⎜ x+
⎟ =±
2a ⎠
⎝
b 2 − 4ac
4a 2
, entonces x = −
b
±
2a
b 2 − 4ac
4a 2
, simplificando
radicales
x=−
b
b 2 − 4ac
±
, entonces
2a
4a 2
x=−
b
b 2 − 4ac
±
2a
2a
Por suma de fracciones con igual denominador Por suma de fracciones con igual
denominador
x=
−b ±
b 2 − 4 ac
2a
7) Demuestre que la mujer es igual a problemas
Demostración:
Para conseguir una mujer, necesitas tiempo y dinero, por lo tanto
mujer = tiempo × dinero (i)
El tempo es considerado oro, por lo tanto el tiempo es dinero,
tiempo = dinero
Sustituyendo tiempo en (i),tenemos
mujer = dinero × dinero
Entonces,
2
mujer = ( dinero )
Pero el dinero es la raíz de todos los problemas,
dinero = problemas
Sustituyendo,
mujer =
(
problemas
Simplificando,
mujer = problemas
)
2