Un punto material pesado de masa m, está obligado a permanecer

Un punto material pesado de masa m, está obligado a permanecer sobre una
curva lisa perteneciente a un plano vertical que a su vez rota alrededor de un eje
fijo vertical del propio plano con velocidad angular o rotación de valor constante
ω = cte = ωo
Se toma la referencia solidaria al plano móvil (O, x, y, z), de forma que O es un
punto del eje, z coincide con el eje fijo y con sentido ascendente y el plano es el
y = 0 en dicha referencia.
I. Si la curva tiene por ecuación z = z(x) se pide:
1) Ecuación diferencial que rige el movimiento del punto sobre la curva del
plano.
2) Condición geométrica que debe satisfacer la ecuación de la curva para que
uno de sus puntos sea de equilibrio relativo para el punto material.
3) Ecuación de la curva para que el punto material pueda encontrarse en
equilibrio en cualquier posición (equilibrio indiferente)
II. El punto va a estar sometido a una ligadura adicional, consistente en
estar unido a uno de los extremos de un muelle ideal de longitud natural nula y
constante elástica k , el cual, a su vez está unido por su otro extremo mediante
una deslizadera al eje fijo vertical, por lo que siempre en el movimiento está
horizontal.
Si la curva tiene por ecuación z = z(x) se pide:
4) Ecuación diferencial que rige el movimiento del punto sobre la curva del
plano.
5) Condición geométrica que debe satisfacer la ecuación de la curva para que
uno de sus puntos sea de equilibrio relativo para el punto material.
6) Ecuación de la curva para que el punto material pueda encontrarse en
equilibrio en cualquier posición (equilibrio indiferente) y su expresión en
relación con los valores de los parámetros g, m, k y ωo
Soluciones:
1) (1 + z 02 )ẍ + z 0 z 00 ẋ2 + gz 0 − ω 2 x = 0
2) z 0 ≡ tan θ =
3) z =
ω2
x
g
1 ω2 2
x + cte , z(0) = cte
2 g
k
4) (1 + z 02 )ẍ + z 0 z 00 ẋ2 + gz 0 + ( − ω 2 )x = 0
m
1
k
5) z 0 ≡ tan θ = −
− ω2 x
g m
k
1
k
k
1
k
2
2
2
2
2
6) −ω > 0 , z = −
− ω x +cte ; −ω < 0 , z =
ω −
x2 +cte
m
2g m
m
2g
m