Resumen de superficies.

Superficies mas comunes
1. Planos: Ax + By + Cz + D = 0.
2. Esferas: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 .
(Polinomios de segundo grado en x, y, z sin términos cruzados (es decir, términos en
xy, xz, yz).
3. Cilindros: en general, ecuaciones del tipo f (x, y) = 0 (análogamente, g(x, z) =
0, h(y, z) = 0); en el plano se corresponden con curvas, en el espacio queda una coordenada libre, luego se corresponden con cilindros, es decir, superficies formadas por
rectas que se “levantan” sobre la curva f (x, y) = 0. Los más habituales:
x2 y 2
+ 2 = 1. Si a = b, se trata de un cilindro circular; si el eje del cilina2
b
(x − x0 )2 (y − y0 )2
dro está desplazado, pero es paralelo al eje z, se tiene
+
= 1.
a2
b2
Análogamente en x, z ó y, z.
• Elı́pticos:
• Parabólicos: y 2 = 2px. Si el eje está desplazado, pero es paralelo al eje z,
(y − y0 )2 = 2p(x − x0 ). Análogamente en x, z ó y, z.
x2 y 2
− 2 = 1. Si el eje del cilindro está desplazado, pero es paralelo
a2
b
(x − x0 )2 (y − y0 )2
al eje z, se tiene
−
= 1. Análogamente en x, z ó y, z.
a2
b2
• Hiperbólicos:
Los dibujos correspondientes a las superficies que vienen a continuación aparecen en el
cuadernillo de la asignatura (al comienzo del cuadernillo).
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
Principales caracterı́sticas:
4. Elipsoides:
• Si a = b = c, se trata de una esfera.
• Los cortes con planos x = cte, y = cte, z = cte son elipses.
Si el centro del elipsoide está desplazado, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, entonces
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
+
=1
a2
b2
c2
5. Hiperboloide de una hoja:
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
Principales caracterı́sticas:
• La ecuación es similar al elipsoide, pero el signo del término correspondiente a z 2
es negativo.
• Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas.
• Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b).
• El eje del hiperboloide es el eje z.
Si sustituimos en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 , tenemos
un hiperboloide cuyos ejes son paralelos a los coordenados.
6. Hiperboloide de dos hojas:
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
+
−
=
−1,
o
también
−
− 2 + 2 =1
a2
b2
c2
a2
b
c
Principales caracterı́sticas:
• La ecuación es similar al elipsoide, pero de los tres cuadrados sólo uno es positivo.
También se puede ver como análoga a la ecuación del hiperboloide de una hoja,
pero con el término independiente cambiado de signo.
• Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas.
• Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Pero hay
ciertos valores de z para los cuáles los cortes con planos z = cte son vacı́os;
z2
concretamente, esto sucede cuando 2 − 1 < 0.
c
• El eje del hiperboloide es el eje z.
Si sustituimos en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z por z − z0 , tenemos
un hiperboloide cuyos ejes son paralelos a los coordenados.
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 0.
a2
b
c
Principales caracterı́sticas:
7. Cono elı́ptico:
• La ecuación es similar al hiperboloide de una hoja, pero el término independiente
es nulo.
• Los cortes con planos x = cte, y = cte son hipérbolas.
• Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Para z = 0
se obtiene el vértice del cono.
• El corte con x = 0 proporciona dos rectas que se cortan en el origen.
• El eje del cono es el eje z.
Si el vértice del cono está no en (0, 0, 0), sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son paralelos
a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z
por z − z0 .
8. Paraboloide elı́ptico:
x2 y 2
x2 y 2
+
−
z
=
0,
o
en
forma
explı́cita,
z
=
+ 2
a2
b2
a2
b
Principales caracterı́sticas:
• Los cortes con planos x = cte, y = cte son parábolas.
• Los cortes con planos z = cte son elipses (circunferencias, si a = b). Para z = 0
se obtiene el vértice del paraboloide (el origen del sistema de coordenadas). Para
z < 0, los cortes son vacı́os.
• El eje del paraboloide es el eje z.
Si el vértice del paraboloide está no en (0, 0, 0), sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son
paralelos a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por
y − y0 , z por z − z0 .
9. Paraboloide hiperbólico:
y 2 x2
y 2 x2
−
−
z
=
0,
o
en
forma
explı́cita,
z
=
− 2
b2
a2
b2
a
Principales caracterı́sticas:
• Los cortes con planos x = cte, y = cte son parábolas.
• Los cortes con planos z = cte son hipérbolas. Cuando z > 0, el eje de la hipérbola
es paralelo al eje y, y cuando z < 0, al eje x. Si z = 0, la intersección es un par
de rectas que se cortan en el origen.
• En el caso del paraboloide hiperbólico, se dice que el origen es un “punto de
silla” (alrededor del origen, hay tanto puntos que quedan por encima del plano
tangente a la superficie, como por debajo).
• El eje del paraboloide es el eje z.
Si el punto de silla está no en el origen, sino en (x0 , y0 , z0 ), pero sus ejes son paralelos
a los coordenados, basta sustituir en la ecuación anterior x por x − x0 , y por y − y0 , z
por z − z0 .