1 Circuito RLC de corriente continua . E: Se conecta en serie un

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Circuito RLC de corriente continua .
E: Se conecta en serie un resistor R D 5 , un capacitor de 0:04 F, un inductor de 0:5 H y una
fuente de voltaje V D 120 V. Determinar la carga en el capacitor y la corriente por el circuito en
el tiempo t, si inicialmente la carga es de 10 C y la corriente de 5 A.
D: H La ED que describe la carga Q.t/ está dada por:
0:5Q 00.t/ C 5Q 0.t/ C
1
Q.t/ D 120 ) Q 00.t/ C 10Q 0.t/ C 50Q.t/ D 240:
0:04
La ecuación característica asociada es
r 2 C 10r C 50 D 0:
Si aplicamos la fórmula general de ecuaciones cuadráticas tenemos:
p
10 ˙ 100 4.1/.50/
D 5 ˙ 5i:
rD
2
De acuerdo con esto, la solución complementaria es
5t
Qc .t/ D c1 e
Una solución particular es Qp .t/ D
homogénea es
24
C c1 e
5
Derivando la carga se obtiene la corriente:
5c1 e
5t
cos 5t
D. 5c1 C 5c2 /e
5t
5t
sen 5t:
240
24
D
, por lo que la solución general de la ED no
50
5
Q.t/ D
I.t/ D
cos 5t C c2 e
5t
5c1 e
cos 5t
5t
cos 5t C c2 e
sen 5t
5t
5c2 e
.5c1 C 5c2 /e
5t
5t
sen 5t:
sen 5t C 5c2 e
5t
cos 5t D
sen 5t:
Usando las condiciones iniciales Q.0/ D 10 & I.0/ D 5 en las expresiones anteriores resulta:
24
C c1 D 10I
5
5c1 C 5c2 D 5:
Cuya solución es c1 D
26
31
& c2 D . Finalmente, la carga es
5
5
Q.t/ D
24 26
C e
5
5
5t
cos 5t C
31
e
5
5t
sen 5t C.
y la corriente es
I.t/ D 5e
5t
cos 5t
57e
5t
sen 5t A.
24. canek.azc.uam.mx: 18/ 1/ 2011