TERCERA PARTE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

TERCERA PARTE
CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
Corriente alterna senoidal
El paso periódico de un campo magnético fijo cerca
de un conductor, o el paso periódico de un conductor
por un campo magnético fijo, produce un voltaje
oscilatorio de forma senoidal.
El voltaje o la corriente alterna sinusoidal son
generados por una máquina rotativa simple de 2
polos o de una máquina equivalente con número par
de polos conectados de manera tal de entregar un
solo valor senoidal en cada instante. Produce un
voltaje variable de positivo a negativo con una forma
de onda senoidal cuyo período es igual al período de
paso del rotor entre dos polos consecutivos del
mismo signo.
Generador de CA muy simple
ωEQ = P ω / 2
(radianes por segundo)
Período
Es el tiempo que transcurre para completar un ciclo
completo de la onda senoidal.
T = 2π / ω
(seg)
Frecuencia
Es el número de ciclos de la onda senoidal
producidos en cada segundo
f = 1 / T = ω / 2π
(Hz = ciclos / seg)
ω=2πf
Voltaje pico (Vp)
Es el valor absoluto del máximo voltaje positivo o
negativo.
Voltaje instantáneo
Es el valor de voltaje en un instante de tiempo. Si θ
es el ángulo de giro del rotor en cual comienza la
medición:
v (t)=V p sen (ωt +θ) (V)
Si f es la frecuencia en ciclos por segundo:
La rotación del campo magnético produce una forma de voltaje
senoidal
ω=2 π f
radianes
seg
v (t)=V p sen (2 π f t +θ) (V)
Si : f =60 Hz ω=377
rad
seg
T =0.01666 seg
Voltaje pico a pico (Vpp)
Velocidad angular
Es la velocidad de rotación del rotor ω o la
velocidad equivalente para una máquina de mayor
número de polos (P).
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Es la máxima diferencia entre el voltaje máximo
positivo y el máximo negativo.
Vpp = 2 Vp
29
Análisis de circuitos bajo CA
(en el dominio del tiempo)
Voltaje aplicado y corriente en una inductancia
Voltaje y corriente en una resistencia
i t =
v t 
R
i t =
vemos que no consume energía, excepto por sus
pérdidas internas.
Vp
sen  t
R
El voltaje y la de intensidad coinciden en el tiempo,
se dice entonces que voltaje e intensidad están en
fase.
v (t )=−L
di
dt
i (t )=−
Vp
cos(ω t+θ)
ωL
El voltaje coincide en el tiempo con el cambio de
intensidad.
La intensidad está atrasada 90 º con respecto al
voltaje
La intensidad es inversamente proporcional a la
frecuencia.
Voltaje y corriente en un condensador
q=Cv
dq
dv
=C
dt
dt
i t =C
dv
dt
i t = C V p cos t 
La intensidad coincide en el tiempo con el cambio de
voltaje.
La intensidad está adelantada 90º con respecto al
voltaje.
La intensidad es proporcional a la frecuencia.
Una inductancia almacena flujo magnético en ½ ciclo
y lo pierde induciendo un voltaje en el siguiente ½
ciclo. Intuitivamente vemos que no consume energía,
excepto por sus pérdidas óhmicas y en el núcleo (si
lo hay).
Voltaje eficaz o rms
Es el valor de un voltaje de CD que haría el mismo
trabajo en el mismo tiempo sobre una resistencia R.
Un condensador almacena carga en ½ ciclo y la
devuelve en el siguiente ½ ciclo, intuitivamente
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
30
Con el siguiente desarrollo se determina el valor
eficaz o rms (root mean square) o valor cuadrático
medio Vef de una onda de voltaje senoidal.
W =P Δ T
√
V ef = R
V 2ef
=
ΔT
R
para Δ T =(π−0)
√
2
W
R π v (t)
1 π
= π ∫0
dt = π ∫0 v (t)2 dt
ΔT
R
√
√
1
=V √ π ∫ (1−cos (ωt ))dt
π
p
V ef =V p
V ef =
V = Vef ∠ 0º
2
I =I ef  j0
1 π (1−cos(2 ω t))
dt
π ∫0
2
I =I ef 0º
√ 1π ∫ (1−cos(2 ω t ))dt
π
0
π
V
1 π
V ef = p π ∫0 dt−∫0 cos (2 ω t )dt
√2
π
Obsérvese en la figura que ∫0 cos(2 ω t )dt =0
√
(
V ef =
V ef =
Vp
√2
En un condensador:
)
I =0 j I ef
Vp 1
(π−0)
√2 π
√
I =I ef 90º
V p =V ef √ 2
En una inductancia:
Igualmente:
I ef =
V = Vef + j0
0
√
Vp
√2
Los fasores en los elementos pasivos básicos son,
considerando que la medición de voltaje comienza al
inicio de un ciclo (ωt = 0, θ = 0):
En una resistencia:
1 π 2
2
V ef = π ∫0 V p sen (ω t) dt
V ef
Como vectores polares, la magnitud representa el
valor absoluto y el ángulo ϕ representa el desfase del
inicio de la onda de voltaje o de corriente con
respecto al ángulo del inicio de la medición (θ).
Ip
√2
I p =I ef √(2)
I =0− j I ef
Fasores
Para muchos cálculos relacionados con la corriente
alterna nos interesa el efecto sobre la potencia y la
energía en un tiempo mucho mayor que un ciclo, de
manera que no necesitamos conocer la respuesta de
un circuito en cada instante de tiempo.
Un fasor es la representación de la magnitud eficaz y
el ángulo de fase de un voltaje o una corriente
senoidal en coordenadas rectangulares planas, para
ser tratados matemáticamente como vectores en
coordenadas polares o como números complejos.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
I =I ef −90º
Como números complejos, la componente no
desfasada con respecto al inicio de la onda de voltaje
(ángulo=0) de la fuente, se considera en el eje “x” o
real, y la componente desfasada en el eje “y” o
imaginario.
31
Operaciones con fasores y números complejos
Por ser la suma y la resta muy extensas para vectores
polares, es preferible usar números complejos para
sumar y restar.
Por ser la multiplicación y división muy extensas en
el plano complejo, es preferible usar vectores en
coordenadas polares para multiplicar y dividir.
Suma: a jbc jd =ac  j bd 
Resta: a jb−c jd = a−c j  b− d 
M ultiplicación:
a ⋅b = ab 
a a
= − 
b  b
División:
La unidad imaginaria j
j 2 =−1
j=−1
1
1
−1 = −1 =− j
=
=
j −1  −1 2 −1
Conversión entre valores complejos y polares
De complejo a polar:
a j b= a 2 b 2 tan−1
b
a
De polar al plano complejo:
a =a cos  j a sen 
Conversión entre radianes y grados
180
 º=
 (rad)

y

 (rad)=
º
180
Impedancia
Relación entre el voltaje y la corriente fasorial en una
corriente alterna. Representa la oposición al paso de
la corriente eléctrica no directa (alterna, pulsante,
transitoria) ejercida por una carga, puede estar
formada por cualquier combinación de componentes
resistivos (resistencias) y componentes reactivos
(inductancias, capacitancias). La dimensión de la
impedancia es el Ohm.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Intuitivamente, la oposición al paso de la corriente
alterna en una resistencia es igual que si la corriente
fuera directa, es igual a la resistencia R.
En un condensador, a mayor capacidad C y a mayor
velocidad angular ω, más rápido varía la carga en el
tiempo, por lo que ejerce una menor oposición al
paso de la corriente.
Para un inductor, a mayor inductancia L, y a mayor
velocidad angular ω, más oposición a los cambios de
flujo en el tiempo y por ende, a los cambios de
voltaje y corriente. Por estas razones, la impedancia
de un circuito que incluya capacitancias e
inductancias depende de la frecuencia. El concepto
de impedancia se utiliza en el dominio de la
frecuencia, ya que en el dominio del tiempo no tiene
significado. Debido al desfase de 90º entre el voltaje
y la corriente en cada componente reactivo (capacitor
o inductor), la impedancia se puede representar de
diferentes maneras:
1. En forma compleja (el cálculo obedece a la
geometría rectangular), con la componente
resistiva como la parte real y la reactiva como la
parte imaginaria.
2. En forma polar, donde la magnitud representa el
valor absoluto y el ángulo representa el desfase
entre el voltaje y la intensidad de corriente.
3. En forma rectangular, con la componente resistiva
en el eje “x” y la componente reactiva en el eje
“y”.
El valor complejo de la impedancia de elementos
pasivos básicos sale de la relación entre intensidad y
voltaje en cada elemento:
En una resistencia:
V ef
I ef =
R
Z R =R j 0
Z R =R0º
En un condensador:
I ef = C V ef
1
Z C =0
j C
1
Z C=
−90º
C
En una inductancia:
1
I ef =
V
ω L ef
Z L=0+ j ω L
Z L=ω L 90º
32
Representación polar de la impedancia
La impedancia es la relación entre los fasores de
voltaje y corriente, por lo tanto sólo nos interesa la
magnitud y el desfase entre voltaje e intensidad.
Fasores de
voltaje y
corriente en
una impedancia
Z. El ángulo de
la impedancia
será igual pero
de signo
opuesto al
ángulo de la
corriente.
Para una impedancia Z con desfase ϕ
y ángulo inicial de voltaje θ:
En un diagrama eléctrico se pueden representar la
resistencia y la reactancia de una impedancia como
elementos en serie.
Las relaciones entre las componentes resistiva y
reactiva quedan así:
Z =R+ j X
R=Z cos ϕ
Z =√ R + X tan
2
2
R=√ Z 2− X 2 0º
−1
X
R
−90º≤ϕ ≤+90º
La parte real o resistiva de una impedancia se
comporta como una resistencia pura, y no produce
desfase entre el voltaje y la corriente. Una resistencia
sola es una impedancia resistiva que no tiene parte
imaginaria.
Si la impedancia es inductiva, se puede representar
como la serie de una resistencia (parte real) y una
inductancia (parte imaginaria positiva):
V =V ef cos θ+ j V ef sen θ
V =V ef θº
I = I ef cos(θ−ϕ)+ j I ef sen(θ−ϕ)
X L=Z sen ϕ
I =I ef (θ−ϕ)º
V ef θº
V
V
Z= =
= ef ϕº
I I ef (θ−ϕ)º I ef
ohm
X L =√ Z −R
2
2
0º≤ϕ ≤+90º
Si la impedancia es capacitiva, se puede representar
como la serie de una resistencia (parte real) y una
capacitancia (parte imaginaria negativa):
Representación rectangular y compleja de la
impedancia. Resistencia y Reactancia
Podemos representar también una impedancia en
forma rectangular con dos componentes en el plano
cartesiano, una en el eje real, la parte resistiva, y una
imaginaria o reactiva en el eje imaginario, llamada
reactancia. La reactancia puede ser capacitiva
(ángulo ϕ negativo) o inductiva (ángulo ϕ positivo).
X C =Z sen ϕ X C =−√ Z −R
2
2
−90º≤ϕ <0º
El valor complejo de una impedancia formada por
una combinación de elementos pasivos básicos en
serie y/o paralelo se calcula con las reglas de
conexión en serie y en paralelo de los elementos que
la componen, y operando en números complejos o
vectores polares.
Admitancia
El inverso de la impedancia se llama admitancia y se
mide en mho. La parte real de la admitancia es la
conductancia y la parte imaginaria de la admitancia
se llama susceptancia, las cuales no corresponden
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
33
necesariamente a los inversos de la resistencia ni de
la reactancia de la impedancia correspondiente.
1
Y=
Z
Admitancia:
Para calcular impedancias en serie es más fácil si se
plantean en forma compleja:
n
(mho)
Y = G + j B (mho)
Se pueden ordenar en una tabla:
donde G = conductancia y B = susceptancia
Mientras en un diagrama eléctrico una impedancia se
puede representar como la serie (la suma vectorial)
de una resistencia y una reactancia, la admitancia
equivalente se representa como el paralelo (la suma
vectorial) de una conductancia y una susceptancia.
Conductancia y susceptancia
La conductancia es el inverso de una resistencia, y la
susceptancia el inverso de una reactancia, y se
combinan siguiendo las leyes de las admitancias.
Podemos deducir la admitancia, conductancia y
susceptancia a partir de una impedancia:
1
1
1
−1 X
Y= =
=
−tan
Z R jX  R2 X 2 
R
Y=
1
 R 2 X 2
G=
cos tan
−1
1
R X
2
2
X
1
X
− j
sen tan−1 
2
2
R
R
 R X
cos tan−1
X

R
mho
1
−1 X
B=− j
sen tan

2
2
R
R X
mho
NOTA: De acuerdo a las ecuaciones anteriores, una
admitancia NO es la suma de los inversos de la
resistencia y la reactancia de la impedancia
correspondiente, a menos que la impedancia sea una
resistencia o una reactancia pura.
En general: Y ≠ 1/R + j1/X.
Combinación de impedancias
El cálculo de impedancias compuestas utiliza reglas
similares a las de las resistencias compuestas, aunque
se deben usar las operaciones adecuadas según la
representación que se elija, ya sea compleja o polar.
Impedancias en serie:
n
Z S = ∑1 R i  j ∑1 X i
n
Real
Imaginaria
Z1
R1
X1
...
...
...
Zn
Rn
Xn
ZS
R1+R2 ... +Rn
X1+X2 … +Xn
n 1
1
=∑1
ZP
Zi
Impedancias en paralelo:
Para calcular impedancias en paralelo se debe hacer
una operación más complicada. Primero se obtienen
los inversos en forma polar, se trasladan a forma
compleja y luego se suman en una tabla.
Mag.
Ang.
Real
Imaginaria
1/Z1
-ϕ1
1/Z1 cos ϕ 1
1/Z1 sen -ϕ 1
...
...
...
...
1/Zn
-ϕn
1/Zn cos ϕ n
1/Zn sen -ϕ n
1/ZP
Σ 1/Zi cos ϕ i
Σ 1/Zi sen ϕ i
= YP
= GP
= BP
Con estos resultados parciales se obtiene la
admitancia, conductancia y susceptancia equivalentes
del paralelo de impedancias. La impedancia
equivalente es el inverso de la admitancia.
Z P=
1
1
−1 B P
=
−tan
2
2
Y P √ G P +B P
GP
Luego se puede convertir a la forma compleja si se
requiere.
Para dos impedancias en paralelo el cálculo se puede
hacer un poco más directo si se tienen las formas
polar y compleja de cada una:
Z P=
Z1 Z 2
Z 1 +Z 2
Z S = ∑1 Z i
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
34
Combinación de admitancias
Circuito R-L en paralelo:
Al igual que con las impedancias, las operaciones
deben hacerse en forma vectorial.
n
Z=
1
1
1
=
=
1
1
1 1
1
1

 L
−j L

Z R ZL R j
R
Y P = ∑1 Y i
Admitancias en paralelo:
Z=
n 1
1
=∑1
YP
Yi
Admitancias en serie:
Debido a que las admitancias en paralelo se suman,
algunos problemas se resuelven más fácilmente si se
convierten las impedancias en admitancias.
Impedancia de circuitos R-C y R-L
1


Z=
1
1
R

tan−1 − L

R 2 2 L2
1
1
 2 2
2
R  L

−
1
2
tan−1
R
L

Impedancia de un circuito R-L-C, resonancia
Circuito R-C en serie:
Circuito R-L-C en paralelo
Z =Z R Z C
Z = R j0 0
Z =R−
1

jC
j
C
Circuito R-C en paralelo:
Z=
Z=
1
1
1

ZR ZC
1
1
=
1
1
 jC
 2 C 2 tan−1  CR
R
R2


Z=
1
 2 C 2
R2

−
1
2
[ (
Impedancia: Z =RS +
1
1
1
+j
−
R
XL XC
−1
)]
Circuito R-L-C en serie
−tan−1  CR
Circuito R-L en serie:
Z =Z R Z L
Z = R j0 0 j  L
Z =R j  L
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Impedancia:
Z =R j  X L −X C 
Las impedancias de los componentes capacitivos e
inductivos se restan, ya que tienen direcciones
opuestas sobre el mismo eje imaginario.
En ambos casos la frecuencia de resonancia
se produce cuando X L= X C
1
1
1
1
2
ω L=
ω=
ω=
f=
ωC
LC
2 π √ LC
√ LC
35
Circuito R-L-C en paralelo – la corriente es mínima en resonancia (debe minimizarse a la frecuencia fundamental)
Las armónicas producen un aumento de corriente en los capacitores, motores y transformadores
Circuito R-L-C en serie – la corriente es máxima en resonancia
Alguna de las armónicas podría dañar componentes no filtrados
Potencia bajo corriente alterna
Potencia instantánea:
P (t )=v (t )i (t )
La potencia media durante un ciclo es: P m =
1 2π
∫ v (t )i(t )dt
2π 0
Para una resistencia: v (t )=V P sen (ω t ) y i (t )=
v(t)
, considerando por simplicidad θ=0
R
2
2
2
V 2p V ef2
1 2π V p
1 V p 2π 1
1 Vp
2
P m = ∫0
sen (ω t) dt=
∫ (1−cos(2 ωt ))dt = 2 π R π= 2R = R =V ef I ef
2π
R
2π R 0 2
Para un condensador o una inductancia: P m=
2π
1
V p I p ∫0 sen(ω t )cos (ω t )dt =0
2π
Se concluye que de los elementos pasivos básicos, sólo las resistencias consumen potencia, calculada con los
valores eficaces de voltaje y corriente, mientras los condensadores y las inductancias almacenan y devuelven
energía.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
36
Para una impedancia Z = V / I ∠ ϕ y un desfase entre V ∠ 0º e I ∠ -ϕ :
P (t )=V p sen (ω t ) I p sen(ω t+ϕ)=V p sen (ω t ) I p (sen(ω t )cos ϕ+sen ϕ cos(ω t ))
P(t )=V p I p (sen2 (ω t )cosϕ+sen (ω t )cos(ω t )sen ϕ)
P m=
P m=
1
V I
2π p p
(∫
2π
0
2
2π
cosϕ sen (ω t )+∫0 sen ϕ sen (ω t )cos (ωt )
)
2π
1
1
V p I p cos ϕ ∫0 sen 2 (ω t) + 0 =
V I cos ϕπ=V ef I ef cos ϕ
2π
2π p p
Para una resistencia, cosϕ es 1:
P m =V ef I ef
La potencia en un circuito resistivo - reactivo
P t =S =V I
POTENCIA TOTAL (VA)
(POTENCIA APARENTE)
Sabemos que la potencia media en un elemento
reactivo (condensador, inductancia) es cero, pero nos
interesa conocer todas las relaciones para una
impedancia compuesta por elementos resistivos,
capacitivos e inductivos.
P a =P=V I cosϕ
POTENCIA ACTIVA (W)
(POTENCIA REAL)
P r =Q=V I sen ϕ
POTENCIA REACTIVA (VAR)
(POTENCIA IMAGINARIA)
P t = √ P 2a +P 2r
(VA)
P a =P t cos ϕ=√ Pt −P r
2
Ya no nos intereresan los valores pico V p e Ip, en
adelante sólo trabajaremos con V e I como valores
eficaces o rms, con los cuales podemos calcular las
potencias real, imaginaria, y aparente o total.
2
(W)
Impedancia inductiva:
P r =P t sen ϕ=+√ P 2t −P 2a
(VAR)
Impedancia capacitiva:
P r =P t sen ϕ=−√ P 2t −P 2a
(VAR)
−90º≤ϕ≤+90º
0º≤ϕ<+90º
−90º≤ϕ≤0º
Debido a que por la definición de impedancia
Z=
R=Z cos ϕ y
V
I
X =Z sen ϕ
entonces son válidas:
Pt =
V2
2
=I Z
Z
2
P a=
P r=
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
V
cos ϕ=I 2 Z cos ϕ=I 2 R
Z
V2
sen ϕ=I 2 Z sen ϕ=±I 2 X
Z
37
Factor de potencia y corrección del FP
Una impedancia con un ángulo de desfase muy alto
(cos ϕ muy bajo) obliga al sistema eléctrico a
suministrar un amperaje muy alto en relación a la
potencia efectivamentre utilizada. Este amperaje
ocasiona pérdidas mayores en las líneas de transmisión, mayores caídas de voltaje, y requiere un
generador de mayor capacidad. Un cos ϕ alrededor
de +0.95 se considera adecuado, aunque las empresas
distribuidoras sólo penalizan cos ϕ menores de 0.90.
Se llama factor de potencia (FP o cos ϕ) a la relación
entre la potencia media o activa y la potencia
aparente o total.
F.P. =
Pa P
= = cos ϕ
Pt S
−90º≤ϕ≤+90º
Si 0≤sen ϕ≤1
0º≤ϕ≤90º
la carga es inductiva
(corriente atrasada <=> FP atrasado)
Si −1≤sen ϕ<0
−90º≤ϕ<0º
la carga es capacitiva
(corriente adelantada <=> FP adelantado)
Variación de la potencia reactiva y de la potencia total al reducir
el ángulo de ϕ1 a ϕ2, aumentando el cos ϕ
Otra forma de entender la acción de los capacitores
en la corrección del factor de potencia, es que los
capacitores, por su capacidad de almacenar carga, y
luego entregarla, serán los que suministrarán la
corriente atrasada a las cargas inductivas, en lugar de
que sea la fuente.
Cálculo de la potencia capacitiva
P r1=P a tan ϕ1
P r2 =P a tan ϕ2
P c =P r2−P r1=P a (tan ϕ2−tan ϕ1 )
P c=P a (tan (cos−1 (cosϕ2 ))−tan(cos−1 (cos ϕ1 )))
Como puede observarse, la potencia activa no va a
variar, pero sí va a reducirse la potencia reactiva y la
potencia total, ya que PC será negativa.
Los condensadores que se usan para la corrección del
factor de potencia se denominan por su potencia
capacitiva en KVAR y no por su capacidad en farad,
e indican el voltaje rms, fases, y frecuencia para el
cual están fabricados. Por ejemplo: capacitor
trifásico de 12,5 KVAR a 480V 60 Hz.
Generalmente la carga en cualquier establecimiento
industrial o comercial tiene un factor de potencia
inductivo causado por la inductancia de los motores.
Este FP debe mejorarse (aproximarlo a 1) para evitar
multas y mejorar el desempeño de la instalación,
conectando condensadores (capacitores) en paralelo
con la carga, que compensen la impedancia inductiva
de la misma.
Después de calcular la necesidad de potencia reactiva
capacitiva a adicionar, hay que buscar valores
comerciales de capacitores disponibles en el mercado
para el voltaje de la instalación, y que estén
fabricados con este fin.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Por seguridad, deben disponer de elementos
(resistencias o bobinas) para descargarlos en pocos
minutos después de ser desconectados.
La relación entre potencia Pr y capacidad C y se
puede determinar como sigue:
P r=
V2
2
=V ω C
Zc
P r=
2π f C V
1000
C=10
9
VAR
2
KVAR
P r [ KVAR]
2π f V
2
μF
38
Si se usa un capacitor de 480 volts a 240 volts y a la
misma frecuencia, su potencia en KVAR se reduce al
25% de la nominal a 480V. En general, se debe
medir el voltaje real de la instalación para calcular la
capacidad final de los capacitores a ese voltaje, y no
a su voltaje nominal.
Hay tres métodos de conexión de capacitores:
1. Instalar un banco de capacitores fijo y conectado
permanentemente, que va a ayudar a compensar
toda la instalación. Este banco no puede ser muy
grande, pero es la opción más económica. Su
capacidad en KVAR no debe exceder el 10% de
la capacidad del banco de transformadores en
KVA, ya que sin carga, se podría llegar a una
corriente adelantada o a la resonancia al conectar
y desconectar.
2. Conectar capacitores individuales a los motores
grandes, de manera que la carga inductiva de cada
motor eléctrico quede compensada. No se debe
exceder el 10 – 15% de la potencia del motor en
KW porque se podría dañar el equipo de control
del motor. Si todos los motores son pequeños o
están controlados con convertidores de fecuencia,
este método no es muy práctico.
3. Instalar un banco de capacitores automático
varias etapas, el cual, por medio de
controlador automático, irá conectando
desconectando grupos de capacitores según
factor de potencia y la carga del sistema.
de
un
o
el
La conexión y desconexión frecuente de las etapas de
un banco automático produce voltajes y corrientes
transitorias elevados, las cuales pueden dañar
equipos electrónicos.
Debido a que la impedancia de un capacitor es
inversamente proporcional a la frecuencia, cuando
hay equipos que producen corrientes armónicas, las
armónicas de orden mayor van a circular con mayor
libertad, produciendo daños en los equipos de
protección y control de un banco de capacitores
automático, y en los mismos capacitores, por el
calentamiento producido por el exceso de corriente,
especialmente cuando se llega a la resonancia de los
circuitos a una determinada frecuencia armónica.
Banco de capacitores con fusibles y elementos de descarga
Por estas razones, cada vez es más necesario instalar
filtros para armónicas en los conductores
alimentadores, aislando así las corrientes armónicas
producidas en el interior de la planta o edificio, de
los tableros principales y de los bancos de
condensadores .
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
39
Capacidades máximas para la corrección individual de motores
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
40
Corriente alterna trifásica
Es el voltaje o la corriente generada por una máquina
rotativa de 6 polos o de una máquina equivalente con
número par de polos conectados de manera tal de
entregar tres valores senoidales distintos y separados
120º entre sí, cuyo período es igual al período de
paso del rotor entre dos polos consecutivos del
mismo signo y del mismo circuito o fase.
Generador trifásico simple de 2 polos por fase
“D”. A esta también se le llama “conexión en
triángulo”.
Conexión estrella o “Y”
Se conecta un terminal de cada fase a un punto
común llamado neutro.
De una fuente trifásica conectada en estrella salen 4
conductores, uno para cada fase (A, B y C) y uno
para el neutro (N).
Conexión estrella o “Y”
Forma de onda y ángulos del voltaje inducido trifásico
Diagrama fasorial de los voltajes de fase y de línea
en una conexión estrellla
Voltajes trifásicos sinusoidales
Si:
dΦ
v (t )=−N
= NBS sen (ω t +θ)
dt
Entonces si para v 1 , θ=0 :
v 1 (t )=V sen (2 π f t )
Voltaje de fase V F
Voltaje de línea V L= √ 3 V F ≈1,732 V F
Corriente de fase I F
Corriente de línea I L=I F
Potencias P=P A +P B +P C
v 2 (t )=V sen (2 π f t−120º)
v 3 (t)=V sen (2 π f t −240º)
Dependiendo de cómo se conecten los terminales de
un aparato trifásico (generador, motor, resistencias,
etc.), la conexión puede ser estrella o “Y” o delta
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Conexión delta , “Δ” o triángulo
Se conecta el 2o. terminal de cada fase al primer
terminal de la siguiente. No existe neutro.
De una fuente trifásica en delta salen 3 conductores,
uno para cada fase (A, B y C).
41
Conexión delta (Δ) o triángulo
Fuente en delta – carga en delta
Fuente en delta – carga en estrella
Voltaje de fase V F
Voltaje de línea V L=V F
Corriente de fase I F
Potencia P=P A +P B +P C
Conexión de una carga trifásica a una fuente
trifásica
Los siguientes diagramas muestran las diferentes
configuraciones posibles, con fuentes y cargas en
estrella o en delta.
Fuente en estrella – carga en estrella
Cargas balanceadas
Son las cargas eléctricas trifásicas cuya corriente,
potencia y factor de potencia son iguales en las tres
fases, y donde se cumple P = 3 V FIF cos ϕ. Ejemplo:
motores eléctricos trifásicos nuevos, hornos con 3
resistencias idénticas.
Si v(t) e i(t) son los voltajes y corrientes de fase:
p1(t) = Vp (sen(ωt)) Ip sen(ωt + ϕ))
p2(t) = Vp (sen(ωt - 2/3π)) Ip sen(ωt - 2/3π+ ϕ))
p3(t) = Vp (sen(ωt – 4/3π)) Ip sen(ωt – 4/3π+ ϕ))
Fuente en estrella – carga en delta
Se puede demostrar que en cada instante:
P (t )= p 1 (t)+ p 2 (t )+ p 3 (t )=3 V Fef I Fef cos ϕ
y también:
P (t )= p 1 (t )+ p 2 (t)+ p 3 (t )=√ 3V Lef I Lef cos ϕ
P(t) es un valor constante en el tiempo y a lo largo
del ciclo, y esa es una gran ventaja de un sistema
trifásico balanceado, como el caso de los motores,
donde todas las fases son idénticas.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
42
Diagrama fasorial de voltajes y corrientes de línea
en un sistema trifásico balanceado (corrientes iguales)
Para una conexión estrella desbalanceada:
IA , IB , IC dependen de las cargas conectadas entre
cada fase y neutro o entre fases (cargas de línea o
trifásicas).
P a =V F ( I A cosϕ A+ I B cos ϕB +I C cos ϕC )
Si Φ 1=Φ2 =Φ 3 , la corriente de neutro es:
Si las impedancias en 'Y' son iguales:
Voltaje de fase V F =
VL
√3
P t =3 V F I F =√ 3 V L I L
P a =3 V F I F cos ϕ=√ 3 V L I L cos ϕ
P r =3 V F I F sen ϕ= √3 V L I L sen ϕ
Corriente de neutro I N =0
Si las impedancias en 'Δ' son iguales:
Corriente de fase I F =
IL
√3
P t =3 V L I F = √ 3 V L I L
P a =3 V L I F cosϕ=√ 3V L I L cos ϕ
P r =3 V L I F senϕ=√ 3V L I L sen ϕ
Cargas desbalanceadas
Son cargas eléctricas trifásicas formadas por cargas
diferentes en cada fase. El caso más común es una
carga de alumbrado y tomacorrientes conectados a un
tablero trifásico, como un edificio. En este caso debe
calcularse la potencia, voltaje neto y corriente
separadamente para cada fase.
Diagrama fasorial de voltajes y corrientes de línea
en un sistema trifásico desbalanceado (corrientes desiguales)
I N = √ I 2A +I 2B +I 2C −I A I B −I B I C −I C I A
Si no existe conductor de neutro, el punto común de
las cargas se llama “neutro flotante” y si las cargas
llegan a desbalancearse, pueden producirse
desbalances severos entre los voltajes de fase.
En una conexión delta desbalanceada:
Las corrientes de fase I AB , IBC , ICA dependen de las
cargas conectadas entre cada 2 líneas.
P a =V L ( I AB cos ϕ AB +I BC cos ϕ BC +I CA cos ϕCA )
Si Φ 1=Φ2 =Φ 3 , las corrientes de línea son:
2
I A =√( I 2AB+ I CA
+I AB I CA)
I B =√ (I BC +I AB+I BC I AB )
I C =√ (I 2CA +I 2BC +I CA I BC1)
2
2
Estas ecuaciones se resuelven fácilmente para las
corrientes de fase si dos corrientes de línea son
iguales y positivas, por ejemplo IA = IB, entonces:
I BC =I CA=

I AB= I 2A−
IC
3
I C2
I
− C
4 2 3
Para resolver las corrientes de fase conociendo las
corrientes de línea, si estas están totalmente en
desbalance, se deben utilizar métodos numéricos,
como por ejemplo, aproximando resultados en una
tabla.
Conductores eléctricos en sistemas trifásicos
Como se puede observar en los diagramas de
conexión estrella y delta, se requieren 3 conductores
para la transmisión de la energía, de manera que se
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
43
utilizan conductores más delgados que en un sistema
monofásico para transmitir la misma potencia, con
las ventajas que ello conlleva sobre el costo.
Unicamente en caso de cargas desbalanceadas
conectadas en estrella, donde el neutro sí conduce
corriente, se requiere un cuarto conductor. En la
mayoría de las instalaciones donde el neutro sólo
conduce las corrientes de desbalance, se puede
utilizar un conductor de neutro más delgado que los
de las fases.
El ahorro en material conductor de un sistema
trifásico con respecto a uno monofásico es del 15%.
Teorema de Kennelly (conversión de impedancias
D-Y y Y-D)
Una delta o triángulo de impedancias se puede
convertir a una estrella de impedancias
equivalente, y viceversa, con las siguientes
fórmulas, aplicadas vectorialmente:
De Delta a Estrella:
Z AB Z AC
Z AB Z BC Z AC
Z AB Z BC
Z BN =
Z AB Z BC Z AC
Z AC Z BC
Z CN =
Z AB Z BC Z AC
Para impedancias iguales:
Z
ZY= 
3
Z AN =
De Estrella a Delta:
Z AN Z BN
Z CN
Z Z
Z BC =Z BN z CN  BN CN
Z AN
Z Z
Z CA=Z AN Z CN  AN CN
Z BN
Para impedancias iguales:
Z AB=Z AN Z BN 
Z  =3 Z Y
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Ilustración de la conversión de Kennelly
La conversión de Kennelly es útil para resolver
impedancias trifásicas compuestas que incluyen
cargas en delta y cargas en estrella en paralelo, ya
que al convertir las cargas delta en estrella, se puede
trabajar con cada fase individualmente.
Ejercicio: demuestre que
V 2L
P t=
ZY
y que
3 V 2L
P t=
ZΔ
Energía y carga de un sistema eléctrico
Factor de diversidad
Es la relación entre la carga máxima conectada en
cualquier momento y la carga total de una instalación
o circuito eléctrico, por efecto de la no simultaneidad
pre-establecida de las cargas. Ejemplo: dos bombas
instaladas para obtener confiabilidad del suministro
de agua por redundacia (una queda de reserva), pero
que no están programadas para utilizarse simultáneamente.
Factor de demanda
Es la relación entre la demanda máxima de potencia
y la carga total de una instalación eléctrica por efecto
de la no simultaneidad aleatoria de las cargas.
Ejemplo: en un edificio de apartamentos es
improbable que todas las luces de todos los
apartamentos estén encendidas al mismo tiempo, o
que todas las lavadoras de ropa funcionen
simultáneamente.
Una estimación bien informada de los factores de
demanda de una instalación eléctrica permite utilizar
conductores y equipos eléctricos de tamaño
adecuado, sin dimensionarlos en forma excesiva
para el uso real que van a tener.
Para la mayoría de los diferentes tipos de edificación,
tales como residencial, multifamiliar, educativa,
oficinas, hoteles, restaurantes y fincas, el código
eléctrico NEC (NFPA-70) establece los factores de
44
demanda mínimos permitidos para el cálculo de los
conductores alimentadores.
Demanda máxima
Es la relación entre la potencia promedio y la
potencia máxima durante un período de tiempo.
Ejemplo: la potencia promedio durante un mes
comparada con la demanda máxima de una casa de
bombas; esta demanda máxima puede llegar a ser la
potencia total de las bombas, cuando todas funcionan
simultáneamente a potencia máxima durante algunos
intervalos, sin embargo la potencia promedio es la
energía consumida en Kw-h durante el mes, dividida
entre las horas del mes (720 para un mes de 30 días).
Un componente de la factura eléctrica para una carga
importante comercial o industrial es el cargo por
demanda máxima, que es la medición de la energía
en intervalos cortos (15 o 30 minutos), registrándose
durante el mes el intervalo corto de mayor consumo
promedio. Esto produce un cargo por demanda que
puede superar al cargo por consumo total de energía.
La justificación de este cargo es que una demanda
máxima muy alta en relación a la demanda promedio,
obliga a la empresa eléctrica a disponer de mayor
capacidad de generación y distribución para suplir
los períodos de mayor demanda, capacidad que
resulta sub-utilizada el resto del tiempo.
Consumo de energía
Factor de potencia
El principal componente de la facturación de la
empresa eléctrica es el consumo de energía, el cual se
mide en el medidor de la empresa eléctrica instalado
en la acometida principal del cliente. El medidor es
un integrador de la potencia en el tiempo.
El otro componente importante de la facturación de
energía eléctrica industrial o comercial es el recargo
por bajo factor de potencia, que se vio anteriormente.
Factor de carga
T2
T2
W =∫T1 P dt=∫T1 v (t)i (t) dt
En un sistema trifásico, la capacidad de los
capacitores de corrección del factor de potencia se
calcula igual que en un sistema monofásico, pero se
utilizan capacitores trifásicos.
Sistemas normalizados de voltaje secundario (baja tensión)
MONOFASICOS Volts
Sistemas americanos
60 Hz
TRIFASICOS
Y
Volts
TRIFASICOS
Δ
Volts
120/240 (+)
Residencial, comercio pequeño
120/208 (*)
120/208
240
120/240
277/480 (#)
345/600
Sistemas europeos
50 Hz
USO
220 (antiguo)
230 (nuevo)(&)
220/380 (antiguo)
230/400 (nuevo)
240/415
127/220
Residencial (apartamentos)
Residencial (aptos.), comercial
Industria pequeña, mediana
Talleres, pequeña industria
Industria, complejos comerciales
Industria con motores de 600V
Residencial, comercio pequeño
Talleres, industria
Gran Bretaña
G.B. y antiguas colonias
británicas, en obsolescencia
(+) El neutro sólo conduce el desbalance de corriente de las líneas vivas.
(*) Se deriva de un sistema trifásico en estrella; la corriente en el neutro correspondiente a las cargas de 120V
de ambas líneas vivas se suma vectorialmente y puede ser igual a la de las líneas vivas.
(&) Se utiliza una sola fase de un sistema trifásico.
(#) El voltaje de 277V de línea a neutro se utiliza para iluminación fluorescente o de descarga HID.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
45
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcule el valor pico de un voltaje de valor eficaz a) 120 V b) 240 V c) 480 V d) 34500 V
a) Vp = 120 √2 = 170 V
c) Vp = 480 √2 = 679 V
b) Vp = 240 √2 = 339 V
b) Vp = 34500 √2 = 48790 V = 48,8 KV
2. Una instalación eléctrica donde la corriente puede llegar a circular por el suelo debido a un contacto fortuito
del conductor activo con una cerca metálica, produce una caída de tensión entre el punto de contacto fortuito
y la conexión a tierra del neutro en la base del poste de la compañía eléctrica. ¿Por qué razón el ganado
muere fácilmente si se produce una fuga de corriente a tierra desde un punto situado a 10 metros de la fuente
de 120V en una finca con una instalación deficiente?
Caída de voltaje máxima a lo largo de la tierra: VMAX = Vp = 120 √2 = 170 V
Caída de voltaje en cada metro: dV = VP / L = 170 / 10 = 17 V / m
Si las patas delanteras y traseras de un animal están separadas 1,4m, el voltaje que recibe la vaca es de 17 x
1,4 = 23,8 V, y para que resulte en un paro cardíaco basta con unos 10 mA, lo cual ocurrirá con una
resistencia de 23,8 / 0,010 = 4760 ohm.
3. Calcule los valores individuales y totales de la potencia eléctrica consumida (activa), potencia reactiva,
potencia total (o aparente) y la impedancia a plena carga de tres motores eléctricos monofásicos que tienen
los siguientes datos de placa:
M1: 27 A a 240 V 60 Hz, factor de potencia de 0,84
M2: 9,6 A a 240 V 60 Hz con FP = 0,77
M3: 2,1 A a 240 V 60 Hz con FP = 0,81
Motor
V ef
I ef
Cos ϕ
∠ rad
M1
M2
M3
Totales
240
240
240
240
27
9,6
2,1
38,7
0,84
0,77
0,81
0,82
0,574
0,692
0,627
0,609
Pa (W)
VI cos ϕ
5443
1774
408
7625
Pr (VAR)
VI sen ϕ
3516
1470
296
5282
Pt (VA)
VI
6480
2304
504
9276
Z(Ω)
V/I
8,89
25
114,3
6,20
Pa y Pr totales son las sumatorias de las individuales, mientras Pt debe calcularse obteniendo la raíz
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
46
cuadrada de la suma de los cuadrados de Pa y Pt totales. Las potencias totales no se pueden sumar ya que
tienen ángulos diferentes.
Cos ϕ del conjunto = Pa / Pt
Ief = Pt/V ef
Zt = Vef / I ef
4. Para los motores anteriores, calcule la potencia en Kvar de un condensador que lleve el factor de potencia del
conjunto a: a) 0,92 atrasado
b) 0,95 atrasado
c) 0,98 atrasado
Pc = Pa (tan(acos(cosφ1)) – tan(acos(cosφ2)))
a) Pc = 7625 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,92))) = 7625 (0,693 – 0,426) = 2036 VAR
b) Pc = 7625 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,95))) = 7625 (0,693 – 0,329) = 2775 VAR
c) Pc = 7625 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,98))) = 7625 (0,693 – 0,203) = 3736 VAR
Observe que para mejorar el FP a 0,98 se requiere casi el doble de potencia capacitiva que para subirlo a
0,92, y este es todavía mejor que lo exigido por las empresas eléctricas (0,9), pero un FP de 0,92 ofrece un
factor de seguridad por si hubiera aumento de la carga..
5. Si se pone en paralelo con cada motor un condensador, calcule a) la impedancia de cada condensador:
Para M1:
C1=100 uF
Condensador
C1
C2
C3
Para M2:
C2= 40 uF
C (F)
.000100
.000040
.000010
Para M3:
C3= 10 uF
∠ rad
-1,571
-1,571
-1,571
Z= 1/(2 πfC)
26,53
66,32
265,3
b) Calcule las impedancias en paralelo de cada conjunto motor-condensador.
M1//C1
M1
C1
M1xC1
M1+C1
M1xC1/(M1+C1)
Real
7,47
0
Imaginario
4,83
-26,53
7,47
-21,70
M2//C2
M2
C2
M2xC2
M2+C2
M2xC2/(M2+C2)
Real
19,25
0
Imaginario
15,95
-66,32
19,25
-50,37
M3//C3
M3
C3
M3xC3
M3+C3
M3xC3/(M3+C3)
Real
92,58
0
Imaginario
67,06
-265,3
92,58
-198,24
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
Magnitud
8,89
26,53
235,85
22,95
10,28
∠ rad
0,574
-1,571
-0.997
-1,239
0,242
Magnitud
25,00
66,32
1658,00
53,92
30,75
∠ rad
0,692
-1,571
-0.879
1,210
0,331
Magnitud
114,3
265,3
30323,8
218,79
138,60
∠ rad
0,627
-1,571
-0,944
-1,134
0,190
47
Calcule c) el factor de potencia, d) la corriente y e) las potencias de cada conjunto. Observe cómo se
reduce la corriente y mejora el factor de potencia en cada conjunto motor-condensador en relación al
motor solo.
Motor
M1
M1//C1
M2
M2//C2
M3
M3//C3
V ef (V)
240
240
240
240
240
240
d)
I ef (A)
V/Z
27
23,35
9,6
7,8
2,1
1,73
c)
cosφ
∠ rad
0,84
0,97
0,77
0,95
0,81
0,98
0,574
0,242
0,692
0,33
0,627
0,190
Pa (W)
VIcosφ
5443
5443
1774
1774
408
408
e)
Pr (VAR)
VIsenφ
3516
1344
1470
601
296
78
Pt (VA)
VI
6480
5607
2304
1873
504
416
Z (ohm)
8,89
10,28
25
30,75
114,3
138,6
6. Tenemos una lámpara de descarga de alta intensidad de 400W a 240V 60 Hz cuyo conjunto (bombillo y
balastro en serie) tiene un factor de potencia de 0,6. Calcule a) la corriente b) la impedancia del conjunto.
c) Suponiendo que el bombillo funciona como una carga resistiva, calcule su valor en ohm y el valor de la
reactancia representada por el balastro. d) Calcule la capacidad en uF de un condensador a conectarse en
paralelo con el conjunto para elevar el FP a 0,95. e) ¿Cuál es la impedancia total de la lámpara con su
condensador al conectar este?
a) Pt = Pa / cos ϕ = 400 / 0,6 = 667 VA
I = Pt / V = 667 / 240 = 2,78 ∠ -cos-1 (0,6) A
b) Z = V / I = 240 / 2,78 = 86,3 ∠ cos-1 (0,6) ohm
c) Z = R + j X debido a que el conjunto es una serie.
R = Z cos ϕ = 51,8 ohm ∠ 0º ohm
X = j Z sen ϕ = 69,04 ∠ 90º ohm
d) Pc = Pa (tan(acos(cos ϕ1)) – tan(acos(cos ϕ2))) = 400 (tan(acos(0,6))-tan(acos(0,95)))
Pc = 400 (1,333-0,329) = 401,6 VAR capacitivos
Zc = V / I = V2 / Pc = 2402 / 401,6 = 143,4 ∠ -π/2 rad (ohm)
C= 1 / 2π f Z = 18,5 uF
e) Pt = Pa / cos ϕ = 400 / 0,95 = 421 VA (inductiva)
I = Pt / V = 421 / 240 = 1,754 ∠−acos(0,95) A
Zf = V / I = 240 / 1,754 = 136,8 ∠0,317 rad (ohm)
7. Si los motores del ejemplo 5 (sin sus condensadores) pertenecen a una fábrica de helados que se ilumina con
8 lámparas como las indicadas (con su condensador), a) Calcule la potencia activa total en KW, la potencia
reactiva total en KVAR, la potencia total en KVA y el factor de potencia. b) Calcule la factura eléctrica
mensual para una jornada de 10 horas durante 22 días hábiles mensuales, a 90 colones cada Kw-h.
c)
Explique por qué no se deben sumar aritméticamente las potencias totales, sólo las activas o las reactivas.
a) Pa = Pa motores + Pa luces = 7625 + 8 x 400 = 10825 W
Pr = Pr motores + Pr luces = 5278 + Pt luces sen φ
Pr = 5278 + 8 x 421 x sen(0,317rad) = 6328 VAR
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
48
Pt = (Pa2 + Pr2)1/2 = 12539 VA
FP = Pa / Pt = 10825 / 12539 = 0,863
b) W = Pa x Horas / 1000 = 10825 x 10 x 22 / 1000 = 2381,5 Kw-h
Factura = W x Precio = 2381,5 x 90 = 214,335 colones
c) Las potencias totales no se deben sumar aritméticamente debido a que no tienen el mismo ángulo.
8. Calcule a) la corriente total b) la caída de tensión aproximada en la alimentación, c) la potencia perdida en
los conductores de alimentación si esta tiene 35 metros de longitud y está formada por 2 conductores No. 2
AWG en tubería de acero. Debido a características propias de los motores de inducción y de las lámparas
de descarga, la potencia casi no varía con pequeñas variaciones de voltaje, por lo cual supondremos que la
corriente en la carga será la misma aun cuando el voltaje tenga una caída en la alimentación. d) calcule la
magnitud de la corriente de cortocircuito máxima posible (valor pico) al final de la alimentación.
a) I = Pt / V = 12539 / 240 = 52.25 A ∠ -0,530 rad
(corriente inductiva)
b) Ra = 0,66 ohm / Km = 2 x 0,66 x 35 /1000 = 0,0462 ohm
Xa = 0,187 ohm / Km = 2 x 0,187 x 35 / 1000 = 0,0131 ohm
Za = √(Ra2 + Xa2 ) ∠ atan(Xa / Ra) = 0,048 ∠ 0,276 rad (ohm)
Va = Za I = 0,048 x 52.25 ∠ 0,276 +(- 0,530) rad = 2,5 V ∠ -0,254 rad
c) Pa alimentación = Ia2 Ra = 52.25 x 52.25 x 0,048 = 131 W
d) Icc = Vef √2 / Za = 240 x 1,414 / .048 = 7070 A
9. Dos cargas trifásicas balanceadas conectadas en paralelo a 208V 60 Hz son:
a) Una carga A conectada en “Y” con una corriente de fase de 13 A y un F.P. atrasado de 0,85
b) Una carga B conectada en delta con una potencia total de 3 KW y un F.P. atrasado de 0,9
Calcule:
a) Corriente fasorial de línea de la carga en estrella
IA = 13 ∠ cos-1 0,85 = 13 ∠ -31,79º = 13 x 0,85 + j 13 sen -31,79º = 11,05 – j 6,848 A
b) Corriente fasorial de línea de la carga en delta
PTB = PAB / cos ϕ = 3000 / 0,9 = 3333 VA
IB = PTB / V / √3 = 3333 / 208 /1,732 = 9,252 ∠ cos-1 0,9
IB = 9,252 ∠ -25,84º = 9,252 x 0,9 + j 9,252 sen -25,84º = 8,327 – j 4,033 A
c) Corriente total de línea en forma polar y F. de Pot. (indicar Adelantado o Atrasado)
IT = IA + IB = (11,05 – j 6,848) + (8,327 – j 4,033) = 19,377 - j 10,88
IT = √(19,3772 + 10,882) ∠ tan-1 (10,88/19,377) = 22,22 ∠ -29,32º A
F.P. = cos -29,32º = 0,872 atrasado
d) Potencias total, activa y reactiva
PT = V I √3 = 208 x 22,22 x 1.732 = 8005 VA
PA = V I cos ϕ √3 = 208 x 22,22 x 0,872 x 1.732 = 6980 W
PR = √(PT2 – PA2) = 3919 VAR inductivos
e) Potencia en VAR de un banco de condensadores que suba el FP total a 0,92
PC = PA (tan(cos-1 0,872) - tan(cos-1 0,92)) = -946 VAR (capacitivos)
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
49
f) Potencia total y corriente total del conjunto incluyendo el banco de condensadores
PR2 = PR + PC = 3919 – 946 = 2973 VAR
PT2 = √3 (PA2 + PR22) = 7588 VA ( se redujo en 8005-7588 = 417 VA)
IT2 = PT2 / V / √3 = 7588 / 208 / 1,732 = 21,06 A (se redujo en 22,22-21,06 = 1,16 A)
10.Tres cargas trifásicas balanceadas conectadas en paralelo se alimentan desde el secundario de un
transformador con 3 conductores, cada uno con una impedancia de 0,03 + j0,02 ohm y son:
a) Un horno (carga resistiva) de 230V (voltaje de línea) conectado en estrella con una corriente de fase
de 30 A
b) Una máquina conectada en delta con una potencia de 17 KW a 230V y un factor de potencia
atrasado de 0,75
c) Un motor trifásico con una corriente de línea de 38 A y 11 KW de potencia eléctrica.
Suponiendo que el voltaje de línea que llega a cada máquina es de 230V 60 Hz debido a la caída de voltaje en
la alimentación, calcule (6 x 10 = 60 puntos):
a) Potencia activa, reactiva y total, y corriente total del conjunto
Horno: PA= VL x IL x √3 cos(0º) = 230 x 30 x √3 x 1 = 11951 W; PT = PA= 11951 VA; PR = 0
Máquina: PA= 17000 W; PT = PA / cosϕ = 17000 / 0,75 = 22667 VA; PR = √(PT2-PA2) = 14993 VAR
Motor: PA = 11000 W; PT = VL x IL x √3 = 230x38x√3 = 15138 VA; PR = √(PT2-PA2) = 10400 VAR
Conjunto: PA = Σ PA = 11951+17000+11000 = 39951 W; PR = Σ PR = 14993+10400 = 25393 VAR
PT = √(PA2+PR2) = √(399512+253932) = 47338 VA; IT = PT / (VL √3) = 119 A
b) Potencia compleja (S = P + jQ) perdida en la alimentación
S = 3IT2 R + j 3IT2 X = 3x1192x0,03 + j3x1192x0,02 = 1271+j847 VA
c) Potencias activa, reactiva y total y FP de toda la instalación incluyendo máquinas y conductores
P=39951+1271=41222 W; Q=25393+847=26240 VAR; S=√(P2+Q2) = 48865 VA
FP = P / S = 41222 / 48865 = 0,844
d) Voltaje a la salida del transformador. Si los valores comerciales cercanos son 45 – 75 - 112,5 KVA,
¿es suficiente un transformador de 45 KVA, o cuál se debe usar?
VS = S / (IT √3) = 48865 / (119 √3) = 237 V (la caída de voltaje es aproximadamente de 7V)
Si la potencia total S es de 48865 VA ≈ 49 KVA, se debe usar el transformador de 75 KVA
e) Potencia en VAR de un banco de condensadores conectado a la salida del transformador que suba el
FP total a 0,92
PC = P (tan(acos(0,92))-tan(acos(0,844)))= -8679 VAR
f) Potencia total y corriente del secundario incluyendo el banco de condensadores. ¿Es suficiente ahora
un transformador de 45 KVA?
P=41222 W; Q=26240-8679=17560 VAR; S=√(P2+Q2) = 44806 VA; IS = S / (VS √3) = 109 A
En este caso el transformador de 45 KVA es suficiente, siempre que el banco de condensadores
funcione corectamente. Puede ser inconveniente no contemplar el caso de falla.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
50
11.Circuito de corriente alterna con dos fuentes.
Ley de voltajes de Kirchoff:
V Z1=V 1−V Z3
y
V Z2=V 2 −V Z3
Ley de corrientes de Kirchoff:
I 3 =I 1 +I 2
V Z3 V 1 −V Z3 V 2 −V Z3
=
+
Z3
Z1
Z2
V Z3 Z 1 Z 2 =(V 1−V Z3 )Z 2 Z 3+(V 2 −V Z3) Z 1 Z 3
V Z3=
V 1 Z 2 Z 3 +V 2 Z 1 Z 3
Z 1 Z 2+Z 2 Z 3 +Z 1 Z 3
Ya se pueden calcular V Z1 ,V Z2 y las
corrientes I Z1 , I Z2 , I Z3
¡Nótese la analogía con un circuito magnético con tres brazos y doble excitación! (ver ejercicios parte 2)
12.Circuito trifásico estrella – estrella desbalanceada. Determinar los voltajes en la carga. Debe considerarse la
misma polaridad en las 3 fuentes, así como en las 3 corrientes de la carga. Los ángulos determinarán el
sentido real de la corriente en cada instante. Determinaremos primero el voltaje Vn en el neutro de la carga
(neutro flotante) con respecto al neutro de la fuente VN = 0.
Ley de corrientes de Kirchoff en n :
I 1+ I 2 +I 3 =0
=>
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
V Z1 V Z2 V Z3
+
+
=0
Z1 Z2 Z3
51
V Z1 Z 2 Z 3+V Z2 Z 1 Z 3 +V Z3 Z 1 Z 2 =0
(V 1 −V n ) Z 2 Z 3 +(V 2 −V n )Z 1 Z 3 +(V 3−V n )Z 1 Z 2=0
V n (Z 1 Z 2 +Z 2 Z 3 +Z 1 Z 3 )=V 1 Z 2 Z 3+V 2 Z 1 Z 3 +V 3 Z 1 Z 2
V n=
V 1 Z 2 Z 3+V 2 Z 1 Z 3 +V 3 Z 1 Z 2
Z 1 Z 2 +Z 2 Z 3 +Z 1 Z 3
V Z1=V 1−V n
V Z2 =V 2−V n
V Z3 =V 3 −V n
En cualquier caso páctico, todas las operaciones se deben hacer vectorialmente. Una aplicación práctica del
neutro flotante es un circuito para determinar la secuencia de fases de una fuente trifásica (Práctica 6-3 de LabVolt, Circuitos de potencia y transformadores).
La solución del ejercicio 10 es un caso especial del 11 donde V3=0 y Vz3=Vn.
Electrotecnia – Parte 3 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Diciembre 2011
52