Se llama Transformada de Laplace de la función F(t) t ≥ 0 a la

Se llama Transformada de Laplace de la función F (t) t ≥ 0 a la
función
Z ∞
L(F (t)) = f (s) =
e−st F (t)dt
0
siempre y cuando, la función esté definida.
Ejemplo 1. Sea F (t) = eat , entonces:
Z
L(F (t)) = L(eat ) = f (s) =
∞
e−st eat dt =
0
1 (a−s)t ∞
e
|0
a−s
. Entonces, si
a>s⇒
pero, si
a<s⇒
1
(e∞ − e0 ) = ∞ ⇒ @L(eat )
a−s
1
−1
1
(e−∞ − e0 ) =
=
a−s
a−s s−a
es decir,
L(eat ) =
1
s−a
/ s>a
Sea f (s) = L(F (t)), llamaremos Transformada Inversa de Laplace,
L−1 (f (s)) = F (t).
1
2
ı̈¿ 21
ı̈¿ 12 Función Transformada de Laplace
F(t)
L(F(t))=f(s)
k
k
s
t
1
s2
tn
n!
sn+1
eat
1
s−a
sen(at)
cos(at)
1
√
t
senh(at)
cosh(at)
s2
a
+ a2
s2
s
+ a2
r
π
s
s2
a
− a2
s2
s
− a2
3
Sean L(F (t)) = f (s), L(G(t)) = g(s), L−1 (f (s)) = F (t), L−1 (g(s)) =
G(t) y α, β ∈ <. Entonces, se verifica:
P1) Linealidad
L(αF (t) + βG(t)) = αL(F (t)) + βL(G(t))
L−1 (αf (s) + βg(s)) = αL−1 (f (s)) + βL−1 (g(s))
P2) Primera Traslación
L(eat F (t)) = f (s − a)
L−1 (f (s − a)) = eat F (t)
P3) Segunda Traslación
F (t − a) t > a
⇒ L(G(t)) = e−as f (s)
Si G(t) =
0
t<a
F (t − a) t > a
L−1 (e−as f (s)) =
0
t<a
P4) Cambio de escala
1 s
L(F (at)) = f
a
a
1
t
L−1 (f (as)) = F
a
a
4
P5) Transformada de las derivadas
L(F 0 (t)) = sf (s) − F (0)
L(F 00 (t)) = s2 f (s) − sF (0) − F 0 (0)
..
.
L(F (n (t)) = sn f (s) − sn−1 F (0) − . . . − sF (n−2 (0) − F (n−1 (0)
Esta propiedad nos será muy útil para la resolución de ecuaciones
diferenciales, que veremos más adelante.
P6)
L(tn F (t)) = (−1)n f (n (s)
L−1 (f (n (s)) = (−1)n tn F (t)
P7)
Z ∞
F (t)
F (t)
=
f (u)du siempre que ∃ limt→0
L
t
t
s
Z ∞
F (t)
L−1
f (u)du =
t
s
y también se verifica que:
Z t
f
(s)
L−1
=
F (u)du
s
s
P8) Teorema de Convolución
Z t
L
F (u)G(t − u)du = f (s)g(s)
0
Z t
L−1 (f (s)g(s)) =
F (u)G(t − u)du
0
5
3s
+
7
Ejemplo 2. Calcular L−1 2
s − 2s − 3
3s + 7
A
B
A+B =3
=
+
⇒
⇒ A = −1 B = 4
2
−3A + B = 7
s − 2s − 3 s + 1 s − 3
y, por tanto
4
−1
3s + 7
−1
=L
+
=
L
s2 − 2s − 3
s+1 s−3
1
1
−1L−1
+ 4L−1
= −1e−t + 4e3t
s+1
s−3
−1
Ejemplo 3. Calcular L(e3t t2 )
Por la Propiedad 2, tenemos que:
L(e3t t2 ) = f (s − 3), pero L(t2 ) =
2!
2
=
= f (s)
s3
s3
⇒ L(e3t t2 ) =
2
(s − 3)3
ó también podrı́amos haber hecho:
F (t) = e3t
⇒ f (s) = L(e3t ) =
L(e3t t2 ) = (−1)2 f 00 (s) =
1
s−3
⇒
2
(s − 3)3
sen(t)
Ejemplo 4. Calcular L
t
Veamos que podemos aplicar la Propiedad 7,
cos(t)
sen(t)
limt→0
= limt→0
=1
t
1
entonces, sabemos que
Z ∞
sen(t)
L
=
f (u) du
t
s
f 0 (s) =
−1
(s − 3)2
⇒
6
Z ∞
1
du
sen(t)
f (s) = L(F (t)) = L(sen(t)) = 2
⇒ L
=
=
s +1 t
u2 + 1
s
π
1
arctag(u) |∞
=
−
arctag(s)
=
arctag
s
2
s
Z
t
sen(2u) cos(t − u) du
Ejemplo 5. Hallar L(H(t)) siendo H(t) =
0
L(H(t)) = L(sen(2s)).L(cos(s)) =
2
s
.
s2 + 4 s2 + 1
7
Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales
Sea una ecuación diferencial de segundo orden lineal con coeficientes constantes
dy
d2 y
a0 2 + a1 + a2 y = f (x) a0 6= 0
dx
dx
00
a0 y + a1 y 0 + a2 y = f (x) a0 6= 0
podemos aplicar la Transformada de Laplace a ambos lados, con lo que
transformaremos la ecuación diferencial en una ecuación algebráica, L(y(x)) =
Y (s), y la solución general será entonces L−1 (Y (s))
Ejemplo 6. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y 00 + y = x y(0) = 1,
y 0 (0) = −2
L(y 00 + y) = L(x) ⇒ L(y 00 ) + L(y) = L(x) ⇒ s2 ys − sy(0) − y 0 (0) + ys =
1
s2
1
1
1 + s2 (s − 2)
2
s ys − s + 2 + ys = 2 ⇒ ys (s + 1) = 2 + (s − 2) ⇒ ys = 2 2
=
s
s
s (s + 1)
A Bs + C
+ 2
s2
s +1
1
s
3
A = 1, B = 1, C = −3 ⇒ ys = 2 + 2
− 2
s
s +1 s +1
2
La solución general será
s
1
1
y(x) = L−1 2 + L−1 2
− 3L−1 2
= x + cos(x) − 3sen(x)
s
s +1
s +1
8
Ejemplo 7. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y 00 + y = cos(t) y(0) = 0,
y 0 (0) = 1
s
⇒ ys (s2 +1)−1 =
L(y 00 )+L(y) = L(cos(t)) ⇒ s2 ys −sy(0)−y 0 (0) = 2
s +1
2
s
s + s + 1 As + B Cs + D
⇒ ys =
= 2
+
⇒ A = 0, B = 1, C =
2
s +1
s + 1 (s2 + 1)2
(s2 + 1)2
1, D = 0
1
s
1
s
−1
=
ys = 2
+
+ L−1
2 ⇒ y(x) = L
2
2
s +1
s +1
(s + 1)
(s2 + 1)2
t
sen(t) + sen(t)
2
Ejemplo 8. Hallar la solución general de la ecuación diferencial
y 00 − 4y 0 + 4y = t3 e2t
y(0) = 0,
y 0 (0) = 0
L(y 00 ) − 4L(y 0 ) + 4L(y) = L(t3 e2t ) ⇒ s2 ys − sy(0) − y 0 (0) − 4sys − 4y(0) +
3!
6
6
4ys =
=
4 ⇒ ys =
4 2
6 ⇒ y(t) =
(s
−
2)
(s
−
2)
(s
−
4s
+
4)
(s
−
2)
6
1 5 2t
L−1
=
te
20
(s − 2)6