M¶etodos Matem¶aticos V

M¶etodos Matem¶aticos V - Facultad de F¶³sica
Problemas de Valores en la Frontera
Hallar los valores y funciones caracter¶³sticas de cada uno de los siguientes problemas de SturmLiouville.
1.
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y(0) = 0; y( ¼2 ) = 0:
2.
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y(0) = 0; y(L) = 0; donde L > 0:
3.
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y(0) = 0; y(¼) ¡ y 0 (¼) = 0:
4.
dy
d
dx [x dx ]
+ ¸x y = 0; y(1) = 0; y(e¼ ) = 0:
5.
d
2
dx [(x
dy
+ 1) dx
]+
¸
y
x2 +1
= 0; y(0) = 0; y(1) = 0:
(Sugerencia: Hacer x = tag t)
Comprobar directamente la ortogonalidad de las autofunciones asociadas a autovalores diferentes
de los siguientes problemas de Sturm-Liouville.
6.
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y(0) = 0; y( ¼2 ) = 0:
7.
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y 0 (0) = 0; y 0 (L) = 0; donde L > 0:
1
8. Consid¶erese el conjunto de funciones f©n g, siendo
©1 (x) =
p1 ;
¼q
©n+1 (x) =
2
¼ cos(n¼)
(n = 1; 2; 3; ::::)
en el intervalo 0 · x · ¼. Demostrar que este conjunto f©n g es un sistema ortonormal respecto
de la funci¶
on peso que toma el valor constante igual a 1 en 0 · x · ¼.
9. Obtener el desarrollo formal de la funci¶
on f de¯nida por f (x) = x (0 · x · ¼), en serie de
funciones caracter¶³sticas ortonormales f©n g del problema de Sturm-Liouville
d2 y
dx2
+ ¸y = 0; y(0) = 0; y(¼) = 0:
10. Idem para la funci¶
on f (x) = 1 (1 · x · e¼ ) y el problema
dy
d
dx [x dx ]
+ ¸x y = 0; y(1) = 0; y(e¼ ) = 0:
Hallar las series trigonom¶etricas de Fourier, en el intervalo que se especif¶³ca, de las siguientes
funciones:
11. f (x) = x; ¡¼ · x · ¼.
12. f (x) = x2 ; ¡¼ · x · ¼.
13. f (x) = ex ; ¡¼ · x · ¼.
14. f (x) =
8
>
< ¡2; ¡4 · x < 0
0; x = 0
>
: 2; 0 < x · 4
15. f (x) = ax + b; ¡L · x · L, donde a y b son constantes.
16. f (x) = 2x + 1; ¡1 · x · 1
17. f (x) = sen2 x cos2 x; ¡¼ · x · ¼
18. f (x) =
(
¡x; ¡l · x < 0
x; 0 · x · l
19. f (x) = x ¡ 2; ¡1 · x · 1
2
Hallar para cada una de las funciones siguientes (a) la serie de Fourier de senos y (b) la serie de
Fourier de cosenos, en los intervalos que se especi¯can.
20. f (x) = 1; 0 · x · ¼.
21. f (x) = sen x; 0 · x · ¼.
22. f (x) =
(
0; 0 · x < ¼2
2; ¼2 · x · ¼
23. f (x) = 2L; 0 · x · L.
24. f (x) =
(
0; 0 · x < L2
2; L2 · x · L
3