Formas Diferenciales

Formas Diferenciales
Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto de Rn . Una 0-forma (cero forma) definida en U es una función diferenciable
f : U ⊂ Rn → R con valores reales. Si la función es de clase ck decimos que la 0-forma es de clase ck .
Ejemplo.- La función f (x, y, z) = xy 2 + z 3 es una 0-forma de clase ck
Una 1-forma (uno forma) definida en U es una expresión del tipo ω = f1 dx1 + f2 dx2 + ... + fn xn
donde fi : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fi son de clase ck decimos que la
1-forma es de clase ck .
Ejemplo.- La función ω = xy 2 dx + z 3 dy es una 1-forma de clase ck
Una 2-forma (dos forma) definida en U es una expresión del tipo
ω=
n
X
fij dxi dxj
i,j=1
donde fij : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fij son de clase ck decimos que
la 2-forma es de clase ck .
Ejemplo.- La función ω = xy 2 dxdy + z 3 dydz + x3 dzdx es una 2-forma de clase ck
Una 3-forma (tres forma) definida en U es una expresión del tipo
n
X
ω=
fijk dxi dxj dxk
i,j,k=1
donde fijk : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fijk son de clase ck decimos que
la tres-forma es de clase ck .
Ejemplo.- La función ω = xy 2 dxdydz + z 3 dydzdx es una 3-forma de clase ck
Una p-forma (pe forma) definida en U es una expresión del tipo
n
X
ω=
fijk...p dxi dxj dxk ...dxp
i,j,k,...,p=1
donde fijk...p : U ⊂ Rn → R son funciones diferenciables con valores reales. Si las funciónes fijk...p son de clase ck decimos
que la p-forma es de clase ck .
Operaciones con formas
Sean ω, η dos p-formas en el conjunto abierto U ⊂ Rn
n
X
ω=
gijk...p dxi dxj dxk ...dxp
i,j,k,...,p
n
X
η=
hijk...p dxi dxj dxk ...dxp
i,j,k,...,p
Se define la suma ω + η como la p-forma
n
X
ω+η =
(gijk...p + hijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp
i,j,k,...,p
El producto de la p-forma ω por la 0-forma f en U, denotada por f ω esta dada por
fω =
n
X
f · (gijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp
i,j,k,...,p
Más generalmente si se tiene una p-forma ω y una q-forma η en U. Se define el producto ωη como la (p+q)-forma en U
dada por
n
X
ω·η =
(gijk...p · hijk...p ) dxi dxj dxk ...dxp dxi0 dxj 0 dxk0 ...dxq
i,j,k,...,p
Las expresiones dxi tienen un caracter anticonmutativo cuando se multiplican entre si, es decir
dxi dxj = −dxj dxi
∀i, j
Según lo anterior se tiene
dxi dxi = −dxi dxi ⇒ dxi dxi + dxi dxi = 0 ⇒ 2(dxi dxi ) = 0 ⇒ dxi dxi = 0
En general se tiene que el producto de formas no es conmutativo, para ver esto consideremos las 1-formas en U ⊂ R2
ω = g1 dx1 + g2 dx2
η = h1 dx1 + h2 dx2
se tiene entonces que
ω·η = (g1 dx1 + g2 dx2 )·(h1 dx1 + h2 dx2 ) = g1 h1 dx1 dx1 +g1 h2 dx1 dx2 +g2 h1 dx2 dx1 +g2 h2 dx2 dx2 = g1 h2 dx1 dx2 +g2 h1 dx2 dx1 =
g1 h2 dx1 dx2 − g2 h1 dx1 dx2 = (g1 h2 − g2 h1 ) dx1 dx2 dx1 dx2
Mientras que
η·ω = (h1 dx1 + h2 dx2 )·(g1 dx1 + g2 dx2 ) = h1 g1 dx1 dx1 +h1 g2 dx1 dx2 +h2 g1 dx2 dx1 +h2 g2 dx2 dx2 = h1 g2 dx1 dx2 +h2 g1 dx2 dx1 =
h1 g2 dx1 dx2 − h2 g1 dx1 dx2 = (h1 g2 − h2 g1 ) dx1 dx2 dx1 dx2
en realidad se tiene que ω · η = −η · ω
Una interpretación geometrica a las formas diferenciales
Dado un subconjunto abierto K ⊂ R3 tenemos que:
Las 0-formas ω = f (x, y, z) con f : R3 → R se aplica a puntos de K
Las 1-formas ω = P dx + Qdy + Rdz se aplica a curvas simples C o curvas cerradas C 0 de K
Las 2-formas ω = P dxdy + Qdydz + Rdzdx se aplica a superficies orientadas S de K
Las 3-formas ω = P dxdydz se aplica a regiones R de K