Mecánica Cuántica II V´ıctor Romero Roch´ın Matriz de densidad

Mecánica Cuántica II
Vı́ctor Romero Rochı́n
Matriz de densidad reducida ... un ejemplo
Revisemos el ejemplo hecho en clase. Consideremos un sistema de 2
partı́culas idénticas, en una dimensión espacial, en un estado antisimétrico,
|ψi = |ψa , ψb i
1
=
[|ψa i1 |ψb i2 − |ψb i1 |ψa i2 ] ,
2
(1)
con
hψa |ψb i = 0
(2)
.
El estado |ψi está definido en el espacio de Hilbert de los dos grados de
libertad
H(2) = H(1) ⊗ H(1)
(3)
mientras que los estados |ψa i y |ψb i están definidos en el espacio de Hilbert
de un grado de libertad H(1) . Como las partı́culas son idénticas, el espacio
de Hilbert de la partı́cula 1 y el de la 2 es el mismo. Los subı́ndices “1” y “2”
en los estados de una partı́cula en (1) son para denotar a las dos partı́culas
... esto se lee, “el estado de dos partı́culas |ψi representa a UNA partı́cula
en el estado |ψa i y a OTRA idéntica en el estado |ψb i.”
En el espacio de las variables espaciales (x̂1 , x̂2 ), la función de onda es,
1
hx1 , x2 , |ψi = √ [hx1 |ψa i1 hx2 |ψb i2 − hx1 |ψb i1 hx2 |ψa i2 ]
2
1
= √ [ψa (x1 )ψb (x2 ) − ψb (x1 )ψa (x2 )]
2
(4)
La matriz de densidad de las dos partı́culas (o grados de libertad) es
Ŵ (2) = |ψihψ|
(5)
y es, por supuesto, un estado puro. Esta matriz nos permite calcular el valor
de expectación de cualquier operador Hermitiano definido en el espacio de
Hilbert de los dos grados de libertad H(1) , que puede escribirse como
fˆ(2) = f (2) (x̂1 , p̂1 ; x̂2 , p̂2 ).
1
(6)
El valor de expectación es
hfˆ(2) i = Trfˆ(2) Ŵ (2)
=
=
=
Z
Z
Z
dx1
dx1
dx1
Z
dx2 hx1 , x2 |f (2) (x̂1 , p̂1 ; x̂2 , p̂2 )Ŵ (2) |x1 , x2 i
Z
dx2 f (2) (x1 , ih̄∂x1 ; x2 , ih̄∂x2 ) hx1 , x2 |Ŵ (2) |x1 , x2 i
Z
dx2 f (2) (x1 , ih̄∂x1 ; x2 , ih̄∂x2 ) W (2) (x1 , x2 ; x1 , x2 )
(7)
donde hemos definido la matriz de densidad en la representación de las posiciones como
W (2) (x01 , x02 ; x1 , x2 ) = hx01 , x02 |Ŵ (2) |x1 , x2 i
(8)
y donde hemos hecho la sustitución usual
p̂ → ih̄∂x .
(9)
Supongamos ahora que sólo estamos interesados en propiedades de una
partı́cula (o de un grado de libertad), que denotamos como,
ĝ (1) = g (1) (x̂, p̂).
(10)
El valor de expectación de esta cantidad lo podemos calcular usando la
ecuación (7),
hĝ (1) i = Trĝ (1) Ŵ (2)
Z
=
dx1
Z
dx2 hx1 , x2 |g (1) (x̂1 , p̂1 )Ŵ (2) |x1 , x2 i.
(11)
Note que pudimos haber usado las variable (x̂2 , p̂2 ): el resultado final abajo
será el mismo ... verifı́quelo.
Continuamos ...
(1)
hĝ i =
=
Z
Z
dx1
Z
dx2 g (1) (x1 , ih̄∂x1 ) W (2) (x1 , x2 ; x1 , x2 )
dx1 g (1) (x1 , ih̄∂x1 )
Z
dx2 W (2) (x1 , x2 ; x1 , x2 )
(12)
... hallamos que podemos integrar sobre x2 ! ... definimos
W (1) (x01 ; x1 ) =
Z
dx2 W (2) (x01 , x2 ; x1 , x2 )
2
(13)
y la llamamos la matriz de densidad reducida (de un grado de libertad en
este caso). Con esto, el promedio de ĝ (1) es
hĝ (1) i =
Z
dx g (1) (x, ih̄∂x ) W (1) (x; x)
= Tr ĝ (1) Ŵ (1)
(14)
y observamos que ya no es necesario el subı́ndice “1” en la variable x. ...
Esta es la conclusión: si sólo estuvieramos interesados en calcular valores
de expectación de cantidades un número s0 de grados de libertad menor al
total s, i.e. s0 < s, entonces sólo necesitamos conocer la matriz de densidad reducida de s0 grados de libertad ... un resultado es que las matrices
de densidad reducidas en general son estados mezclados. Verifiquemos este
resultado con nuestro ejemplo.
La matriz de densidad reducida es
W
(1)
(x01 ; x1 )
=
Z
dx2 W (2) (x01 , x2 ; x1 , x2 )
(15)
1
dx2 [ψa (x01 )ψb (x2 ) − ψb (x01 )ψa (x2 )] [ψa∗ (x1 )ψb∗ (x2 ) − ψb∗ (x1 )ψa∗ (x2 )]
2
Z
Z
1
0
∗
∗
0
∗
ψa (x1 )ψa (x1 ) dx2 ψb (x2 )ψb (x2 ) − ψa (x1 )ψb (x1 ) dx2 ψb (x2 )ψa∗ (x2 )
=
2
Z
Z
=
Z
− ψb (x01 )ψa∗ (x1 )
=
dx2 ψa (x2 )ψb∗ (x2 ) + ψb (x01 )ψb∗ (x1 )
dx2 ψa (x2 )ψa∗ (x2 )
1
[ψa (x01 )ψa∗ (x1 ) + ψb (x01 )ψb∗ (x1 )]
2
donde se usó la ortonormalidad de los estados. Resumiendo,
W (1) (x0 ; x) =
1
[ψa (x0 )ψa∗ (x) + ψb (x0 )ψb∗ (x)]
2
(16)
1
[|ψa ihψa | + |ψb ihψb |] .
2
(17)
o equivalentemente,
Ŵ (1) =
Es trivial verificar que es un estado mezclado:
Ŵ (1)
2
=
1
[|ψa ihψa | + |ψb ihψb |] 6= Ŵ (1) .
4
3
(18)