01._guia_trigonometria

GUIA N° 1
AREA
TEMA
INTENSIDAD HORARIA
PROFESOR
REALIZACIÓN
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MATEMÁTICA
GRADO
10°
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
6 HORAS SEMANALES
ARNALDO RUIZ FAJARDO
Agosto 25 de 2015
Octubre 30 de 2015
HORIZONTE DE SENTIDO DE GRADO
Interioriza valores y saberes fundamentales que permitan autoregularse y avanzar en un proyecto
de vida.
INTRODUCCIÓN
La trigonometría se concibió con el objeto de medir ángulos y distanciasen topografía y
astronomía.
Hoy en día la trigonometría juega un papel importante en la electricidad, la termodinámica, la
investigación atómica.
Hay dos enfoques ampliamente aceptados en la aplicación de las funciones trigonométricas: uno
usa círculos en particular el círculo unitario, el otro usa triángulos rectángulos.
Los fenómenos ondulatorios, como las vibraciones de la cuerda de una guitarra, el sonido que
percibimos o las olas que se observan en el mar son, en realidad, el resultado de una suma de
superposiciones de muchas ondas simples de la forma de las funciones SENO Y COSENO
ACTIVIDADES
1. Para el desarrollo de las siguientes actividades debo definir los siguientes conceptos:
Ángulo, ángulos positivos y negativos, ángulo recto, unidades de medición de los ángulos
1.1 Dibujar sobre el plano cartesiano los siguientes ángulos en posición normal:
a. 30°
b. 110°
c. 450° d. -60° e. -270° f. -1080°
1.1
a)
b)
c)
d)
e)
encontrar la medida de cada ángulo en grados
Tres cuartos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Cinco sextos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Cinco octavos de rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
Siete medios de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Un quinto de rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
Las unidades de medición de ángulos usadas con mayor frecuencia son el GRADO y el RADIAN
El GRADO es la unidad de medida en el sistema sexagesimal y el RADIAN es la unidad de medida
del sistema cíclico.
2. Defina que se entiende por un ángulo de un giro, su medida en grados es?, efectué un gráfico.
En conclusión el grado sexagesimal (1°) se define como
El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo.
1
parte de la rotación total
360
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 1 
1 minuto = 1’ =  
 60 

Podemos concluir:
1° = cuántos minutos son?
 1 
1 segundo = 1’’ =  
 60 
1’ = seg. ¿???
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'
1° = cuántos segundos???

 1 
12° + 15   + 23
 60 
Ejemplo:
2.1 Expresar 12° 15’ 23’’ en grados 

 1 

 ≈ 12, 25639°
 3600 
2.2 Expresar 36,275° en grados, minutos y segundos
36,275° = 36° + (0,275 x 60)’= 36° + 16,5 ‘ = 36° + 16’ + (0,5 x 60)’’= 36° 16’ 30’’
2.3 expresar 23,2345° ; 12,32° ; -50,625° ; 123,696° en grados, minutos y segundos
2.4 expresar 12° 34’ 34’’; 13° 3’ 23,8’’, 124° 45’ 34.7’’ ; -2° 34’ 10’’ en grados
Dados  = 74° 16´´54 ´´ y  = 28° 45´ 13 ´´
Calcular:
2.5  + 
2.6  - 
2.7 3
2.8

2
3. MEDIDA DE UN ÁNGULO EN EL SISTEMA CICLICO
Un segundo método para asignar medida a un ángulo da lugar a la medida en radianes
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con el que se le ha trazado
Al medir los ángulos en radianes se obtiene números reales.
Teniendo en cuenta que un ángulo de 360° tiene por arco toda la
circunferencia cuya longitud es L = 2r
Puesto que la circunferencia mide 2π veces el radio del círculo, cada
giro tiene 2π radianes y medio giro tiene π Radianes
2π = 360°
π = 180°
Del resultado anterior se obtiene otras equivalencias:
  
1  
 Radianes
 180 
 180 
1 Rad  

  

Ejemplos
    7 
=

 180   6 
3.1 Expresar 210° en radianes  210° = 210 
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
 5 
 5   5   180 
3.2Expresar 
 = 225°
 Rad en grados   =   
 4 
 4   4   
3.3 Convertir en radianes cada uno de los siguientes ángulos expresados en grados
a. 60°
b. 120°
c. 240°
d. -175°
e. 35°
f. 1080°
g. -180°
h. -700°
3.4 Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos
a.
5
2
b.
7
3
c.

6
d.
 2
7
e.
5
12
f.
7
4
g. 8π
3.5 Exprese los ángulos de los polígonos más comunes en radianes, expresados como fracciones
de π
4. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sea  un ángulo en posición normal, con vértice O y M(x, y), M’ (x’,y’) dos puntos distintos sobre
un lado final, tales que OM = r y OM’ = r’
Demuestre que:

y
,
r

x
r
, 
y
x
Son funciones, A estas funciones, se les denomina funciones
trigonométricas.
5. Definición de las funciones trigonométricas
Si  es un ángulo en posición normal, M(x, y) es cualquier punto sobre su lado final, diferente de
(0,0), y r  OM  x 2  y 2 , por qué?
Entonces, definamos las funciones trigonométricas para el ángulo 
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Donde la función Seno se asocia con la coordenada y , Sen  = y y la función Coseno se asocia con
la coordenada x, Coseno  = x
Ejemplo:
5.1 Determinar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo  si M (2, 2) es un punto
del lado final de dicho ángulo
Como M (2, 2)
entonces x = ¿?? Y y = ¿? Y r = ¿?
Tenemos:
Sen  
?
?
; Cos  
?
?
; Tan 
?
?
Ahora debemos tener en cuenta que el signo de los valores de las funciones trigonométricas para
un ángulo cualquiera, se determina según el cuadrante en el cual este ubicado el ángulo.
Sea P= (a, b) el punto sobre el circulo unitario correspondiente al ángulo. Si sabemos en qué
cuadrante está P, podemos determinar los signos de las funciones trigonométricas de .
Por ejemplo, si P = (a, b) está en el cuadrante IV, sabemos que a > 0 y b < 0 entonces:
Sen  = b < 0
Csc  
Cos  = a > 0
1
0
b
Sec  
1
0
a
Tan 
b
0
a
Cot  
a
0
b
De acuerdo al ejemplo anterior completar el siguiente cuadro con los signos que representan las
funciones trigonométricas para un ángulo  ubicado en cualquier cuadrante.
Función
Sen 
Cuadrante
I
II
III
IV
Cos 
Tan 
Csc 
Sec 
Cot 
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6. Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Dado un ángulo  en posición normal y un punto P(x, y) ubicado sobre su lado final, la
proyección del punto P sobre el eje x genera un triángulo rectángulo en el que las coordenadas
(x, y) determinan las medidas de:
El cateto opuesto, el cateto adyacente a  y la hipotenusa
Así, las relaciones trigonométricas definidas hasta el momento pueden ser definidas ahora como
relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, definámoslas.
Ejemplos
6.1 Encontrar el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo ,
del triángulo PQR, en la siguiente figura
Por Pitágoras se tiene que: Y  ???
Por lo tanto,
Sen  
??

??
Csc  
??
??
 Cos   
??
??
Tan  
??

??
Cot  
??

??
6.2 Si se sabe que Sec  
Sec  
Luego,
??
??
??

??
6
, calcular Sen  , Cos , Tan 
2
6
hipotenusa

2
cateto adyacente
Sen  
Sec  

Cos  
??
??
Por
Pitágoras
Tan 
y  ??
??
??
Para el desarrollo de las siguientes actividades debo definir los siguientes conceptos:
Triángulo equilátero, isósceles, escaleno, altura de un triangulo
7. Con la ayuda del teorema de Pitágoras y con los insumos proporcionados hasta el momento
estamos listos para hallar el valor de las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°,
45° Y 60°
Ángulos de 30° y 60°
Construya un triángulo equilátero ABC de lado L, BD es la altura sobre el lado AC
Las medidas de los ángulos  A,  B,  C es?
El triángulo ABD cómo es?
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En un triángulo equilátero las alturas, las bisectrices y mediatrices como son?
Entonces la medida del  ABD es?
La medida del AD es?
Por teorema de Pitágoras entonces BD es igual a?
A partir de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo, se calculan las funciones para
30° así:
Sen 30° =
Cos 30° =
Tan 30° =
Csc 30°=
Sec 30° =
Cot 30° =
De igual manera para 60°
Sen 60° =
Cos 60° =
Tan 60° =
Csc 60°=
Sec 60° =
Cot 60° =
Para ángulo de 45°
Construya un triángulo rectángulo isósceles OPQ (Por qué no podemos trabajarla con un triángulo
escaleno) , donde OQ = PQ = L.
Por el teorema de Pitágoras, se obtiene que OP mide:
Como en un triángulo rectángulo isósceles, los ángulos agudos son congruentes, entonces
 P =  O = 45°
Así, el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° es:
Sen 45° =
Cos 45° =
Tan 45° =
Csc 45°=
Sec 45° =
Cot 45° =
Ejemplos
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones
7. 1 Cos 60° Sen 30° - Cos 45° Tan 60° =
7.2
2 Sen 45° + Tan 30° Cot 30° =
1 1
2
1
6 1 2 6
x 
x 3 

2 2
2
4
2
4
2x
2
3
3
1 4

x
1  
2
3
3
3 3
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
A. Sen 30° + 2 Cos 45°=
B. Tan 180° + 4 Sen 60° + 5 Cos 30°=
C.-3 Tan 360° + 4 Cos 45° - 2 Cos 90°=
D.
Sen 30
 5 Tan 30 
Cos 30
Ahora tengamos en cuenta que un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro
cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas
dependen de su posición.
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Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es
posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos
valores absolutos.
Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos
cuadrantes.
8. Es importante tener que cualquier ángulo se puede reducir al primer cuadrante, y consiste en
expresar una función trigonométrica de un ángulo  mayor de 90°, en términos de una función
trigonométrica de un ángulo agudo.
En los siguientes planos cartesianos, se indica la ubicación del ángulo de referencia R para un
ángulo  ubicado en el segundo, tercero y cuarto cuadrante.
R = 180° - 
R =  - 180°
R = 360° - 
En conclusión el valor de las funciones trigonométricas para R sólo difiere en el signo del valor de
las funciones trigonométricas para 
Ejemplos
Expresar cada función en términos de la función de un ángulo notable
8.1 Tan 120°  como 120° está ubicado en el segundo cuadrante, entonces la tangente en este
cuadrante es negativa:
8.2 Cos
-Tan (180° - 120°) = -Tan 60° = -
3
5
5
 Como
rad es un ángulo del tercer cuadrante, en este cuadrante el Coseno
4
4

2
 5

     Cos  
4
2
 4

es negativo  Cos 
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8.3 Sen 330°  un ángulo ubicado en el cuarto cuadrante, en este cuadrante el Seno es negativo,
por lo tanto: -Sen (360°- 330°) = -Sen 30° = -
1
2
8.4 Hallar el valor de las funciones trigonométricas indicadas, sin usar calculadora
a. Sen 120°
b. Cos 360°
c. Tan 150°
e. Csc 1080°
h. Cot 420°
j. Tan
5
3
d. Sec 210°
k. Cot
7
6
La trigonometría siempre ha estado vinculada a la solución de problemas prácticos en áreas como
la física, la topografía y la navegación. Estos problemas comúnmente se plantean en términos de
un triángulo rectángulo.
Resolver un triángulo rectángulo consiste en encontrar las medidas de sus seis elementos: tres
lados y tres ángulos.
En la solución de un triángulo rectángulo se debe considerar lo siguiente:
 La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180°
 El teorema de Pitágoras
 La definición de las funciones trigonométricas para ángulos agudos en el triángulo
rectángulo.
Ejemplos
8.5 Resolver el siguiente triángulo
En  ABC,  C = 90° Y  A = 48° por lo tanto:  B = 42° por
que?
Para calcular el valor de la hipotenusa c se pueden plantear dos
igualdades, cuáles?
Como podemos hallar el cateto b?
Y su área seria?
8.6 Un piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 30°.
Dieciocho segundos más tarde, el ángulo de depresión sobre el mismo punto es de 55°. Si el avión
vuela horizontalmente y a una velocidad de 400 millas por hora. ¿A qué altura se encuentra?
Recordemos:
linea horizontal
lin e
ad
ev
i si ó
n
e
ad
line
vis
ion
linea horizontal
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Como el avión lleva una velocidad de 400 millas/hora, en 18 segundos recorre?
Por lo tanto, en los triángulos BCT y ABT de la figura se tiene:
AC = ¿?
Tan 55° = ¿?
Tan 30°= ¿?
Despejar h en ambas
igualando, se obtiene:
ecuaciones
e
Luego h=¿?
Luego la altura del vuelo es ¿?
8.7 Determinar el ángulo  para el cual se obtiene el valor de la función trigonométrica
determinada
a. Sen  = 0,2079
b. Cos  = 0,3062
c. Tan  = 0,5095
d. Cot  = 1,5399
g. Sec  =6,3925
h. Csc  = 1,0403
8.8 Demostrar que el área del triángulo de la figura es
equivalente a
1 2
x Tan 
2
8.9 Determinar la altura y el área del triángulo equilátero en función del lado l y del ángulo.
Hasta el momento hemos considerado las funciones trigonométricas de ángulos medidos en
grados o radianes, ahora ampliaremos la definición de funciones trigonométricas al conjunto de
los números reales.
La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y cuya
longitud de radio es una unidad.
Cuya ecuación está dada por: x2 + y2 = 1
9. Definición de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria
Sea  un ángulo central, de medida t radianes, en la circunferencia unitaria, tR y P(x, y) el punto
de intersección del lado final de, como OP = r = 1 entonces:
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Sen   Sen t 
y y
 y
r 1
Csc   Csc t 
Cos   Cos t 
x x
 x
r 1
Sec   Sec t 
Tan   Tan t 
y y

x x
Cot   Cot t 
si x  0
1
si y  0
y
1
si x  0
x
x
si y  0
y
10. Que es una función periódica?
La representación grafica de una función periódica, se repite con las mismas características
después de P valores, por lo tanto, P es el denominado periodo de la función.
Por ejemplo, las siguientes gráficas representan funciones periódicas
La función y = F(X) tiene periodo 4
La función y tiene periodo 8
Para facilitar la construcción de las gráficas de las funciones trigonométricas y el análisis de sus
características, se tendrán en cuenta las siguientes consideraciones:

Se emplea la notación y = f(x), donde x es la variable independiente y y la variable
dependiente.
 Junto con la circunferencia unitaria, se trazan algunos ángulos especiales, en posición normal.
Para cada uno de los ángulos, se dibujan la línea trigonométrica que corresponde a la función
que se desea graficar.
 La longitud de la línea trigonométrica de cada ángulo se traslada al plano cartesiano, tomando
valores de x entre 0 y 2π.
 Finalmente se construye la gráfica de cada función y se procede a realizar el análisis de sus
características.
Siguiendo el proceso descrito; se obtiene la gráfica que se muestra:
Tabla de valores de y = Sen x
x
Sen x
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
7π/6
4π/3
0
1/2
3
2
1
3
2
1/2
0
-1/2

3
2
3π/2
-1
5π/3

3
2
11π/6
2π
-1/2
0
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Características de la función y = Sen x
 La función y = Sen x está definida para todo valor real de x, por lo tanto, su dominio es el
conjunto R.
 Las imágenes de la función Sen, se encuentra entre -1 y 1, es decir, 1 ≤ Sen x ≤ 1, de modo
que el rango de la función es el intervalo [-1, 1].
 Y = Sen x es una función periódica y su periodo es 2π.
 La función Seno varia así:
o En el primer cuadrante x varia de 0 a π/2 y Sen x crece de 0 a 1
o En el segundo cuadrante x varia de π/2 a π y Sen x decrece de 1 a 0
o En el tercer cuadrante x varia de π a 3π/2 y Sen x decrece de 0 a -1
o En el cuarto cuadrante x varia de 3π/2 a 2π y Sen x crece de -1 a 0
Teniendo en cuenta las consideraciones para la construcción de la función Sen x, la tabla de
valores, y siguiendo el proceso de las consideraciones efectúa las graficas de las funciones Coseno,
Tangente y sus respectivas inversas, y tengamos en cuenta las características de cada función.
Ejemplos:
10.1 A continuación se muestran las gráficas de y = Sen x y y = Cos x en el mismo plano cartesiano.
Observar las graficas y luego responder las siguientes preguntas.
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


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¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte entre las dos funciones?
¿En qué intervalos la gráfica de la función y = Cos x es decreciente y, la gráfica y = Sen x, es
creciente?
En qué intervalos las dos funciones son crecientes?
10.2 Elaborar una tabla de valores para la función y 
1
, luego graficarla y compárala con la
Sen x
función y = Sec x
Qué se puede concluir con respecto a la gráfica de las dos funciones?
Las funciones trigonométricas y sus correspondientes gráficas sufren variaciones, cuando la
variable independiente o la función se multiplica por algún número real.
11. Graficar la función y= Sen x, y1 = 2 sen x, y2 =2 sin 3x y y3 = 2 Sin (3x - π)
Qué puedo concluir de las funciones y1, y2, y3 respecto a la función y?
CONCLUIMOS:
Sean las funciones:
Y = A Sen (Bx + C) + D
A: ampliación o reducción vertical
C: desplazamiento horizontal
Y
Y= A Cos (Bx+ C) + D
B: ampliación o reducción horizontal
D: desplazamiento vertical
LA AMPLITUD A: es el máximo valor VERTICAl que toma la función seno o coseno
EL PERIODO T: es el máximo valor HORIZONTAL que toma la función seno o coseno y está definido
por:
T
2
,
B
o
T
360
,
B
EL DESFASE  (C): es el desplazamiento horizontal de la función, desde el origen del plano
cartesiano hasta donde inicia la función (desplazamiento de la función hacia la derecha o hacia la
izquierda del origen del plano cartesiano). Para determinar este desplazamiento se tiene en
cuenta la siguiente expresión:
C
Determina el desfase o desplazamiento de fase
B
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. Si C > 0 el desplazamiento es hacia la izquierda
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. Si C < 0 el desplazamiento es hacia la
derecha
EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL: es una translación vertical en D unidades de la grafica
Hallar la Amplitud, Periodo y el desplazamiento de fase de la función y = 2 Sen (3x – π), efectuar
su gráfica en el intervalo [0, 2π]
Amplitud: A = ¿?
Periodo: T 
Desfase:
2
2
=
B
??
C ??

B ??
En la actualidad, muchas áreas del conocimiento utilizan como herramienta para la solución de
problemas, conceptos de trigonometría.
En áreas como la topografía, la navegación, la ingeniería, la física y la astronomía, entre otras, se
utiliza la resolución de triángulos para plantear y resolver situaciones propias de cada una de ellas.
Resolver un triángulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos
interiores.
12. Con todos los elementos conceptuales proporcionados hasta el momento podemos resolver la
siguiente situación problemática.
12.1 Cierto canal de televisión sitúa una antena de
115,5 pies sobre un cerro. Loa ángulos de elevación
de la punta y la base de la antena con respecto a la
base del arco son 47° 54’ y 39° 45’, respectivamente
¿Cuál es la altura del cerro?
La medida del cerro es CB
CD  CB  BD  CD = CB + 115,5
En el triángulo ACD  Cot 47° 54’ =
AC
CD
 AC = CD Cot 47° 54’
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Remplazando CD
AC = (CB + 115,5) Cot 47° 54’ = (CB + 115,5) (0.9036)
AC = 0,9036 CB + 104,36 (1)
En el triángulo ACB:
Cot 39° 45’ =
AC
CB
 AC = CB Cot 39° 45’  AC = 1,2024 CB (2)
Remplazando (2) en (1) tenemos:
CB 
1,2024 CB = 0,9036 CB + 104,36
104,36
 349,26 Luego la altura del cerro es 349,26 pies
0.2988
Calcular la altura del avión de la figura
En el triángulo ABC la medida de BC es la
altura del avión
Sen 48° = ¿??
BC = ¿???
BIBLIOGRAFÍA:



SULLIVAN, Michael. Trigonometría y geometría analítica. Pearson
AUTORES VARIOS. Sigma 10.Vinces vives.
HERRERA, Adolfo Javier. Trigonometría. Santillana