DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales de una función de

UNALM-Departamento de Matemática
Profesor: Juan Dueñas B.
Curso: Métodos Numéricos II
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DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales de una función de dos variables
Definición. Dada una función de dos variables f: D⊂ R2→R definida en
el conjunto abierto D⊂ R2 , se define la derivada parcial de f con
respecto a x en el punto p=(x0,y0) de D, como el valor del siguiente
límite, si existe y es finito.
∂f
f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
Análogamente, se define la derivada parcial de f con respecto a y en
el punto p=(x0,y0) de D, como el valor del siguiente límite, si existe y es
finito.
∂f
f ( x0 , y0 + h) − f ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) = lim
h→0
∂y
h
Otras notaciones:
∂f
∂z
∂f
∂z
( x0 , y0 ) =
( x0 , y0 ) =
= f y ( x0 , y0 )
= f x ( x0 , y0 ) ;
∂y
∂ y (x , y )
∂x
∂ x (x , y )
0
0
0
0
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La función derivada parcial
Si hallamos las derivadas parciales de una función de dos variables
z = f(x,y) en un punto genérico (x,y) de su dominio, obtenemos dos
funciones de dos variables, denominadas funciones derivadas
parciales. Así,
∂f
f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂ f
f ( x, y + h ) − f ( x, y )
( x, y ) = lim
( x, y ) = lim
;
h→0
h→0
∂x
∂y
h
h
Otras notaciones:
∂f
∂x
∂f
∂y
( x, y ) = z x =
( x, y ) = z y =
∂z
∂x
( x , y ) = D x f(x,y) = fx
∂z
∂y
( x , y ) = D y f(x,y) = fy
Ejemplo
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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES
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Ejemplo 1. Determinar la pendiente a la superficie f(x, y) = x3 +2y+8
en el punto P(1,2) en la dirección del eje X
Ejemplo2 La temperatura de una lámina de metal en el punto (x,y) esta
dada por: T(x,y) =10(7 x + y2)2, donde T se mide en ºC y x e y
en centímetros. Determine la rapidez de cambio de la
temperatura el punto (1,2) en la dirección del eje X, y en el
eje Y.
• Desde el punto geométrico, la función g(x) = f(x,y0) representa a la
curva que se obtiene mediante la intersección de la superficie
z = f(x,y) con el plano y = y0. ( Vea a figura adjunta)
La derivada parcial de la función f, respecto de la variable x, en el
punto p representa a la tangente a la curva g(x)=f(x,y0) en el punto
P de la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la
dirección del eje x.
• Desde el punto geométrico, la función g(x) = f(x0,y) representa a la
curva que se obtiene mediante la intersección de la superficie
z = f(x,y) con el plano x = x0. ( Vea a figura adjunta)
La derivada parcial de la función f, respecto de la variable y, en el
punto p representa a la tangente a la curva g(x)=f(x0,y) en el punto
P de la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la
dirección del eje y.
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DIFERENCIABILIDAD
Derivadas parciales de funciones de tres o más variables
Las derivadas parciales también se puede definir para funciones de
tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables
x, y, z, entonces su derivada parcial respecto a x, se define como:
• Sea f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Se dice
que f es diferenciable en el punto p0 ∈ D si:
f(p0 + h) = f(p0)+ h1 ∂ f ( p0) + h2
∂ x1
f x ( x , y , z ) = lim
h→0
límite.
f ( x + h, y , z ) − f ( x , y , z )
, siempre que exista el
donde: h = (h1, h2, …, hn) ; lim
h→0
∂f
∂ x2
( p0) +…+ hn
r(h)
=0
h
Para n=2: f es diferenciable en p =(x0, y0) ∈D si:
respecto a la k-ésima variable xk es:
f(x0+h1, y0+h2) = f(x0, y0)+ h1 ∂ f (x0, y0) + h2
∂u
f(x 1,…,x k-1, x k + h, x k +1,…,x n ) − f(x 1,x 2,…,x k,…, x n )
= lim
, siempre que
h
∂ xk h→0
exista.
tal que:
∂f
∂ xk
( p0) + r(h),
h
En general, si u = f(x1, x2,...,xn) , entonces su derivada parcial con
Otras notaciones:
∂f
∂ xn
∂ x1
(p), D k f(p) , f x k ( p), fk( p)
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lim
(h1 ,h2 )→(0,0)
∂f
∂ x2
( x0, y0) + r(h1, h2)
r(h1,h2 )
r(h1,h2 )
=0
= lim
(h1 ,h2 )→(0,0)
(h1,h2 )
h21 + h22
Ejemplo Analizar la diferenciabilidad de la función f(x,y) = x 2 + y 2 en
el punto (0,0)
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• Sea f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Se dice
que f es diferenciable en D, si f es diferenciable en cada uno de los
puntos xo ∈ D.
PROPIEDAD 1
Si la función f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n , es
diferenciable en el punto p0 ∈D, entonces, f es continua en p0
PROPIEDAD 2
Si la función f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Si
f no es continua en p0, entonces, f no es diferenciable en el punto p0
⎧7 x + y si ( x, y, z ) ≠ (1, 2,3)
, determine si f es
⎩ 8.99 si ( x, y, z ) = (1, 2,3)
Ejemplo: Si f(x,y,z) = ⎨
diferenciable en (1,2,3)
PROPIEDAD 3
Sea f: D⊂ \n → \, una función definida en un conjunto abierto D de \n
Si las funciones (derivadas parciales):
∂f
: D ⊂ \n→ \, i =1,2,...,n;
∂ xi
D ⊂ D , son continuas en el punto p0 ∈ D , entonces, f es diferenciable
en p0
Ejemplo: Analizar la diferenciabilidad de la función f(x,y) = cos(x-y2)
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