UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales de una función de dos variables Definición. Dada una función de dos variables f: D⊂ R2→R definida en el conjunto abierto D⊂ R2 , se define la derivada parcial de f con respecto a x en el punto p=(x0,y0) de D, como el valor del siguiente límite, si existe y es finito. ∂f f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) = lim h→0 ∂x h Análogamente, se define la derivada parcial de f con respecto a y en el punto p=(x0,y0) de D, como el valor del siguiente límite, si existe y es finito. ∂f f ( x0 , y0 + h) − f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) = lim h→0 ∂y h Otras notaciones: ∂f ∂z ∂f ∂z ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) = = f y ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) ; ∂y ∂ y (x , y ) ∂x ∂ x (x , y ) 0 0 0 0 13 14 UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II La función derivada parcial Si hallamos las derivadas parciales de una función de dos variables z = f(x,y) en un punto genérico (x,y) de su dominio, obtenemos dos funciones de dos variables, denominadas funciones derivadas parciales. Así, ∂f f ( x + h, y ) − f ( x , y ) ∂ f f ( x, y + h ) − f ( x, y ) ( x, y ) = lim ( x, y ) = lim ; h→0 h→0 ∂x ∂y h h Otras notaciones: ∂f ∂x ∂f ∂y ( x, y ) = z x = ( x, y ) = z y = ∂z ∂x ( x , y ) = D x f(x,y) = fx ∂z ∂y ( x , y ) = D y f(x,y) = fy Ejemplo 15 16 UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II Ejemplo 1. Determinar la pendiente a la superficie f(x, y) = x3 +2y+8 en el punto P(1,2) en la dirección del eje X Ejemplo2 La temperatura de una lámina de metal en el punto (x,y) esta dada por: T(x,y) =10(7 x + y2)2, donde T se mide en ºC y x e y en centímetros. Determine la rapidez de cambio de la temperatura el punto (1,2) en la dirección del eje X, y en el eje Y. • Desde el punto geométrico, la función g(x) = f(x,y0) representa a la curva que se obtiene mediante la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano y = y0. ( Vea a figura adjunta) La derivada parcial de la función f, respecto de la variable x, en el punto p representa a la tangente a la curva g(x)=f(x,y0) en el punto P de la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la dirección del eje x. • Desde el punto geométrico, la función g(x) = f(x0,y) representa a la curva que se obtiene mediante la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano x = x0. ( Vea a figura adjunta) La derivada parcial de la función f, respecto de la variable y, en el punto p representa a la tangente a la curva g(x)=f(x0,y) en el punto P de la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la dirección del eje y. 17 18 UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II DIFERENCIABILIDAD Derivadas parciales de funciones de tres o más variables Las derivadas parciales también se puede definir para funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables x, y, z, entonces su derivada parcial respecto a x, se define como: • Sea f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Se dice que f es diferenciable en el punto p0 ∈ D si: f(p0 + h) = f(p0)+ h1 ∂ f ( p0) + h2 ∂ x1 f x ( x , y , z ) = lim h→0 límite. f ( x + h, y , z ) − f ( x , y , z ) , siempre que exista el donde: h = (h1, h2, …, hn) ; lim h→0 ∂f ∂ x2 ( p0) +…+ hn r(h) =0 h Para n=2: f es diferenciable en p =(x0, y0) ∈D si: respecto a la k-ésima variable xk es: f(x0+h1, y0+h2) = f(x0, y0)+ h1 ∂ f (x0, y0) + h2 ∂u f(x 1,…,x k-1, x k + h, x k +1,…,x n ) − f(x 1,x 2,…,x k,…, x n ) = lim , siempre que h ∂ xk h→0 exista. tal que: ∂f ∂ xk ( p0) + r(h), h En general, si u = f(x1, x2,...,xn) , entonces su derivada parcial con Otras notaciones: ∂f ∂ xn ∂ x1 (p), D k f(p) , f x k ( p), fk( p) 19 lim (h1 ,h2 )→(0,0) ∂f ∂ x2 ( x0, y0) + r(h1, h2) r(h1,h2 ) r(h1,h2 ) =0 = lim (h1 ,h2 )→(0,0) (h1,h2 ) h21 + h22 Ejemplo Analizar la diferenciabilidad de la función f(x,y) = x 2 + y 2 en el punto (0,0) 20 UNALM-Departamento de Matemática Profesor: Juan Dueñas B. Curso: Métodos Numéricos II • Sea f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Se dice que f es diferenciable en D, si f es diferenciable en cada uno de los puntos xo ∈ D. PROPIEDAD 1 Si la función f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n , es diferenciable en el punto p0 ∈D, entonces, f es continua en p0 PROPIEDAD 2 Si la función f: D⊂ \n → \, definida en un conjunto abierto D de \n . Si f no es continua en p0, entonces, f no es diferenciable en el punto p0 ⎧7 x + y si ( x, y, z ) ≠ (1, 2,3) , determine si f es ⎩ 8.99 si ( x, y, z ) = (1, 2,3) Ejemplo: Si f(x,y,z) = ⎨ diferenciable en (1,2,3) PROPIEDAD 3 Sea f: D⊂ \n → \, una función definida en un conjunto abierto D de \n Si las funciones (derivadas parciales): ∂f : D ⊂ \n→ \, i =1,2,...,n; ∂ xi D ⊂ D , son continuas en el punto p0 ∈ D , entonces, f es diferenciable en p0 Ejemplo: Analizar la diferenciabilidad de la función f(x,y) = cos(x-y2) 21