APROXIMACION POR FUNCIONES POLINOMICAS 1.

APROXIMACION POR FUNCIONES POLINOMICAS
1.- Escribir todos los polinomios P tales que P(0) = 1,
P’(0) = P’’(0) = 0 y P’’’(0) = 2 ¿Cual es el de grado mínimo?
2.- Dar un ejemplo de una función f :
R
---------------L
R continua en todo R
y tal que f(p) = 1 y f’(p) = 3
3.- Hallar los polinomios de Taylor, del grado indicado y en el
punto indicado, de las siguientes funciones:
x
1) f(x) = ee , grado 3 en 0
3) f(x) = senx, grado 2n en
5) f(x) = x5 + x3
2) f(x) = esenx, grado 3 en 0
p
-----
2
+ x, grado 4 en 0
4) f(x) = ex, grado n en 1
4.- Hállese los polinomios de Taylor (del grado indicado y en el
punto indicado) para las siguientes funciones:
1
1
a) f(x) =
, grado n en 0.
b) f(x) =
, grado 2n en 0.
x + 1
2
x + 1
-------------------------
c)
-----------------------------
f(x) = cosx , grado 2n en
p.
d) f(x) = lgx. grado n en 2.
5.- Escribir los siguientes polinomios en x como polinomios en
(x - 3):
a) x2 - 4x - 9
b) x5
c) x2 + bx + c
6.- Escribir los tres primeros términos diferentes de cero de
los desarrollos en series de Taylor en x = 0 de las siguientes
funciones:
1) tg x 2) sec x
3) tgh x 4) log (cos x) 5) exsenx
q======================================
7.- Sea f(x) =
6
x+1
2
2
-------------------------------------------
ex3-x2-x+1
2
,
x >1; el polinomio de Taylor de f de
orden 3 centrado en 2 es:
a)
-x3+7x2-17x+15
c) x3-2x2-15x-29
b) (x-2)3-2(x-2)2+(x-2)+1
d) 1 + (x-2) -
1
1
(x-2)2 + (x-2)3
2
6
-----
-----
-1/x2
8.- Sea la función h(x) = e
si x $ 0 y h(0) = 0.
a) Demuéstrese por inducción que limx 0 h(x)/xn = 0, para cualquier
n e N.
b) Demuéstrese por inducción que para todo n e N existe un polinomio
L
$ 0, entonces hn)(x) = Pn(1/x)h(x).
n)
c) Dedúzcase que h (0) = 0 para todo n e N.
Pn tal que si x
si n
Por tanto, comprobar que el resto Rh,n,0 (x) no converge a cero
8, cuando x $ 0.
L
9.- Pruébese la siguiente desigualdad
senx - (x -
1
x3
x5
+
6
120
---------
---------------
1
<
1
5040
--------------------
para todo
x
1
1
< 1.
10.- Si x
e [0,1] y n e N, pruébese que
lg(x + 1) - (x -
1
x2
x3
xn
+
+ ... + (-1)n-1 )
2
3
n
---------
---------
---------
1
xn+1
n+1
<
-----------------
11.- Pruébese que si x > 0, entonces
x
x2
2
8
1 +
-----
---------
6
x
< e1 + x < 1 + .
q====================
-----
2
6
6
Utilícese la desigualdad anterior para aproximar
e1,2 y e2; y
hágase una estimación del error cometido. Utilícese el polinomio de
q==========
q=====
6
e1,2
q==========
Taylor para n = 2 para obtener una aproximación más precisa de
6
y
e2.
q=====
12.- Calcular
indicado:
los
siguientes números
2) sen
3) e , error < 10-4
,
un error
menor
al
1
, error < 10-20
2
4) e2 , error < 10-5
1
10
6) arctg
, error < 10-(10 )
10
1) sen1, error < 10-17
5) e10
con
error < 10-30
-----
----------
13.- a) Demostrar que si arctg x, arctg y, arctg x + arctg y
son
distintos
kp +
de
p
,
-----
2
se
x+y
arctg x + arctg y = arctg(
) + c, donde c = kp, k
1-xy
--------------------
b)
Demostrar
que
igualdad, comprobar que
tiene
que
e Z.
p = arctg 1 + arctg 1 . A partir de esta
4
2
3
-----
-----
-----
p = 3,14159..... .
14.- a) Demostrar que el polinomio de Taylor de f(x) = sen(x2)
de grado 4n + 2 en 0 es:
x6
x10
x4n+2
+
- ... +(-1)n
3!
5!
(2n+1)!
k)
b) Hallar f (0) para todo k
c) En general, si f(x) = g(xn), hallar fk)(0) en términos de las
derivadas de g en 0.
x2 -
----------
-------------
-----------------------------------
15.- Determinar el origen de las siguientes expresiones:
6
1
1
1) e1 + x ; 1 + x - x2
si
x < 1/2
2
8
2) (logx)2 ; (x - 1)2 - (x - 1)3 si
x < 1/2
q====================
-----
-----
1
1
1
1
2
16.- Para que valores de x la fórmula cosx
no mayor de 0,01; 0,001
y
0,0001 .
; 1 - x2 da un error
---------