TRIGONOMETRÍA PLANA Razones trigonométricas Seno del

FÓRMULAS
TRIGONOMETRÍA PLANA
Razones trigonométricas
y
r
; Cosecante del ángulo α: cos ec =
r
y
r
y
x
r
α
Coseno del ángulo α: cos α = ; Secante del ángulo α: sec α =
r
x
x
y
x
Tangente del ángulo α: tg α = ; Cotangente del ángulo α: cot gα =
y
x
Fórmulas más utilizadas:
sen 2 α + cos 2 α = 1 ; 1 + tg 2 α = sec 2 α ; 1 + cot g 2 α = cos ec 2 α
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b
tg a + tg b
tg(a + b) =
1 − tg a tg b
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos:
sen(a − b) = sen a cos b − cos a sen b
cos(a − b) = cos a cos b + sen a sen b
tg a − tg b
tg(a − b) =
1 + tg a tg b
Razones trigonométricas del ángulo doble:
2 tg a
sen(2a ) = 2 sen a cos a ; cos(2a ) = cos 2 a − sen 2 a ; tg(2a ) =
1 − tg 2 a
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
a
1 − cos a
a
1 + cos a
a
1 − cos a
; cos =
; tg =
sen =
2
2
2
2
2
1 + cos a
Suma y diferencia de senos y cósenos:
A+B
A+B
A−B
A−B
sen A + sen B = 2 sen
cos
sen
; sen A − sen B = 2 cos
2
2
2
2
A+B
A+B
A−B
A−B
cos A + cos B = 2 cos
cos
sen
; cos A − cos B = −2 sen
2
2
2
2
Seno del ángulo α: sen α =
En un triángulo plano, de lados a, b y c, y ángulos A, B y C, se verifica:
a
b
c
Teorema del seno:
=
=
b
sen A sen B sen C
A
2
2
2
c
Teorema del coseno: a = b + c − 2bc cos A
A+B
tg
B
a+b
2
C
Teorema de la tangente:
=
A−B
a−b
tg
a
2
A
(p − b)(p − a )
a+b+c
Fórmula de Briggs: tg =
siendo p =
el semiperimetro
2
p( p − a )
2
Unidad docente de Matemáticas
FÓRMULAS
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Superficie de un triángulo esférico.
π r2
S =
( α + β + γ − 180º ) ; r=radio de la esfera y α, β, γ=ángulos del T. esférico
180º
Superficie de un polígono esférico:
π r2
S=
( A1 + A 2 + ... + A n − (n-2) ⋅ 180º )
180º
Siendo: A1, A2, …,An ángulos del polígono. n = nº de lados del polígono
Teorema del seno (1º grupo de Bessel)
sen a sen b sen c
=
=
sen A sen B sen C
Teorema del coseno para lados (2º grupo de Bessel)
cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A
cos b = cos a cos c + sen a ·sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Teorema de la cotangente (3º grupo de Bessel)
cot a ⋅ sen b = cos b ⋅ cos C + sen C ⋅ cot A
cot a ⋅ sen c = cos c ⋅ cos B + sen B ⋅ cot A
cot b ⋅ sen a = cos a ⋅ cos C + sen C ⋅ cot B
cot b ⋅ sen c = cos c ⋅ cos A + sen A ⋅ cot B
cot c ⋅ sen a = cos a ⋅ cos B + sen B ⋅ cot C
cot c ⋅ sen b = cos b ⋅ cos A + sen A ⋅ cot C
Teorema del coseno para ángulos (4º grupo de Bessel)
cos A = - cos B⋅cos C + sen B⋅sen C⋅cos a
cos B = - cos A⋅cos C + sen A⋅sen C⋅cos b
cos C = - cos A⋅cos B + sen A⋅sen B⋅cos c
Funciones del ángulo mitad
A
sen (p - b) ⋅ sen(p - c)
A
sen p ⋅ sen(p - a)
; cos
;
sen
=
=
2
sen b ⋅ sen c
2
sen b ⋅ sen c
A
sen (p - b) ⋅ sen(p - c)
=
2
sen p ⋅ sen (p - a)
Analogías de Gauss - Delambre
A+B
a−b
A−B
a−b
sen
cos
sen
sen
2 =
2
2 =
2
;
C
c
C
c
cos
cos
cos
sen
2
2
2
2
A+B
a+b
A-B
a+b
cos
cos
cos
sen
2 =
2 ;
2 =
2
C
c
C
c
sen
s en
sen
cos
2
2
2
2
Analogías de Neper
a-b
a-b
cos
sen
−
A+B
C
A
B
2 ⋅ cotg ; tg
2 ⋅ cotg C ;
=
=
tg
a+b
a+b
2
2
2
2
cos
sen
2
2
A-B
A-B
cos
s en
a+b
c
a-b
2 ⋅ tg ; tg
2 ⋅ tg c
=
=
tg
A+B
A+B
2
2
2
2
cos
s en
2
2
tg
Unidad docente de Matemáticas