tema XIV.3: Series de términos positivos

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.3. Series de términos positivos
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE
NÚMEROS REALES
XIV.3. Series de términos positivos
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.3. Series de términos positivos
1. Series de términos positivos
DEF. Se dice que una serie
∞
X
an es de términos positivos o
n=1
de término general positivo si an ≥ 0
∀n ∈ N
En este caso, la sucesión de sumas parciales (Sn ) es creciente
y por ello:
si (Sn ) está acotada, entonces (Sn ) converge
si (Sn ) no está acotada, entonces (Sn ) no converge,
∞
X
an = ∞
n=1
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.3. Series de términos positivos
2. Criterios de convergencia para series de
términos positivos
1) Criterio de mayoración/minoración
∞
∞
X
X
Sean
an y
bn dos series de términos positivos tales
n=1
que an ≤ bn
si
si
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n=1
∀n ∈ N. Entonces:
an = ∞, entonces
bn < ∞, entonces
∞
X
n=1
∞
X
n=1
bn = ∞
an < ∞
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.3. Series de términos positivos
2. Criterios de convergencia para series de
términos positivos (II)
2) Criterio de comparación por cociente
∞
∞
X
X
an
Sean
an y
bn dos series de términos positivos y l = lim
.
n→∞ bn
n=1
n=1
X X
X
X
X
X
∞
a) si l ∈ R, l 6= 0, entonces
simultánea.
b)
si l = 0,
∞
an y
n=1
∞
bn convergen o no de forma
n=1
bn < ∞, entonces
n=1
∞
an = ∞, entonces
c)
si l = ∞,
n=1
∞
bn = ∞, entonces
n=1
∞
an < ∞, entonces
n=1
X
X
X
X
∞
an < ∞
n=1
∞
bn = ∞
n=1
∞
an = ∞
n=1
∞
n=1
bn < ∞
Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.3. Series de términos positivos
2. Criterios de convergencia para series de
términos positivos (III)
Sea
∞
X
an una serie de términos positivos
n=1
3) Criterio del cociente (o de D’Alembert)
an+1
Si existe l = lim
, entonces:
n→∞ an
a) cuando l < 1 la serie es convergente
b) cuando l > 1 (o l = ∞) la serie no es convergente
c) cuando l = 1 el criterio no decide
4) Criterio de la raíz√
Si existe l = lim n an , entonces:
n→∞
a) cuando l < 1 la serie es convergente
b) cuando l > 1 (o l = ∞) la serie no es convergente
c) cuando l = 1 el criterio no decide