i(t)

Potencia (Estado Estable Senoidal)
p(t)
Potencia instantánea p(t)
i(t)
+
Potencia Promedio (P)
v(t)
-
t
1
1
p(t ) = Vm cos(ω t + θ ) Im cos(ω t + φ ) = Vm Im cos(θ − φ ) + Vm Im cos(2ω t + θ + φ )
2
2
1
Pot. Promedio: P = Vm Imcos(θ −φ ) Watts (W)
2
1
Pot. Reactiva : Q = VmIm sen(θ −φ ) Volt-ampere reactivos (VAR)
2
1
Pot. Aparente : S = Vm Im Volt-amperes (VA)
2
Vrms =
Vm
; Irms =
2
Im
2
P = Vrms Irms cos( θ − φ )
Q = Vrms Irms sen (θ − φ )
S = Vrms Irms
La potencia instantánea oscila al doble de la frecuencia de la excitación
Potencia instantánea y promedio en los elementos pasivos
p(t)
v(t), i(t)
P≠0
i(t)
+
R
v(t)
t
-
p(t)
v(t), i(t)
P=0
i(t)
+
L
v(t)
t
-
p(t)
v(t), i(t)
i(t)
P=0
+
v(t)
C
t
-
T
T/2
Cálculo de potencia promedio (Excitación periódica)
p(t)=v(t) i(t): Potencia instantánea
P = Potencia promedio
T: Período de la función
p(t)
1
P =
t 2 − t1
t
2
t
1
∫ p ( t ) dt
Función Periódica: f(t) = f(t+T)
1
P 1=
T
1
P x=
T
t
tx
t1
∫ p ( t ) dt
t
t
1
x+
T
∫ p ( t ) dt
t x
t
1
P =
nT
1
P =
T
tx + T
t1 + T
t 1+ T
x+
nT
∫ p ( t ) dt
t x
T
∫ p ( t ) dt
0
Valores RMS (efectivos) de señales periódicas
Valor RMS: Aquel valor de la fuente
de CD que entregue la misma
potencia promedio(P) a la carga que
la excitación periódica
Excitación periódica
i(t)
i(t)
Im
Fuente de CD
Im
3
T
p(t)
2T
T
P =
1
p (t )dt
T ∫0
t
3T t
P=1/3 Im2R
p(t)
I RMS =
1T
i (t ) 2 dt
∫
T o
Im2 R
R [Im]
3
R [Im]
3
2
2
T
2T
3T t
t
Valores efectivos (RMS) de señales periódicas
2
VRMS
2
1T
=
∫ [v (t )] dt
T0
I RMS
1T
=
∫ [i (t )] dt
T0
Valores efectivos (RMS) para señales senoidales
componentes de una sola frecuencia
VRMS
Vm
=
2
I RMS
Im
=
2
Valores efectivos (RMS) para señales senoidales con
componentes de diferente frecuencia(armónicas)
i(t)= Io+I1 sen(ω
ω1t+α
α1) + I2 sen(ω
ω2t+α
α2) + I3 sen(ω
ω3t+α
α3) + ...+ In sen(ω
ωnt+α
αn)
2
I RMS
2
 I   I 
 I 
= Io +  1  +  2  + L +  n 
 2  2
 2
2
ω1, ω2, ωn DIFERENTES
2
Análisis en el dominio del tiempo
Potencia (Estado estable senoidal)
p(t)
i(t)
Pote ncia instantá nea p(t)
+
Pote ncia Prom edio (P)
v(t)
-
t
1
1
p( t ) = Vm cos(ω t + θ ) Im cos(ω t + φ ) = Vm Im cos(θ − φ ) + Vm Im cos( 2ω t + θ + φ )
2
2
Pot encia Promedio: P =
1
Vm Im cos(θ − φ ) Wat ts (W)
2
Vrms =
Vm
; Irms =
Im
2
2
P = Vrms Irms cos(θ − φ )
1
Vm Im sen (θ − φ ) Volt-ampere reactivos (VAR)
2
1
P otencia Apaernte : S = Vm Im Volt-amperes (VA)
2
Pot encia Reactiva : Q =
Q = Vrms Irms sen (θ − φ )
S = Vrms Irms
S = V I * = S∠β = S cos( β ) + j S sen( β ) = P + j Q
I
S
+
S = VI * = P + j Q
Q
If P>0, consume pot. real
V
If P< 0, produce pot. Real(Generador)
If Q>0, consume potencia reactiva
If Q<0, produce potencia reactiva
-
β=θ−φ
P
Triángulo de Potencia
V e I deben estar expresados en valores RMS
Análisis en el dominio fasorial
Cálculo de Potencia Compleja (Utilizando Fasores)
+
vs(t)
IRMS = I RMS ∠φ
VRMS = VRMS∠θ
i(t)
Z
-
vs(t)=Vm cos( ω t + θ)
β =θ −φ
i(t)=Im cos(ω t + φ)
S
abs
= VRMS I *
RMS
Z = R = Z∠0 ⇒ I en fase con V ⇒ β = 0 ⇒S abs = P ⇒ fp(1.0)
Absorbe P
Z = jX = Z∠90 ⇒ I atrasa a V ⇒ β = 90 ⇒ Sabs = jQ ⇒ fp = 0
Absorbe Q
Z = − jX = Z∠ − 90 ⇒ I adelanta a V ⇒ β = −90 ⇒ Sabs = − jQ ⇒ fp = 0
Produce Q
Z = R + jX = Z∠α
Z = R − jX = Z∠ − α
⇒ I atrasa a V ⇒ 0 < β < 90 ⇒ Sabs = P + jQ ⇒ fp( − )
⇒ I adelanta a V ⇒ −90 < β < 0 ⇒ Sabs = P − jQ ⇒ fp( + )
Absorbe P y Q
Absorbe P y
produce Q
Cálculo de potencia compleja (múltiples cargas)
PF
QF
IF
P1
Q1
ZL 1
Carga
PF = P1 + P2 + P3
P2
Q2
Carga 2
QF = Q1 + Q2 + Q3
S F ≠ S1 + S 2 + S 3
SˆF = Sˆ1 + Sˆ2 + Sˆ3 ( Fasorialmente)
Q3
P3
Carga 3
Corrección de factor de potencia (Efecto en la corriente)
IQ3
I P1
IP
V
(θv − θi )
I3
fp (+)
V
- (θv − θi )
fp = 1
IQ1
V
fp (-)
IP
+
v(t)
I
1
I3
I2 =IP
IP
IQ3
I
V
200
200
200
0
0
0
-200
0
-200
0
90
180
(a)
270
360
-200
90
180
(b)
270
360
0
90
(c)
180
270
360
Corrección del factor de potencia
PF
IF
PF
QF
IF'
PL
QL
ZL
QF'
PL
QL
QC
ZL
SF=SL
QF=QL
β=θ−φ
SF'
β'=θ−φ'
PF=PL
QC
QF'=QL-QC
PF=PL
Potencia Reactiva necesaria para corregir el
factor de potencia (fp) a un valor superior (fp')
Qc = PL[tan(cos −1 fp ) − tan(cos −1 fp ' )] = PL[tan( β ) − tan( β ' )]
Corrección de factor de potencia
[
]
PL
QL
* = 100 ∠0   40 ∠ − 36.87 * = 1600 + j1200 = 2000∠36.87 o VA
Sabs = VRMS I
 2   2

RMS
PF
QF
vs(t)
SF=SL=2000 VA
QF=QL= 1200 VAR
β=θ−φ=36.87
PF=PL=1600 W
Vs(t)=100 cos(100t)
R=2.0 ; L=15 mH
PF
fp=0.8(-)
fp' =0.9(-)
QF'
PL
vs(t)
QL
ZL
QC
SF'
β'=25.84
QC=425 VAR
QF' =QL-QC=775 VAR
PF=PL=1600 W