Sistemas de ecuaciones lineales para discutir y resolver.

SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Discutir y resolver el sistema según los valores del parámetro a :
x + y + z = 1

 x + y + az = a ;
 x + y + az = a 2

Solución:
Si a ≠ 0 y a ≠ 1, Rang ( A) ≠ Rang ( A ) ⇒ sistema incompatible
Si a = 0, Rang ( A) = Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si a = 1, Rang ( A) = Rang ( A ) = 1 ⇒ sistema compatible indeterminado .
x = λ
x = λ


a = 0 ⇒  y = −λ
a =1 ⇒ y = µ
;
z = 1
z = 1− λ − µ


2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a y resolverlo en los casos de
compatibilidad.
 2 x + 3 y + az = 0

 ay − z = 2
 ax + ay + az = a

Solución:
Si a ≠ 0 y a ≠ 1, Rang ( A) = Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado
Si a = 0, Rang ( A) = Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si a = 1, Rang ( A) = 2 ≠ Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema incompatible

a 2 + 2a − 9
x
=
2

( a − 1)


2 ( a 2 − 3)

a ≠ 0 , a ≠ 1⇒  y =
2
( a − 1)


2
 z = 2a − 4a −26

− a ( a − 1)
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;
3

x = − 2 λ

a = 0 ⇒ y = λ
 z = −2


Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 1
3. Resolver los sistemas siguientes:
3 x − y + 2 z = 2
 x − y + 4 z = 12

a) 
 x + y − 6z = 1
5 x − y = 15
 x + 2 y − 3z = 1
 2 x + 3 y + z + 4t = 0

b) 
y − z +t = 3
 x − 2t = 10
3 x + 7 y + 6 z − 5t = −8
 2 x + 3 y + 4 z − t = −2

c) 
 x − y + 2 z + 3t = 4
3 x + 2 y + 6 z + 2t = 2
6 x − 9 y = 0

d )  −4 x + 6 y = 0
2 x − 3 y = 0

2 x + 3 y + 4 z = 0

e)  − x + 10 y + 3z = 0
4 x + 5 y + 7 z = 0

3 x + y − z + t = 0

f )  7 x − y + 2 z + 4t = 0
 y − 2z + t = 0

 x + 2 y + 3z = 1
− x + 2 z = 2

g) 
 2 x + y = −1
 −2 x + y − 2 z = 0
x + y − z + t = 2

h )  2 x − y + z + 2t = 1
 2 x + 2 y − 2 z + 2t = 0

2 x + y − z − t = 4
i) 
 3 x − 2 y + z + 2t = 0
Soluciones:
128
179
89 
8
7



b)  x = −
, y=
, z = 15 , t = −  c )  x = 2 − 2λ − µ , y = −2 + µ , z = λ , t = µ 
5
5
5 
5
5



3
5
23
15




d)  x = λ , y = λ 
e) ( x = 0 , y = 0 , z = 0 )
f ) x = − λ , y = λ , z = λ , t = λ
2
7
7
7




8 1
12 5


g ) incompatible
h ) incompatible
i)  x = + λ , y = + λ + µ , z = λ , t = µ 
7
7
7
7


a ) incompatible
4. Encontrar los valores del parámetro a para que el siguiente sistema tenga soluciones distintas de
la trivial.
 x − ay − z = 0

( 2 − 2a ) x + 5 y + z = 0

4 x + y + ( 5 + a ) z = 0
Solución: a = −2 ; a =
−2 + 46
−2 − 46
; a=
2
2
 − x + by + cz = 0

5. Demostrar que el sistema  ax − y + cz = 0 admite solución distinta de la trivial, si se verifica
 ax + by − z = 0

que
1
1
1
+
+
= 2.
1+ a 1+ b 1+ c
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Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 2
6. Determinar, si existe, el valor del parámetro a para que el siguiente sistema sea compatible
indeterminado.
3x − 2 y + z = 1

 x + y − az = 2
 y − z = −1

Solución:
4
4
el sistema es incompatible , para a ≠ el sistema es compatible determinado.
3
3
En ningún caso el sistema es compatible indeterminado.
Para a =
7. Estudiar el sistema según los valores de los parámetros a y b
ax + by + z = 1

 x + aby + z = b
 x + by + az = 1

Solución:
Si b ≠ 0 , a ≠ 1 y a ≠ −2 , Rang ( A) = Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado
Si a = 1, b ≠ 1 , Rang ( A) = 1 ≠ Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema incompatible
Si a = 1 , b = 1 , Rang ( A) = Rang ( A ) = 1 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si a = −2 , b ≠ −2 , Rang ( A) = 2 ≠ Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema incompatible
Si a = −2 , b = −2 , Rang ( A) = Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si b = 0 , a ≠ 1 , Rang ( A) = 2 ≠ Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema incompatible
Si b = 0 , a = 1, Rang ( A) = 1 ≠ Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema incompatible
8. Resolver el sistema de ecuaciones:
 x + 2 y + 2 z + 3t = 6

2 x + 4 y + 3z + 5t = 10
x + 2 y − z = 0

Solución:
 x = 2 − 2λ − µ
y = λ

Rang ( A) = Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado ⇒ 
z = 2 − µ
t = µ
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Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 3
9. Discutir y resolver el siguiente sistema, para los distintos valores reales del parámetro k
2 x − ky + z = 1

2 x + 3 y + z = k + 3
kx + ky + ( k + 1) z = −1

Solución:
Si k ≠ −2 y k ≠ −3, Rang ( A) = Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado
Si k = −2 , Rang ( A) = Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si k = −3, Rang ( A) = 2 ≠ Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema incompatible

k 2 + 3k + 3
=
x
1 1


x= − λ
k +3


2 2

k +2

Para k ≠ −2 y k ≠ −3 ⇒  y =
; para k = −2 ⇒  y = 0
k +3

z = λ


− k 2 − 3k − 3

z =
k +3

10. Discutir el siguiente sistema, para los distintos valores reales del parámetro k
kx + y + z = 1
 x + ky + z = 1


 x + y + kz = 1
 x + y + z = k
Solución:
Si k ≠ 1 y k ≠ −3, Rang ( A) < Rang ( A ) = 4 ⇒ sistema incompatible
Si k = 1, Rang ( A) = Rang ( A ) = 1 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si k = −3, Rang ( A) = Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado
Para k = −3 ⇒ ( x = −1 , y = −1 , z = −1) ;
x = 1− λ − µ

para k = 1 ⇒  y = λ
z = µ

11. Demostrar que un sistema de n ecuaciones lineales con ( n − 1) incógnitas es incompatible si
A ≠0
12. Comprobar que si ( s1 , s2 , s3 , ........ , sn ) es solución de un sistema homogéneo, entonces
también lo es ( λ s1 + µ s1 , λ s2 + µ s2 , λ s3 + µ s3 , ........ , λ sn + µ sn ) , ∀ λ , µ ∈ ℝ .
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Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 4
13. Discutir el sistema para los distintos valores de los parámetros m y n
 x + my + m 2 z = 1

 x + my + mnz = m
nx + m 2 y + m 2 nz = m 2 n

Solución:
Si m ≠ 0 y m ≠ n , Rang ( A) = Rang ( A ) = 3 ⇒ sistema compatible determinado
Si m = 0 , Rang ( A) = 1 ≠ Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema incompatible
Si m = n = 1 , Rang ( A) = Rang ( A ) = 1 ⇒ sistema compatible indeterminado
Si m = n , m ≠ 1 , Rang ( A) = 1 ≠ Rang ( A ) = 2 ⇒ sistema incompatible
14. Estudiar y resolver, en su caso, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
x − y + z + t = 2
 x + y − z + t = −8

a) 
x + y + z − t = 6
 − x + y + z + t = −4
2 x − 3 y + z − t = 1
x + z + t = 0

b )  x + 6 y + 3 z + 7 t = −2
 x − 3 y − 2t = 1

3 y + z + 3t = −1
 x + y + 2z − t = 4
c) 
 x − y + z + 2t = 3
 x
 −1 5 0     3 
d) 
⋅ y =  
 1 3 1   z   5
 
15. Estudiar y resolver, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
ax + y + z = 2

a )  3 x − z = −2
− x + z = 4

2
( a − 1) x + ( a − 1) y = ( a + 1)
c) 
2
( 2a − 1) x − ( a + 1) y = a − 1
2
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 2 x − y + z = −2

b)  x + ay − 2 z = −20
 3 x − 5 y + z = −3

2
ax + y + z = a 2

x − y + z = 1
d) 
3 x − y − z = 1
6 x − y + z = 3a
Ejercicios de sistemas de ecuaciones. Pag. 5
ax + 2 z = 0

e) ay − z = a
 x + 3 y + z = 54

 ax + y + z = 0

f )  x + ay = 0
3x + az = 0

x − 2 y + 4z = a

g ) 3 x + 4 y − z = 0

ax − y + 2 z = 0
x − y = 2

 ( a + 2 ) x + ( a + 3) y = 6
h) 
( 3a + 1) x + 3ay = 4
6 x − y + z = 3a

 −7 x − 7 y + 2 z = 13

i )  x − 5 y − 2 z = −9

4 x + y − 2 z = a
 ax + ay + z = 1

j )  x + ay + z = a
 x + y + az = a 2

( 2a + 2 ) x + ay + 2 z = 2a − 2

k ) 2 x + ( 2 − a ) y = 0

( a + 1) x + ( a + 1) z = a − 2
x + y − z = 2
 ax + y + z = 1

l) 
 x − y + 3 z = −3
 4 x + 2 y = a
16. Discutir y resolver, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
ax + ( 2a − b ) y = a + b − 3
a) 
5 x + 4 y = 1
x + 2 y + z = 2

 x + y + 2z = 3
b) 
 x + 3 y + az = 1
 x + 2 y + z = b
 mx + y = n

c )  x + my = n
x + y = 1

x + y + z = 1

d )  ax + y + z = 1
 x + ay + bz = 1

ax + y + z = a

 x + ay − z = 1
e) 
3 x + bz + y = 2
 x − y − z = 1
 x − 2 y − z = 3a + 3b
 x − y = 1 + 2 a + 2b

f) 
2
2
bx + ay = b − a − 6
 ax + by = a 2 − b 2 + 6

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