Examen II de trigonometría, números complejos y vectores. Curso 2010/2011

Examen de trigonometría, complejos y vectores
4/04/2011
Ejercicio 1.
Si tg x = −
3
x
y sen x > 0 , sin hallar el valor de x calcula: sen x, cos (π + x ) , tg
y cos 2 x
4
2
Como tg x < 0 y sen x > 0 ⇒ el ángulo x está en el 2º cuadrante. Dibujamos la situación para
calcular las razones trigonométricas del ángulo x.
3
⇒ por el teorema de Pitágoras
4
obtenemos la hipotenusa que es 5.
tg x = −
entonces tenemos que sen x =
• cos (π + x ) = −cos x =
3
4
y cos x = −
5
5
4
5
2
2
7
 4   3  16 9
• cos 2 x = cos x − sen x =  −  −   = − =
 5   5  25 25 25
2
2
4
5 = 9 =3
4
1−
5
x
x
pues si 90º < x < 180º ⇒ 45º < < 90º ⇒ tg > 0
2
2
x
1 − cos x
• tg =
=
2
1 + cos x
1+
Ejercicio 2.
Un pentágono regular, centrado en el origen de coordenadas, tiene uno de sus vértices en el punto
A = (2 , 2 3) . Calcula los demás vértices, el área y el perímetro de dicho pentágono.
(
)
Un vértice es A = 2, 2 3 . Vamos a expresar ese punto del plano ( complejo) en forma polar.
tg α =
2 3
= 3 ⇒ α = arctg
2
(
r= 2 + 2 3
2
)
2

( 3 ) = 60º 
= 4 + 12 = 4
 ⇒ A = 460º


360º
= 72º ⇒ los afijos de los números complejos que determinan los vértices del
5
pentágono los obtenemos aplicando giros de 72º a partir de A. Entonces :
Como
B = 4132º ; C = 4204º ; D = 4 276º ; E = 4348º
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Si tenemos tiempo y ganas, pasamos esos puntos de coordenadas polares a cartesianas.
p. ej. B = 4132º ⇒ B = ( 4 ⋅ cos 132º , 4 ⋅ sen 132º ) = ( −2′68 , 2′97 )
Ahora debemos calcular el perímetro y el área del pentágono, para ello calculamos L y a.
L
= 4 ⋅ sen 36º ⇒ L = 8 ⋅ sen 36º ≃ 4, 7
4
2
También por el teorema del coseno
sen 36º =
L
2
⇒
L = 4 2 + 4 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ cos 72º = 32 − 32 ⋅ cos 72º ≃ 4,7
P = 5 ⋅ ( 4, 7 ) = 23,5
a
⇒ a = 4 ⋅ cos 36º ≃ 3, 24
4
P ⋅ a ( 23,5) ⋅ ( 3, 24 )
A=
=
= 38,07
2
2
cos 36º =
Ejercicio 3.
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia,
trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
La cuerda con los radios de la circunferencia
forma un triángulo isósceles, al igual que con los
segmentos de tangente.
La recta que une el centro de la circunferencia con
el corte de las tangentes es mediatriz de la cuerda.
Entonces :
cos β =
18
 18 
⇒ β = arcos   ≃ 43,95º
25
 25 
90º − β = 46,05º
α = 180º −2 ⋅ ( 46,05º ) ⇒ α = 87,9º
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Ejercicio 4.
Resuelve la ecuación: sen 2 x ⋅ cos x = 6sen 3 x
sen 2 x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 sen x ⋅ cos x ⋅ cos x = 6sen 3 x ⇒ 2 sen x ⋅ cos 2 x − 6sen 3 x = 0 ⇒
 sen x = 0 ⇒ x = k ⋅ 180º
⇒ 2 sen x ⋅ ( cos 2 x − 3sen 2 x ) = 0 ⇒  2
2
cos x − 3sen x = 0
cos 2 x − 3sen 2 x = 0 ⇒ 1 − sen 2 x − 3sen 2 x = 0 ⇒ 1 − 4 sen 2 x = 0
⇒ sen 2 x =
1
⇒
4

 x = 30º + k ⋅ 360º
1
⇒ 
 sen x =
2
 x = 150º + k ⋅ 360º

⇒ 
 sen x = − 1 ⇒  x = 210º + k ⋅ 360º


2
 x = 330º + k ⋅ 360º

Ejercicio 5.
( )
Dado el vector a = (1, −2 ) , encuentra los vectores b = ( 3, y ) tales que áng a , b = 45º .
Según la definición de producto escalar de dos vectores : a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos 45º
como a y b están exp resados en coordenadas respecto de la base canónica,
2
a ⋅ b = 3 − 2 y , a = 12 + ( −2 ) = 5 , b = 32 + y 2
3 − 2 y = 5 ⋅ 9 + y2 ⋅
1
2
18 − 24 y + 8 y 2 = 45 + 5 y 2
1
45 + 5 y 2
⇒ 9 − 12 y + 4 y 2 =
⇒
2
2
 y = −1
⇒ 3 y 2 − 24 y − 27 = 0 ⇒ y 2 − 8 y − 9 = 0 ⇒ 
y = 9
⇒
(3 − 2 y )
2
= 5 ⋅ (9 + y2 ) ⋅
b1 = ( 3, − 1)
Entonces los vectores b = ( 3, y ) que cumplen la condición son  b2 = ( 3,9 )
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Ejercicio 6.
(
)
i ⋅ z 5 + i 29 + 3 = 0
Resuelve la ecuación:
i 29 = i 28 ⋅ i = ( i 4 ) ⋅ i = 1 ⋅ i = i
7
(
)
i ⋅ z 5 + i 29 + 3 = 0
z5 =
( −i − 3 ) ⋅ i
i
2
(
)
⇒ i ⋅ z 5 + i + 3 = 0 ⇒ i ⋅ z 5 = −i − 3
⇒ z5 =
1− i 3
−i 2 − i 3
⇒ z5 =
2
−1
i
⇒
⇒ z5 =
z 5 = −1 + i 3
−i − 3
i
⇒ z = 5 −1 + i 3
−1 + i 3 en forma polar es el complejo 2120º
z = 5 2120º
⇒ z = 5 2 120º + k ⋅360º
⇒
5
k

k

k

k
k

= 0 , z1 = 5 2 24º
= 1 , z2 = 5 2 96º
= 2 , z3 = 5 2 168º
= 3 , z4 = 5 2 240º
= 4 , z5 = 5 2 312º
Ejercicio 7.
Conocidos los vectores u = ( −2 ,5) , v = ( 3, 4 ) , obtén el vector w = ( 6, − 1) como combinación lineal de
u y v . Si tomamos B = {u , v } como base de V2 , cuáles serán las coordenadas de w en B .
Hay que encontrar dos números reales α y β tales que w = α ⋅ u + β ⋅ v
( 6, − 1) = α ⋅ ( −2,5) + β ⋅ ( 3, 4 )
6 = −2α + 3β

 −1 = 5α + 4 β
⇒
( 6, − 1) = ( −2α ,5α ) + ( 3β , 4 β )
30 = −10α + 15β

−2 = 10α + 8β
⇒ 
28 =
23β
⇒ β=
28
23
⇒
entonces α =
( 6, − 1) = ( −2α + 3β ,5α + 4 β )
−27
23
−27 28 por tanto w =
⋅u + ⋅v
23
23
 27 28 
Si tomamos B = {u , v } como base de V2 , las coordenadas de w en la base B serán w =  −
,

 23 23 
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Ejercicio 8.
Si cos ( a + b ) = 0 , y a , b son ángulos del primer cuadrante, demuestra que sen ( a + 2b ) = sen a .
Si cos ( a + b ) = 0 y a , b ∈ 1er cuadrante ⇒ a + b = 90º ⇒ sen ( a + b ) = 1
sen ( a + 2b ) = sen ( ( a + b ) + b ) = sen ( a + b )⋅ cos b + cos ( a + b )⋅ sen b = cos b
↑ =1
↑ =0
=
↑
a y b son
complementarios
sen a
Ejercicio 9.
De un paralelogramo de vértices ABCD se conocen A = ( −1, − 3) , B = ( 6, − 1) y C = ( 3, 4 ) . Se pide:
−
−
Calcula las coordenadas del cuarto vértice D .
Si unimos los puntos medios de los lados del paralelogramo, ¿obtenemos un nuevo paralelogramo?
Para que ABCD sea un paralelogramo
→
→
debe cumplirse : AB = DC
→
→
→
y AD = BC
→
Si D = ( x , y ) ⇒ AB = ( 7, 2 ) , DC = ( 3 − x , 4 − y )
( 7, 2 ) = ( 3 − x , 4 − y )
 x = −4
⇒ 
⇒ D = ( −4, 2 )
y = 2
Para que MNPQ sea un paralelogramo
→
→
→
→
debe cumplirse : MN = QP y MQ = NP






 ⇒
 1 
P =  − , 3 
 2  

1 
 5
Q = − , − 
2  
 2
5

M =  ,− 2
2

9 3
N = , 
2 2
7
 → 
 MN =  2 , 2 



 →
QP =  2 , 7 



2

3
 → 
 MQ =  −5 , 2 



 →
 NP =  −5 , 3 



2

Entonces MNPQ es un paralelogramo.
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