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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905
2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada
Optimización de Funciones
(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial)
SOLUCIONARIO v1.0
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún
momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un
formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar
especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I
Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de
Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en
el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado
que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del
conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
A.-) En los ejercicios del 1 al 14 aplique sus conocimientos técnico-prácticos sobre máximos y
mínimos para resolver la problemática planteada
SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones
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1) Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto,
como se muestra en la figura. Con las partes marcadas como se indica, determine “x” para:
a. Maximizar el área del triángulo A
b. Minimizar el área del triángulo B
(Para los cálculos que se consideren convenientes, ΔA ~ ΔC)
P
x
C
w
a
D
P
w
Consideraciones Pr e lim inares
Notese que el B sombreado es el resultado de doblar el papel en la forma del espacio vacío o D
por eso se presenta el cambio en el punto P, de la esquina inf erior izquierda a la parte sup erior
B  D  LLL; los tres lados son iguales porque la diferencia entre el B y D solo es la posición
A  C  AA; dato del ejercicio porque son dos triangulos rectángulos con ángulos agudos congruentes
ángulos entre paralelas 
a.)
a  x y 
2
Fórmula de Ayuda  trabajando con triangulos rectángulos tenemos :
Función Objetivo  A  1
x 2  a  x   2ax  a2
2
y
Función Objetivo Modificada a max imizar
a  x 
2ax  a2 


Criterio de la 1era Derivada
A1
2
A'  1
A'
2
2ax  a2  1
a  x   12 2ax  a2 
2
1

2
 2a

2
a  x 2a   2ax  a2  a  x 2a  a  3 2 ax
 2ax  a2

2
2 2ax  a2
2 2ax  a2
2ax  a2
A '  0  a2  3 ax  0  x  2 a
2
3
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P
x
C
w
a
D
P
w
b.)
x w 
2
Fórmula de Ayuda  trabajando con semejanza de triangulos rectángulos tenemos :
Función Objetivo  B  1
w x
ax
 w
w
a y
y
ax
2ax  a2
Función Objetivo Modificada a min imizar
 a
x2
 

2 
2
 2ax  a  2  2ax  a
Criterio de la 1era Derivada
A1

x 
2 
ax





2
2 1
2

a  2 x  2ax  a  x  2 2ax  a
A'
2
2
2


2
ax
a








ax 2
 2 x 2ax  a2 
a
2ax  a2
A' 
2
2
2ax  a



1
2


 2a 





 2 x 2ax  a2  ax 2



 a
2ax  a2
 
2ax  a2
 2






 a  3ax 2  2 xa2  a2  3x 2  2 xa

 

3 
3
 2  2ax  a2 2  2  2ax  a2 2











A '  0  3x 2  2 xa  0  x 3x  2a  0  x  0 ó x  2 a
3
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2) Un canalón (cuneta) metálico para el agua de lluvia tiene
lados de 3 pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas,
los lados forman ángulos iguales θ con el fondo ¿Cuál
debe ser θ para maximizar la capacidad de desalojo de
agua del canalón? Nota: 0 ≤ θ ≤ π/2
La capacidad de almacenami ento se puede incrementa r si el área de la
sec ción transversal de la cuneta se max imiza
E
Función Objetivo
C
B
F
A  A rec tan gulo ABCD  A ABE  A CDF
A  A rec tan gulo ABCD  2 A ABE
 2 3 cos  3sen 
A  33sen   2 1
A  9sen   9cos  sen 
3sen 
3 in

D 
A
3cos 
3 in
3cos 
Criterio de la 1era Derivada
A '  9cos    9 sen sen   9cos  cos  

A '  92 cos
A '  9 cos   sen2  cos 2 
2
  cos   1



recordar  sen2  1  cos 2 

A '  0  9 2 cos 2   cos   1  0
2
2 cos   cos   1  0
hacemos x  cos  para resolver la ecuación
2
2x  x  1  0
x  1 ; x  1
2
cos   1    cos 1  1   ó 180

descartado por estar fuera do min io 
pero x  cos  , entonces 

1 1
1
  ó 60
cos   2    cos
2
3
 
Pr obando en valor encontrado y extremos del do min io
cuando   0  A 0   0 in2
 3   11.7 in
cuando     A    9 in
2
2
cuando   
3
 A
2
2
R /  la cuneta puede desalojar la mayor cantidad de agua
posible cuando   
3
ó 60º.
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3) Se pretende fabricar una lata para almacenar jugo de naranja, la cual tiene forma cilíndrica (con
tapadera) con una capacidad de 1,000cm3.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal en la elaboración de
dicha lata?
Función Objetivo  A  2rh  2r 2 min imizar área sup erficial
Fórmula de Ayuda  V  r 2h  h 
V
r
2
h
1000
r 2

Función objetivo mod ificada
2000
 1000 
 2r 2  2000r 1  2r 2
A  2r  2   2r 2 
r
 r 
Criterio de la 1era Derivada
A'  2000r  2  4r  
2000
r2
 4r 
 2000  4r 3
r2
A'  0  2000  4r 3  0
r3
500

 5.42m

h
1000
r
2

1000
 5.41932
 10.84m
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4) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base
10cm y por altura 15cm. (consejo: utilice semejanza de triángulos como fórmula de ayuda).
Función Objetivo  A  x  y max imizar área del rectángulo
x
2  15  y
10
15
2
x  2 15  y 
3

Fórmula de Ayuda   semejantes 
Función objetivo mod ificada
15  y   y  10 y  2 3 y 2
3
Criterio de la 1era Derivada
A2
A'  10  4 y
3
A'  0  10  4 y  0
3
4
10 
y  15 m  y
3
2

x2
3
15  y   2 3 15  15 2   5m
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el costo de un contenedor que tiene forma de
paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9.00m3, su altura 1.00m y el costo
de construcción de: base 50.00 $/m2, tapadera 60.00 $/m2 y paredes laterales: 40.00 $/m2
Función Objetivo  C  50xy   60xy   402  x1  402  y1  110 xy  80 x  80 y
Fórmula de Ayuda  V  x  y  1  9  y
x

Función objetivo mod ificada
 x   80x  809 x   990  80x  720 x  990  80x  720x
C  110 x 9
1
Criterio de la 1era Derivada
C'  80  720  1x  2  80 
720
x2

80 x 2  720
x2
C'  0  80 x 2  720  0
x   720
80
x  3  x  3m

y  9  9  3m
x
3
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6) Con una lámina de cartón que posee dimensiones de 80cm (base) y 50cm (altura), se desea
construir una caja recortando y doblando convenientemente un cuadrado de lado igual a “x” en
cada esquina del cartón. Calcule la dimensión “x” para que el volumen de la caja sea máximo.
Función Objetivo  V  b  h  l
max imizar volumen de caja
Fórmula de Ayuda  b  80  2 x
hx
l  50  2 x

x
x
Función objetivo mod ificada
50cm
V  80  2 x x 50  2 x   4 x 3  260 x 2  4000 x
Criterio de la 1era Derivada
V '  12 x 2  520 x  4000  12 x 2  520 x  4000
V '  0  12 x 2  520 x  4000  0
80cm
x 1  10

  520   520  4  12  4000 x 2  33.3 descartado
x

2  12
porque este valor de " x"
genera una dim ension de l arg o negativa

R /  para max imizar el volumen, x debe ser 10cm
2
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7) Una hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2cm de
altura y márgenes laterales de 1cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que
minimicen la superficie o área total del papel.
Función Objetivo  V  x  y min imizar área de la hoja de papel
Fórmula de Ayuda  A  b  h
18  x  2   y  4  
2cm
18
4y
x2
18  4 x  2 
x 2
4 x  10
y
x 2

y
Función objetivo mod ificada
1cm
2
 4 x  10  4 x  10 x
A  x 

x 2
 x 2 
Criterio de la 1era Derivada
A' 
8x  10 x  2  4 x 2  10 x 1  8x 2  16 x  10 x  20  4 x 2  10 x
x  22
x  22

4 x 2  16 x  20
x  22
A'  0  4 x 2  16 x  20  0
x2  4x  5  0
x  5x  1  0
x  5; x  1

R /  para min imizar el area de la hoja, x  5cm
y
4 x  10 4 5   10

 10cm
x2
52
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8) Una boya (señalización flotante situada en el mar y generalmente anclada al fondo), será
construida utilizando dos conos rectos de hierro, unidos por sus bases, por especificaciones
técnicas se solicita que la altura inclinada de ambos conos tenga una longitud de 3m. Calcular las
dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
Función Objetivo  V  2  1 x 2 y
3
max imizar volumen de la boya (2 conos )
Fórmula de Ayuda  x 2  y 2  32
(teorema de pitagoras , relacionad o el radio
de la base " x" con la altura principal " y" )
2
x 9y
2

Función objetivo mod ificada
V2


9  y 2 y  6y  2 y 3
3
3
Criterio de la 1era Derivada
V'  6  2y 2
V'  0  6  2y 2  0
6  2y 2
 3y

R /  para max imizar el volumen de la boya, y  3 m
x2  9  y2
x  9
 3 2 
6m
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9) Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mide 1.00
metro.
Función Objetivo  A  1 bh
2
max imizar area de un  rec tan gulo
Fórmula de Ayuda  b2  h2  12
h  1  b2

h
Función objetivo mod ificada
A  1 b 1  b2 
2 

Criterio de la 1era Derivada

b

A'  1 1  1  b2  b  1 1  b2
2
2

1m

1
2
 1
b2
 2b    1  b2 
 2 
1  b2



1  1  b 2  1  b 2  b 2  1 1  b 2  b 2 
1  2b2

 

2
 2  1  b2  2 1  b2
1  b2

A'  0  1  2b2  0
1  2b2
 1 b
2
2
b
2

R /  para max imizar el area del triangulo, b  2
2
m
h  1  b2
2
h  1   2   1  1 
2
 2
1  1
 2 m
2
2
2
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10) A las 7:00am, un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega
hacia el oeste a 20 mi/hr. y el segundo barco navega con rumbo sureste a 30 mi/hr., ¿Cuándo
estarán más cerca uno del otro?
N
N
1er barco – 1
2do barco – 2
 60mi en relación al eje de barco 1
 60  15 2  t
15 2  t
E
2
O
45º
 15 2  t
d2  30t
O
x1 , y1 
1
d1  20t
E
d2  x 2  x1   y 2  y1 
2
2
x 2 , y 2 
S
S
Función Objetivo  d2  x 2  x1   y 2  y1 
2
2
min imizar dis tan cia para saber cuando estaran
mas cerca
Fórmula de Ayuda  V  d  d  V  t
t
barco 1
barco 2

las coordenadas de posicion x1 , y1  & x 2 , y 2 ,
d1  20  t
d2  30  t

son obtenidas tomando como referencia el plano cartesiano
x1  20  t
x 2  60  15 2  t 
de rayado continuo que pertenece al barco 1

y1  0
y 2  15 2  t


Función objetivo mod ificada

 
2t 
2
d2   60  15 2  t   20  t    15 2  t  0

  60  15 2 t  20 t
   15
2
 41.21t  60   21.21t 
2

2
2
2
 1,698.26 t 2  4 ,945.2t  3,600  449.86 t 2  2,148.12t 2  4 ,945.2t  3,600
Criterio de la 1era Derivada
d '  4,296.24t  4,945.2
d '  0  4,296.24t  4,945.2  0
2
2
4 ,945.2
 1.15 hrs
4 ,296.24

t
R /  7  1.15  8.15 hrs  8 : 09am hora en la cual estarán mas cerca 
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11) Una ventana de estilo normando consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Determine
las dimensiones de una ventana con perímetro 10 metros y que permita la entrada de la mayor
cantidad posible de luz.
Función Objetivo  A  área rec tan gulo  área semicírcul o
A  2r h 
max imizar
área de ven tan a
r 2
2
Fórmula de Ayuda  Perimetro ven tan a  perímetro rectángulo  perímetro semicírcul o
2r
 h  5  r  r
2
2

10  2r  2h 
Función objetivo mod ificada

A  2r  5  r  r
  12 r
2
r
2
A  10r  2r 2  r 2  1 r 2  10r  2r 2  1 r 2
2
2
Criterio de la 1era Derivada
A'  10  4r  r
A'  0  10  4r  r  0
10
 10
r

 4  4 

R /  para max imizar el área de la ven tan a, r 
h
2r
10
 1.40 m;
4 
 10 

10
10
4 


r
h 5r 

 1.40 m
h5

2
4 
2
4 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12) Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que cinco veces el cuadrado del primero más
seis veces el cuadrado del segundo sean un mínimo.
Función Objetivo  Suma  5 x 2  6 y 2
min imizar la suma
Fórmula de Ayuda  x  y  44  y  44  x

Función objetivo mod ificada


S  5 x 2  644  x   5 x 2  6 1,936  88 x  x 2  5 x 2  11,616  528 x  6 x 2  11x 2  528 x  11,616
2
Criterio de la 1era Derivada
S'  22 x  528
S'  0  22 x  528  0  x  24

R /  para min imizar la suma, x  24; y  44  x  44  24  20
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13) Se tiene un alambre de 100cm de longitud y se desea dividirlo en dos fragmentos para formar con
uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determine la longitud de cada uno de los dos
fragmentos para que la suma de las áreas de ambas figuras sea mínima.
Función Objetivo  A  círculo  cuadrado
min imizar el área de ambas figuras 
A  r 2  a2
Fórmula de Ayuda  Perímetro  perímetro círculo  perímetro cuadrado
100  2r  4 a
100  2r
a
4
25  1 r  a
2

Función objetivo mod ificada


2
A  r 2  25  1 r  r 2  625  25r  1  2r 2
4
2
Criterio de la 1era Derivada
A'  2r  25  1  2r
2
A'  0  2r  25  1  2r  0
2
2
1
  25
r 2 
2
25
 7cm
r
2  1  2
2



R /  fragmento para circulo  2    r  2    7  43.99cm
fragmento para cuadrado  a  25  1 r
2
a  25  0.5    7  14.0044 cm
perimetro  4  a
 56.01cm

verificaci on  43.99  56.01  100cm
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14) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P
situado a 500Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las
ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/hr., mientras que por el desierto la
velocidad es de 60 Km/hr. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las
ciudades A y B es de 300Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor
tiempo posible.
Función Objetivo  t  t recorrido  t recorrido
carretera
desierto
min imizar
tiempo de recorrido 
Fórmulas de Ayuda  AB  500 2  300 2  400
MB  x
AM  400  x
MP 
x 2  300 2 
x 2  90,000
Vd td
t
V

P
Función objetivo mod ificada
t  t recorrido carretera  t recorrido desierto
500Km
300Km
2
x  90,000
60
400  x   160 x 2  90,000
1
100
Criterio de la 1era Derivada
t
400  x

100

A


 1  1  1 x 2  90,000
t'  1
60
2
100
t' 
1
2
M
B
 2x
 60 x 2  90,000  100 x
1
x


100 60 x 2  90,000
100  60 x 2  90,000
t'  0  60 x 2  90,000  100 x  0
100 x  60 x 2  90,000
5x 2
  3 x 2  90,000 



25 x 2  9 x 2  90,000
2

 225
x   810,000
16

R /  x  225m; por lo tan to debera recorrer 400  225  175m en carretera y
2252  90,000  375m a traves del desierto para min imizar el tiempo de recorrido.
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2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio
Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada
Optimización de Funciones
(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial)
Respuesta de todos los ejercicios v2.0
1.-) R/=> a.-) x = (2/3)a
b.-) x = (2/3)a
8.-) R/=> x = 61/2 m; y = 31/2 m
9.-) R/=> x = y = 0.707m
2.-) R/=> θ = 60º
10.-) R/=> 8:09 am
3.-) R/=> r = 5.42cm; h = 10.84cm
11.-) R/=> r = h = 1.40m
4.-) R/=> x = 5.00cm; y = 15/2cm
12.-) R/=> x = 24, y = 20
5.-) R/=> x = 3.00m, y = 3.00m,
C = $1,470.00
13.-) R/=> Circulo = 43.99cm,
Cuadrado = 56.01cm
6.-) R/=> x = 10.00cm
7.-) R/=> x = 5.00cm; y = 10.00cm
14.-) R/=> 175 m. en carretera y 375m a través
del desierto.
Bibliografía Utilizada en la Selección de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
Santiago de Chile.
11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de Honduras
(UNAH). Tegucigalpa, Honduras.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de
Venezuela.
13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de
Chile, Chile.
14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
15. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Valencia.
Valencia, España.
16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”.
República Bolivariana de Venezuela.
JUCELO1209® D.R.2015
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