TEOREMA FUNDAMENTAL DE DUALIDAD

TEOREMA FUNDAMENTAL DE DUALIDAD
En un par de problemas primal-dual, si el primal o el dual tienen solución óptima entonces el otro
también, y el valor de la función objetivo optimal es el mismo para ambos.
Demostración:
Sea el primal Min z(x)=Cx
y su dual Max w()=b
s.a.: Ax=b
s.a.: A≤C
x≥0
 SRS
donde A es mxn, supongamos que tiene solución óptima, por lo cual el problema tiene base óptima,
supongamos que la solución básica óptima es XB=(x1,x2,............,xm) y sea B la base asociada a dicha
solución y sea N la matriz de orden mx(n-m) asociada a las variables no básicas XN=(xm+1,.......,xn)
entonces el problema puede ser representado de la siguiente forma en su tabla original:
XB -z
XN
b
B
0
N
b
CB
1
CN
Y su tabla óptima de la siguiente forma:
V.B. XB -z
XB
I
0
0
XN
B-¹N
b
B-¹b
-z
0
1 CN-CB B-¹N
-CB B-¹b
para la obtención de esta tabla óptimas se multiplicó toda la tabla inicial por la matriz:
B-¹
0
pues esta es la inversa de B
0
-CB B-¹ 1
CB 1
ya que esta es una tabla óptima se debe cumplir que:
Cj≥0 para todo j entonces CN-CB B-¹N≥0 entonces, Cj- CB B-¹Aj≥0 para todo j entonces,
CB B-¹Aj≤Cj para todo j con lo cual CB B-¹A≤C, si definimos  como CB B-¹ tendríamos entonces
que A≤C, por lo que se tendría factibilidad dual, además si el primal tiene solución óptima CB B-¹b
por el teorema fuerte de dualidad b= CB B-¹b con lo cual = CB B-¹ es la solución óptima dual.
COROLARIOS:
Si ambos problemas tienen soluciones factibles, entonces ambos tienen soluciones óptimas y el valor de
la función objetivo es el mismo. De aquí se desprenden las condiciones primales duales que son:
Cj = Cj-Aj
Aj = B-¹Aj
b= B-¹b
Es de hacer notar que las columnas de las variables básicas iniciales conforman una matriz identidad,
razón por la cual se encontrará la inversa de base óptima en las columnas asociadas a esas variables en
la tabla optimal..Igualmente si las variables básicas iniciales fueron las variables de holgura, se
encontrará al vector - como los coeficientes de costo de ellas en la tabla optimal, pues los coeficientes
de costo originales de las variables de holgura son cero y si ellas forman parte de la base inicial es
porque tienen como columnas vectores unitarios.