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Métodos de Resolución
Problema lineal de dos etapas
Dado un número finito de realizaciones de la segunda etapa y
funciones lineales, el problema se puede formular en forma
extensiva como un programa lineal determinístico equivalente.
Los métodos de resolución tienen en cuenta la estructura del
problema para ser eficientes.
El método más usado se basa en una descomposición o
aproximación lineal externa (cortes) de la función de costo del
recurso: método L.
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Forma extensiva
Se asume que ξ tiene soporte finito, con realizaciones
ξk=(qk,hk,Tk) y distribución de probabilidad pk con k = 1, ..., K.
El problema en forma extensiva (EF), donde a cada realización
se asocia la decisión de segunda etapa yk , es
K
min cT x + ∑ pk qkT yk
k =1
s.a.
Ax = b,
Tk x + Wyk = hk , k = 1,K, K ,
x ≥ 0, yk ≥ 0, k = 1,K, K .
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1
Resolución de problemas lineales con
muchas variables y restricciones
Generación retrasada de columnas, se genera una columna de
la matriz de restricciones luego que se ha determinado que es
beneficioso que ingrese a la base (determinación de costos
reducidos negativos). [Descomposición de Dantzig-Wolfe,
1960]
Generación retrasada de restricciones (plano cortante); en el
cual el conjunto factible es aproximado usando solo un
subconjunto de las restricciones, se adicionan más
restricciones si la solución resultante no es factible.
[Descomposición de Benders, 1962]
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Forma Equivalente Determinista o
Proyectada
Dada una decisión de primer etapa x, las decisiones de segunda
etapa y pueden obtenerse resolviendo para cada k=1,...,K, el
problema
T
Q( x, ξ k ) = min y qk y
s.a.
Wy = hk − Tk x,
y ≥ 0,
donde Q(x,ξk) = ∞ si el problema es no factible.
Entonces, el problema general (maestro) es
K
min cT x + ∑ pk Q( x, ξ k )
k =1
s.a.
Ax = b,
x ≥ 0.
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2
Dualización del Problema
de Segunda Etapa
Dado el problema k-ésimo de segunda etapa (primal)
min y
qkT y
s.a.
Wy = hk − Tk x,
y ≥ 0,
su problema dual es
maxπ
s.a.
π T (hk − Tk x)
π TW ≤ qkT .
La región factible Pk = {π | π T W ≤ qkT} se asume no vacía.
Sean σi(k), i(k) =1,...,Ik y ρj(k), j(k)=1,...,Jk los puntos extremos y
el conjunto completo de rayos extremos de Pk , respectivamente.
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Condiciones de factibilidad y optimalidad
Dado que Pk no es vacío, el problema dual tiene solución
óptima y Q(x,ξk) es finito, o el óptimo es infinito y el problema
primal es no factible.
Se cumple Q(x,ξk) < ∞, sii
(1)
(ρj(k))T(hk – Tkx) ≤ 0, ∀ j(k).
Cuando Q(x,ξk) es finito, la solución óptima tiene lugar en un
punto extremo de Pk , en particular
Q(x,ξk) = maxi(k) =1,...,Ik (σi(k))T(hk – Tkx).
Equivalentemente, Q(x,ξk) es el menor valor de zk tal que
(σi(k))T(hk – Tkx) ≤ zk , ∀ i(k).
(2)
(1) y (2) permiten reformular el problema general.
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3
Reformulación con Condiciones
Incorporando las condiciones (1) y (2) en el problema maestro
se tiene una reformulación del problema general
K
min x , z
c T x + ∑ pk z k
s.a.
Ax = b,
k =1
( ρ j ( k ) )T (hk − Tk x ) ≤ 0, ∀j (k ), k
(σ i ( k ) )T (hk − Tk x ) ≤ zk , ∀i (k ), k
x ≥ 0.
Esta formulación reduce la cantidad de variables a expensas de
incorporar restricciones. En la resolución solo es necesario
incluir restricciones que no verifiquen la solución que se este
evaluando.
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Combinación de las condiciones de
optimalidad según realizaciones (1)
Los siguientes problemas son equivalentes en términos de
solución
min cT x + Q ( x )
min
cT x + θ
x ,θ
x ∈ K1 ∩ K 2 ,
s.a.
s.a.
Q( x) ≤ θ
x ∈ K1 ∩ K 2 .
donde Q ( x) = ∑ k =1 pk Q( x,ξ k ).
Dada una decisión de primer etapa xv, sea πkv la solución al
problema dual de segunda etapa k-ésimo,
K
Q( x v , ξ k ) = (π kv )T ( hk − Tk x v ) .
entonces su esperanza
K
Q ( x v ) = ∑ pk (π kv )T (hk − Tk x v ) .
k =1
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Combinación de las condiciones de
optimalidad según realizaciones (2)
Debido a la convexidad de Q(x,ξk) se cumple,
Q( x,ξ k ) ≥ (π kv )T ( hk − Tk x)
K
y su esperanza es
Q ( x) ≥ ∑ k =1 pk (π kv )T ( hk − Tk x) .
La restricción Q(x) ≤ θ implica que se debe cumplir
K
θ ≥ ∑ pk (π kv )T (hk − Tk x)
k =1
Si (xv,θ v) es solución óptima, entonces Q(xv) ≤ θ v.
Si Q(xv) > θ v, entonces es necesario establecer una restricción
K
θ ≥ ∑ pk (π kv )T (hk − Tk x v )
k =1
para imponer Q(x) ≤ θ .
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Método de resolución L (1)
Resuelve el problema general mediante una linearización
exterior de Q(x) que adiciona cortes de factibilidad, y cortes de
optimalidad combinados según realizaciones.
Paso 0. Inicializar v := r := s := 0.
Paso 1. Establecer v := v + 1. Resolver el problema maestro
min x ,θ
s.a.
z = cT x + θ
Ax = b,
Dl x ≥ d l , l = 1,K, r
El x + θ ≥ el , l = 1,K, s
x ≥ 0.
Sea (xv,θ v) su solución óptima. Si s = 0 entonces θ v := – ∞.
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Método de resolución L (2)
Paso 2.
Para k = 1,..., K, resolver el problema de factibilidad
min y , v + , v −
u = eT v + + eT v −
s.a.
Wy + Iv + − Iv − = hk − Tk x v ,
y, v + , v − ≥ 0,
donde eT=(1,...,1), hasta que para algún k, el valor óptimo u > 0.
En dicho caso, sea λv la solución dual asociada, se definen
Dr +1 := (λv)T Tk y dr +1 := (λv)T hk.
Agregar la restricción Dr +1x ≥ dr +1 (corte de factibilidad) al
problema maestro, establecer r := r +1 e ir al Paso 1.
Si para todo k, u = 0, ir al Paso 3.
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Método de resolución L (3)
Paso 3.
Para k = 1,..., K, resolver el problema
min y
qkT y
s.a.
Wy = hk − Tk x v ,
y ≥ 0.
Sea πkv la solución dual óptima del problema k.
Se definen
K
K
Es +1 := ∑ k =1 pk (π kv )T Tk y es +1 := ∑ k =1 pk (π kv )T hk
Si es+1 – Es+1xv ≤ θ v, entonces xv es la solución óptima, FIN.
En otro caso, agregar la restricción Es+1x + θ ≥ es+1 (corte de
optim.) al problema maestro, establecer s := s +1 e ir al Paso 1.
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Evolución del método L
θ
Q(x)
cx+θ
x1
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Método de Cortes Múltiples (1)
Resuelve el problema general mediante una linearización
exterior de Q(x) que adiciona cortes de factibilidad, y cortes de
optimalidad para cada realización, k=1,...,K.
Paso 0. Inicializar v := r := 0 y s(k) := 0, k =1,...,K.
Paso 1. Establecer v := v + 1. Resolver el problema maestro
K
min x ,θ k
z = c T x + ∑θ k
k =1
Ax = b,
Dl x ≥ d l , l = 1,K, r
El ( k ) x + θ k ≥ el ( k ) , l (k ) = 1,K, s( k ), k = 1,K, K ,
x ≥ 0.
v
v
Sea (x , θ1 ,...,θKv) su solución óptima. Si s(k) = 0, k =1,...,K,
entonces θkv := – ∞ y no se lo considera en el problema.
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s.a.
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Método de Cortes Múltiples (2)
Paso 2.
Para k = 1,..., K, resolver el problema de factibilidad
min y , v + , v −
u = eT v + + eT v −
s.a.
Wy + Iv + − Iv − = hk − Tk x v ,
y, v + , v − ≥ 0,
donde eT=(1,...,1), hasta que para algún k, el valor óptimo u > 0.
En dicho caso, sea λv la solución dual asociada, se definen
Dr+1 := (λv)TTk y dr+1 := (λv)Thk.
Agregar la restricción Dr+1x ≥ dr+1 (corte de factibilidad) al
problema maestro, establecer r := r +1 e ir al Paso 1.
Si para todo k, u = 0, ir al Paso 3.
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Método de Cortes Múltiples (3)
Paso 3.
Para k = 1,..., K, resolver el problema
min y
qkT y
s.a.
Wy = hk − Tk x v ,
y ≥ 0.
Sea πkv la solución dual óptima del problema k.
Se definen Es ( k ) +1 := pk (π kv )T Tk y es ( k ) +1 := pk (π kv )T hk
Si es(k)+1 – Es(k)+1xv > θkv, agregar la restricc. Es(k)+1x +θk ≥ es(k)+1
(corte de optimalidad) y establecer s(k) := s(k) + 1.
Si es(k)+1 – Es(k)+1xv ≤ θkv, ∀ k = 1,..., K, entonces xv es la
solución óptima, FIN; en otro caso ir al Paso 1.
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Resolución Recurso Simple (1)
Cuando W = [I, –I], donde separando según componentes y = (y+, y–)
y q = (q+, q–); entonces, los valores óptimos de yi+(ω) e yi–(ω) son
determinados por el signo de hi(ω) –Ti.(ω)x cuando qi = qi+ + qi– ≥ 0
con probabilidad uno.
Dados q y T fijos, las propiedades de separabilidad de Q(x) quedan
Q ( x ) = ∑i =1 Qi ( x ) donde Qi ( x ) = Eω [Q i ( x, ξ (ω))], y
m
Q i ( x, ξ(ω)) = qi+ (hi (ω) − Ti ⋅ x) + + qi− (−hi (ω) + Ti ⋅ x ) +
Estableciendo χi = Ti.x y Ψ(χ) = Q(x), el problema queda
min cT x + Ψ ( χ )
s.a. Ax = b
Tx = χ
x ≥ 0.
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Resolución Recurso Simple (2)
Si hi tiene función de distribución asociada Fi entonces
Ψ(χ )
= ∑i =1 Ψi ( χ i )
m
Ψi ( χ i ) = ∫ Ψi ( χ i ,ξ i )dF (hi )
hi
+
i
=q
∫χ(h − χ )dF (h ) − q ∫χ(h − χ )dF (h )
i
hi >
i
i
−
i
i
hi ≤
i
= qi+ hi − qi+ χ i − qi ∫
hi ≤ χ i
i
i
i
(hi − χ i )dFi (hi ).
Si Ξ es acotado tal que αi < hi ≤ βi, para todo i, entonces
qi+ hi − qi+ χ i
si χ i ≤ α i
 +
(hi − χ i )dFi (hi ) si α i < χ i ≤ β i
Ψi ( χ i ) = qi hi − qi+ χ i − qi ∫
hi ≤ χ i
 −
−
si χ i ≥ β i
− qi hi + qi χ i
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Relación entre Ψi(χi) y Ψi(χi,hi)
Ψi ( χ i )
Ψi ( χ i , hi )
αi
χi
βi
hi
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Resolución Recurso Simple (3)
Se asume que cada hi puede tomar valores hij, j =1,...,Ki tales que
hi1 < hi2 <...< hiK, con probabilidad pij.
Se divide χi en valores χij correspondientes a cada intervalo [hij, hij+1]
tales que
Ki
χ i = ∑ j = 0 χ ij , χ i 0 ≤ hi1 , 0 ≤ χ ij ≤ hij +1 − hij , 0 ≤ χ iK .
i
Los coeficientes del objetivo, que corresponden a la pendiente de
Ψ(χi) en cada uno de estos intervalos, son
di 0 = −qi+ , d ij = −qi+ + qi ∑l =1 pil , j = 1,K, K i .
j
El problema original es
equivalente a problema
(valor y solución óptima)
min cT x + ∑i =1 (qi+ hi + ∑ j =i 0 dij χ ij )
s.a. Ax = b
Tx = χ
m
K
x ≥ 0.
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