Presentación de PowerPoint - MSc. Julio Vargas

Universidad de Managua
Al más alto nivel
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Profesor:
MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
Estudiantes:
F.C.E.A
Año Académico:
III Cuatrimestre 2014
Curso de Programación
Unidad IV Lineal
Tema
Dualidad
y Análisis deySensibilidad
Análisis
de Sensibilidad
Dualidad
Objetivos:
Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de:
 Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el
Primal.
 Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual.
 Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex
Dual.
 Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL.
 Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya sea
que disminuyen o aumenten. Que ocurre con la función objetivo?
Análisis de sensibilidad
Introducción.
• EL objetivo fundamental del Análisis de Sensibilidad es
identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los
parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie
la solución óptima). Para ciertos parámetros que no están
clasificados como sensibles, también puede resultar de gran
utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro
para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de
valores se conoce como intervalo permisible para
permanecer óptimo).
Análisis de sensibilidad
Introducción.
•En algunos casos, cambiar el valor de un parámetro puede
afectar la factibilidad de la solución BF básica factible)
óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo
de valores para el que la solución BF óptima (con los valores
ajustados de las variables básicas) seguirá siendo factible.
(Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para
permanecer factible).
• El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles
cambios en la solución óptima disponible como resultado de
hacer cambios en el modelo original.
Variaciones que podemos realizar en el modelo general:
Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes
tipos de cambios en el modelo original como:
1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij
2. Cambios en los recursos, bi
3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij
4. Adición de una nueva variable y Xi
5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi
WinQSB
POM-QM
EJEMEPLO DE APLICACIÓN DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Un fabricante produce tres componentes para venderlos a
compañías de refrigeración. Los componentes se procesan en
dos máquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos
(en minutos) requeridos por cada componente en cada
máquina se indican en la tabla.
La conformadora está disponible por 120 horas y la
ensambladora está disponible por 110 horas. No se pueden
vender más de 200 unidades del componente 3, pero se
pueden vender hasta 1,000 unidades de los otros dos
componentes.
De hecho la fábrica tiene órdenes de venta por cumplir del
componente 1 de 600 unidades. Las utilidades por la venta de cada
componente 1, 2 y 3 son, respectivamente $8, $6 y $9. Con el modelo
lineal formulado para este problema y resuelto con POM-QM, conteste
las siguientes preguntas:
a. ¿Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?
b. ¿Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90 horas?
c. Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora,
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el fabricante?
d. ¿Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del
componente 1 a 800 unidades? ¿Y si se incrementa a 1200
unidades?
e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su
utilidad a $4, ¿Valdría la pena hacerlo?
Solución:
1. Formularemos el problema matemático lineal en la forma
estándar:
a. Comenzamos, denominando las variables de la función objetivo.
X1: número de unidades del componente 1 producidas.
X2: número de unidades del componente 2 producidas.
X3: número de unidades del componente 3 producidas.
b. Ahora, como sabemos las utilidades por cada unidad de los tres
componentes que producen, construimos la función objetivo.
Max Z = 8X1+ 6X2+ 9X3
c. Construimos las restricciones del problema lineal; para lo cual
conocemos los tiempos en minutos que cada componente requiere en
cada una de las dos máquinas para su construcción, así como los
tiempos disponibles por cada máquina.
6X1 +
3X2 + 4X3
≤
120x60 (minutos disponibles en la máquina
conformadora)
4X1 +
5X2 + 2X3
≤
110x60 (minutos disponibles en la máquina
ensambladora)
X1 ≥ 600
X1 + X2 ≤ 1000
(tiene órdenes de venta de 600 unidades)
(se pueden vender hasta 1000 unidades del
componente 1 y 2)
X3 ≤200
(no se pueden vender más 200 unidades del
componente 3)
X2, X3≥ 0
(no negatividad)
d. Modelo completo en la forma estándar
Max Z = 8X1+ 6X2+ 9X3
Sujeto a:
6X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 7200
4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 6600
X1 + X2 ≤ 1000
X1 ≥ 600
X3 ≤ 200
X2, X3≥ 0
2. Ingresamos el modelo que hemos construido en el Software
POM-QM. Seleccionamos el Módulo:Linear Programming
Responderemos las preguntas:
a. ¿Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se
fabrique?
En la tabla 3: El componente 2 (representado por la variable X2)
como vimos los resultados comentado anteriormente, ese
componente no se debe producir con la utilidad actual, por que
generaría pérdida, por cada unidad de $2. Si vemos la última
columna de la parte superior en la variable X2. Señala que aunque la
utilidad aumente en $8 aun no es atractivo producirlo, eso significa
que su utilidad debe ser superior a $8 para producirlo.
b. ¿Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90
horas?
Si la ensambladora solo contara con 90x60=5400 minutos
disponible.
Resulta que los minutos requeridos para ensamblar los 1200
componentes son 4,400 minutos
Por lo que aún sobrarían 1000 minutos. Es decir no habría ninguna
afectación al modelo óptimo actual.
c. Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora,
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el fabricante?
Para la producción de los 1200 componentes no se requieren más
horas de ensamblaje, al contrario hay un sobrante de 2200 minutos.
Por tanto los fabricantes no estarían interesados en pagar tiempo
adicional para ensamblaje.
d. ¿Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades
del componente 1 a 800 unidades? ¿Y si se incrementa a 1,200
unidades?
Si se vendieran 800 componentes de tipo 1, no pasaría nada, el
óptimo seguiría siendo el mismo, ya que del componente 1 se
producen 1000.
Si se incrementaran a 1200 las ventas del componente 1; cambia la
solución óptima por completo ya que X1=1200 y X2=0; X3=0 y la
contribución total sería de $9600.
e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3
reduciendo su utilidad a $4, ¿Valdría la pena hacerlo?
Si es posible seguirlo produciendo, ya que el mínimo puede llegar a
cero y la solución seguirá siendo la misma. Por lo tanto, si valdría la
pena, solo disminuiría la utilidad o contribución total a $8000 +
$800= $8800.
EJEMEPLO 2 DE APLICACIÓN DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD
La empresa Emerson S:A: se dedica a la fabricación de tres
productos; A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres
operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de
ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de
producción en cada operación.
El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los
siguientes costos e ingresos para la compañía.
Datos de producción para la compañía (minutos por producto)
Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán
producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8
horas de trabajo del día. Adicionalmente responda las siguientes
preguntas:
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en
donde la base actual permanece
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual
permanece?
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo
extra y por qué?
4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el
departamento de inspección, cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se
programan 50 minutos en el departamento de formado?
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30
minutos de mantenimiento en el departamento de acabado?
7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un
25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de
$5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda,
en qué departamento y cuánto tiempo extra puede
programarse sin cambiar la mezcla actual?
9. ¿Qué pasearía si se programara la producción de 10 unidades
del producto A?
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos, el
producto A cambiara sus tiempos de fabricación en: a1= (2,3,2) a
a1 = (1,2,2)
11. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo
producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T,
¿Qué recomendaría?
Solución:
Considerando la información, se planteó el modelo de programación
lineal, como los tiempos de procesos están dados en minutos,
convertiremos las 8 horas de trabajo también en minutos.
Definimos las variables de decisión como sigue:
X1: número de productos tipo A.
X2: número de productos tipo B.
X3: número de productos tipo C.
Al igual que en el ejemplo 1 ingresamos los datos en el módulo activo
(linear programming)
Tal como se muestra en la imagen siguiente. Debemos recordar que el
software POM-QM asume que las variables son no negativas.
Ahora procedemos ha resolver el problema haciendo clic en botón
Solve.
Se nos mostrará la tabla siguiente:
Puedo observarse que la solución óptima se obtiene para: X = 0;
X =48 ; X =96. Para un valor óptimo de Z=20*0 + 48*35 + 96*45 = 0 +
1,680 + 4320= $6,000.00 de utilidades.
1
2
3
Respuestas a las preguntas:
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas en
donde la base actual permanece.
X2 está entre 22.5 y 135.00, X3 está entre 32.5 y 70, la variable
X1 no es básica, es decir no se recomienda producir del
producto A.
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual
permanece?
Para formación se puede tener entre 240 y 1440 minutos.
Para inspección se puede tener entre 288 y M (ilimitado) minutos.
Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar
tiempo extra y por qué?
En acabado, por ejemplo con 2 horas más en acabado se producirían
132 unidades del producto C, actualmente son 96. Con una nueva
utilidad de 7,200 contra 6,000 que actualmente se obtienen. El
intervalo lo permite con una costo por minuto de U$10. No obstante
también se requerirían horas de formación, dado que no hay y son
requeridas. La horas extras estarían orientadas para el producto C
por ser el más rentable.
4. ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el
departamento de inspección, cambiaría la función objetivo? No
cambiaría la función objetivo, la cual permanecerá igual porque no
se afectaría la producción. Los 20 minutos que darían como
sobrantes, es decir no se aprovecharían.
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se
programan 50 minutos en el departamento de formado? La utilidad
óptima seguiría siendo la misma que la actual, no habría incremento
en la producción, y los 50 minutos no serían utilizados.
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30
minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? Si se
programan 30 minutos de acabado solo contaríamos con 450 minutos
para este proceso, lo que afectaría la producción de la siguiente
manera: se producirían 51 unidades tipo B y 87 unidades tipo C, para
una utilidad óptima de 5,700.00, teniéndose una pérdida de utilidad
de U$ 300 por el tiempo perdido en mantenimiento.
7. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un
25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo? Actualmente los
costos de producción del producto B es U$50.00 con 25% menos los
costos de producción serán de U$ 37.50. Por lo tanto la utilidad por
unidad producida será de (U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida
en U$100.00 por lo que la utilidad será de U$ 47.50. Esto afectará la
función objetivo, la que lógicamente aumentará su óptimo a
U$6,600.00 produciendo los mismos productos.
8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de
$5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en
qué departamento y cuánto tiempo extra puede programarse sin
cambiar la mezcla actual?
El modelo recomienda de acuerdo a los intervalos que se pueden
contratar minutos extras en inspección y acabado, siendo el acabado
el de mayor costo. Si hay una disminución de costo. Se podría
aumentar al máximo recomendado de 8 horas extras o sea 480
minutos en acabado para un total de 960 minutos en acabado. Esto
permitirá óptimo de U$ 10,800.00 con una producción concentrada
en el producto C. que es de mayor rentabilidad.
9. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del
producto A?
Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se
reducirían a U$ 5,925.00 o sea se tendría una pérdida de U$75.00 con
respecto a la utilidad actual.
10. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto
A cambiara sus tiempos de fabricación en
a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)
Seguiría siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca
utilidad en comparación con los productos B y C. de manera que se
seguiría produciendo la misma cantidad de B y C y por lo tanto
obtendríamos el mismo óptimo actual.
11. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo
producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3), ¿Qué
recomendaría?
Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo
producto según el análisis de optimilidad con los parámetros del
nuevo producto se vuelve atractivo producirlo, ya que la nueva
utilidad neta sería de U$ 9,600.00 con tiempo de procesamiento
menor. Esto implica ahorro en maquinaria y horas-hombres.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Teoría de dualidad:
• La teoría de dualidad parte de que asociado a todo
problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual.
• Las relaciones entre el problema dual y el problema
original o (primal) son en extremos útiles en una gran
variedad de situaciones.
• Uno de los aspectos más importantes de la teoría de
dualidad es la interpretación y realización del análisis de
sensibilidad.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su
problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.
Max
n
Z  cjxj
j 1
sujeto
n
a
j 1
ij
a:
x j  bi
xj  0
Min
m
W   bi yi
i 1
sujeto
n
a
j 1
ij
a:
yi  c j
yi  0
El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el
problema primal, pero en diferentes lugares.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y
del problema dual.
Max
Min W  yb
Z  cx
sujeto
a:
sujeto
Ax  b
yA  c
x0
y0
a:
Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Dualidad y análisis de sensibilidad
La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta
calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres.
Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la
planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el
vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha
decidido reorganizar la línea de producción de la compañía.
Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará
libre una parte de la capacidad de producción para
emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen
ventas potenciales grandes:
Dualidad y análisis de sensibilidad
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de
aluminio.
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4
pies x 6.
El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas
1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja
en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha
concluido que la compañía pede vender todos los productos
que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como
ambos productos competirán por la misma capacidad de
producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de
productos que sería mas rentable.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Se conoce que el número de horas disponible en la
semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos
productos son las siguientes:
Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18
horas.
Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades
totales.
En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en
horas en cada planta para producir un lote de cada
producto.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Tiempo de producción
por lote en hrs
Tiempo
disponible
semanal
Planta
Producto 1
Producto 2
(horas)
1
1
0
4
2
0
2
12
3
3
2
18
Ganancia x lote
$3000
$5000
Dualidad y análisis de sensibilidad
X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios)
X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas)
Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir
puertas y ventas de vidrio.
Es un problema típico de mezcla de programación lineal
de maximización.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z  3 x1  5 x2
sujeta
a:
Min
W  4 y1  12 y 2  18 y3
sujeta
a:
x1  4
y1  3 y3  3
2 x2  12
2 y 2  2 y3  5
3 x1  2 x2  18
y1  0
x1  0
y2  0
x2  0
y3  0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y
a la derecha el problema dual en forma algebraica.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
Max
Z  3
sujeta
1
0


3
x 
5 1 
 x2 
a:
0
 4 
x
 1
12 
2



 x


2 


2

18

 x1 
0 

x 
0 
 
 2
Min
W   y1
sujeta
 y1
y2
 y1
y2
y2
4

y3 
12




18


a:
1
y3 
0

3
0
2
  3 5
2

y3   0
0
0
A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a
la derecha el problema dual en forma matricial.
Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36
Z= 0*4 + 1.5*12 + 1*18= 36
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36
Z=2*3 + 6*5=6+30 = 36
Esto es se debe producir 40 puertas y 120 ventas para utilidad
máxima de U$36,000.
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una
unidad para cada variable no básica.
La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las
variables de holgura.
La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a
pagar por una unidad adicional de cada recurso.
Problema
primal
Problema
Dual
Comparando solución del Primal con el
Dual
Dualidad y análisis de sensibilidad
MAX Z= 3X1 + 4X2 – 2X3
Variables duales
S. a: 4X1 – 12X2 + 3X3 < 12
Y1
–2X1 + 3X2 + X3 < 6
Y2
–5X1 +
Y3
X2 – 6X3 < -40
3X1 – 4X2 – 2X3 < 10
X1 > 0,
X2 < 0,
X3
Y4
no restringida en signo
Min W = 12Y1 + 6Y2 – 40Y3 + 10Y4
S. a:
4Y1 – 2Y2 – 5Y3 + 3Y4 >= 3
–12Y1 + 3Y2 +
3Y1 +
Y1 > 0,
Y3 - 4Y4 >= 4
Y2 – 6Y3 – 2Y4 >= -2
Y2 < 0,
Y3 > 0,
Y4
no restringida en signo