INTRODUCION La asignación de probabilidades

INTRODUCION
La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos
gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de
exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este
evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier
aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para
determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.
El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución
óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.
Definiciones generales del Análisis de sensibilidad
Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que
entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.
f j = efecto neto
Ejemplo: Realizar un análisis de sensibilidad para el siguiente modelo.
Maximizar: Xo = 10X1 + 15X2 + 4X3 + 2X4
sujeto a:
"
10X1 + 20X2 + 2X3 + 3X4 <= 4,000
5X1 + 5X2 + 5X3 + 4X4 <= 1500
4X1 + 2X2 + 6X3 + 6X4 <= 800
X1, X2, X3, X4 >= 0
Solución óptima del problema.
Base Xo
X6
X7
Xo
1
0
5/6
X2
0
0
-1/6
X6
0
1
-5/6
X1
0
0
1/3
X1
X2
Sol.
0
0
3,333.33
0
1
400/3
0
0
500/3
1
0
400/3
X3
7/3
X4
5
X5
2/3
-13/5 -12/15
1/15
-1/3
-1/6
-3/2
29/15 19/10 -1/30
Cambios en los coeficientes de la función objetivo.
El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en
incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como
la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización.
Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una
variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son
muy diferentes.
Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.
Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de
una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la
inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo
haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio
mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.
(1) cuando Cj’ < Cj (maximización)
en la solución óptima actual
f j = Cj - Zj <= 0
==>
f j = Cj’ - Zj < 0
Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que
cuando el Cj’ < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no
se alterara, lo mismo en minimización con Cj’ > Cj.
(2) cuando Cj’ > Cj (maximización)
Es claro que solamente cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica
se incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de
que se altere la inmejorabilidad y por ende la optimidad actual.
fj = Cj - Zj <= 0
==> Cj’ <= Cj -fj
o alternativamente, cuando
Cj’ <= Cj + I fj I
Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece
óptima; de lo contrario, debe calcularse el f j’ el cual será positivo, e introducirse Xj
a la base para encontrar la nueva solución óptima.
Ejemplo:
Cambio en el Cj de una variable no - básica.
Para el problema dado.
a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables nobásicas , tal que la solución óptima no se altere.
b) Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4
a $5.
c) Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $2 a
$8.
a)
Cj’ <=Cj + I fi j I
C3’ <= 4 + I -7/3I <= 19/3
C4’ <=2 + I -5I <= 7
C5’ <= 0 + I -2/3I <= 2/3
C7’ <= 0 + I -5/6I = 5/6
b) Dado C3’ = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el
incremento no modifica la solución óptima actual.
C) Ya C4’ = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual
cambiará. El nuevo f4 es
f4’ = C4’ - Z4 = 8 -7 = 1
y al ser positivo, X4 debe entrar a la base.
Base
Xo
X1 X2
S3
Sol.
Xo
1
0
0
5/6
3,333.33
X2
0
0
1
1/6
400/3
-----X6
0
0
0
5/6
500/3
-----X1
0
1
0
1/3
400/3
4000/57
X3
7/3
X4
-1
-13/15 -12/15
-1/3
-3/2
29/15 19/10
S1
2/3
1/15
S2
0
0
-1/6
1
-1/30
0
-
TEORÍA DE DUALIDAD
Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una
extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maxi mizar
utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron,
por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear,
etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los
recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para
obtener un objetivo establecido.
En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le
asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de
programación dual. La solución óptima del problema de programación dual,
proporciona la siguiente información respecto del problema de programación
original:
1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o
los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.
2. La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema
original
y
viceversa.
Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema
de programación primal.
El concepto de Holgura Complementaria
Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir de otro, y se deriva
de las relaciones primo-dual, en el valor de la función objetivo
Formulación del problema dual.
El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y
sistemáticamente a partir del modelo de PL original o primal.
El problema de programación lineal bienen dado por:
Maximizar Z = C’X
sujeto a: AX <= B
X >= 0
su dual asociado es el problema de PL dado por:
Minimizar Z’ = B’W
sujeto a: AW<= C
W >= 0
De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las
cuatro reglas siguientes:
a) Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser
los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El
problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.
b) Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a
ser los coeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema dual
tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.
c) Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los
coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual.
d) Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal
pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual.
Primal
Ejemplo:
Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
sujeto a:
8X1 + 6X2 +
X3 <= 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 <= 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 <= 8
" X1, X2, X3 >=0
Dual:
Minimizar Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3
sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 >= 60
6W1 + 2W2 + 1.5W3 >= 30
W1 + 1.5W2 + 0.5W3 >= 20
" W1, W2, W3>= 0
Relación de la solución óptima del problema dual con la solución óptima del
problema primo.
La relación principal entre ellos es que tanto el problema primal como el dual
buscan el valor óptimo del sistema.
Interpretación económica del problema dual.
Precio Sombra.- Se define como la proporción con que mejora el valor de la
función objetivo a partir de la i - ésima restricción, dependiendo si se trata de
maximización tiende a aumentar y a disminuir cuando es de minimización.
La interpretación económica de la dualidad se basa directamente en la
interpretación más frecuente del problema primal ( 16 ). Interpretación del
problema dual.
Para ver cómo la interpretación del problema primal conduce a una interpretación
económica del problema dual. Notese el valor de Z como:
Z = W1b1 + W2b2 + W3b3 + ... + Wmbm
donde cada bi Wi puede interpretarse como la contribución a la ganancia por
disponer de bi unidades del recurso i.
Wi se interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i ( i =
1 , 2, . . . , m), cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para
obtener la solución primal.
ujeto a:
unidades del
m
recurso i-ésimo
Valor unitario
Ganancia
asignada
j = 1,..., n Suma
utlizados por
*
del recurso
=
a cada unidad
de
i =1
unidad de la
i-ésimo
la actividad jésima
actividad j-ésima
i - 1, ..., m
Valor unitario
* del recurso
i-ésimo
>= 0
Observaciones
Las restricciones j-ésima del dual indican que el valor total de los recursos
consumidos para elaborar una unidad de la j-ésima actividad, debe ser al menos
tan grande como la ganancia asignada a cada unidad de la actividad j-ésima.
A partir de lo visto anteriormente se puede interpretar el problema dual en los
siguientes términos:
” Dados unos recursos bi y un límite inferior para la ganancia Cj, asignada a cada
unidad de la actividad j-ésima ¿Qué valor, Wi, se debe asignar a cada unidad del
recurso i-ésimo de forma que se minimice el valor total de los recursos?.”
EXPLICACION DE LA SOLUCION PRIMAL-DUAL, DE NUESTRO EJERCICIO
DE CONSTRUCCION DE MESAS Y SILLAS CON PIEZAS GRANDES Y PIEZAS
CHICAS.
RECORDEMOS QUE NUESTRO MODELO ES:
MAX Z= $16X1+$10X2
s.a.
2X1+1X2 <= 6 Restricción de Piezas Grandes
2X1+2X2 <= 6 Restriccion de piezas Chicas
toda X1, X2 >= 0
Cambios en el modelo General
Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir difentes tipos de cambios en el
modelo original como:
Cambios en los coeficientes de la función objetivo,
cambios en los recursos,
cambios en los coeficientes tecnológicos,
adición de una nueva variable y
adición de una nueva restricción.
PARA CALCULAR LOS LIMITES SUPERIOR E INFERIOR DE LOS
COEFICIENTES Cj
DE LA FUNCION OBJETIVO SE UTILIZA EL SIGUIENTE MODELO:
C’Bk (S) = CBk + Mínimo (Fj/aij para aij<0 )
C’Bk (i) = CBk + Máximo (Fj/aij para aij >0 )
Donde:
C’Bk (S) = Limite superior de la variable básica
C’Bk (i) = Limite inferior de la variable básica
Fj = coeficiente de las variables no-básicas en la tabla óptima (renglón cj-zj)
aij = coeficientes tecnológicos de las restricciones con respecto a la base
y a las no básicas
CBk = coeficiente de la variable básica en el modelo original
PARA CALCULAR LOS LIMITES SUPERIOR E INFERIOR DEL
RECURSO SE UTILIZA EL SIGUIENTE MODELO:
Ci (s) = bi – max (X,Sbi/µSi para µSi < 0
Ci (i) = bi – min (X,Sbi/µSi para µSi > 0
Donde:
Ci (s) = Limite superior de la restricción i
Ci (i) = Limite inferior de la restricción i
bi = recurso disponible actual (modelo original)
X,Sbi = solución de las básicas de la tabla óptima
µSi = coeficientes tecnológicos de las holguras en la tabla óptima