14-11-07 A.doc

UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B/Segundo Parcial – 14/11/07
APELLIDO+NOMBRE:
1. Sea f ( x , y ) 
2
x2  y2
x
TEMA A
a) Halle D  Dom( f ) . Grafique.
b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/conexo.
x 2 ( y  1)
a) Halle, si existe, el L R para ( x , y )  (0,1)
x 4  ( y  1) 2
b) ¿Puede definir f en ( 0,1) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique.
2. Sea f ( x , y ) 
3. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g (0,0)  1 , g' x (0,0)  3 , g ' y (0,0)   3 .
Se define f ( x, y)  ln  g( x, y)
a) Determine las direcciones  tales que f ' (0,0)  6
b) ¿Existe alguna dirección  * tal que f ' * (0,0)   4 ? Justifique.
4.
a) Sea f ( x , y )  cos ( x 2  y 2 ) Justifique que: i) f  C 1 ( R 2 ) .
ii) f es diferenciable en ( 0,0) , utilizando la definición.
b) Hallar los puntos de la superficie S : z  x 2 y 3 donde el plano tangente sea paralelo al plano
 : 8 x  3 y  z  0 . Determinar las ecuaciones de tales planos.
5. Sea g ( x , y )  2 xy Razonando con gradientes, encuentre una función f ( x , y ) tal que f (0,0)  0 y las curvas de
nivel de f sean perpendiculares a las curvas de nivel de g , cada vez que dichas curvas de nivel se corten.
UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B/Segundo Parcial – 14/11/07
APELLIDO+NOMBRE:
2. Sea f ( x , y ) 
2
x2  y2
y
TEMA B
a) Halle D  Dom( f ) . Grafique.
b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/conexo.
y ( x  1) 2
a) Halle, si existe, el L R para ( x , y )  (1,0)
( x  1) 4  y 2
b) ¿Puede definir f en (1,0 ) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique.
2. Sea f ( x , y ) 
3. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g(0,0)  0 , g' x (0,0)  3 , g ' y (0,0)  3 .
Se define f ( x , y )  e
g( x, y )
a) Determine las direcciones  tales que f ' (0,0)  
6
b) ¿Existe alguna dirección  * tal que f ' * (0,0)  4 ? Justifique.
4.
a) Sea f ( x , y )  ln ( 1  x 2  y 2 ) Justifique que: i) f  C 1 ( R 2 ) .
ii) f es diferenciable en ( 0,0) , utilizando la definición.
b) Halle los puntos de la superficie S : z  x 3 y 2 donde el plano tangente sea paralelo al plano
 :  3 x  8 y  z  0 . Determine las ecuaciones de tales planos.
5. Sea g ( x , y )  2 xy Razonando con gradientes, encuentre una función f ( x , y ) tal que f (0,0)  0 y las curvas de
nivel de f sean perpendiculares a las curvas de nivel de g , cada vez que dichas curvas de nivel se corten.