12-11-07 A.doc
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UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B Segundo Parcial – 12/11/07 APELLIDO+NOMBRE+LEGAJO: TEMA A ln( x 2 y 2 ) ln( 2 x ) 1. Sea f ( x , y ) x y a) Halle D Dom( f ) . Grafique en el plano XY sombreando únicamente los puntos de D . b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/acotado. 2. Sea f ( x , y ) x 2 ( y 1) x 4 ( y 1) 2 a) Halle Dom cont ( f ) . Justifique. b) ¿Puede definirse f en ( 0,1) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique. 3. Dada f ( x , y ) 1 e xy 1 a) Determine Dom( f ) , I ( f ) y la curva de nivel que pasa por (1,1) . b) Calcule (f )(1,1) y demuestre que es perpendicular a la curva de nivel hallada en a). 4. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g(0,0) 0 , g' x (0,0) 3 , g' y (0,0) 3 . Se define f ( x, y ) e g ( x , y ) a) Encuentre el valor y la dirección de la derivada direccional máxima de f en el origen. b) ¿Existe alguna dirección * tal que f ' * (0,0) 2 ? Justifique. 5. Sea f ( x , y ) sen ( x 2 y 2 ) a) Justifique la diferenciabilidad de f en ( 0,0) por definición. b) Muestre que f C 1 ( R 2 ) . Enuncie el teorema utilizado y justifique su aplicación. c)
