Trigonometría. (Pendientes de Matemáticas I)

Tema 7
I.E.S. COMPLUTENSE
1
Trigonometría. (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo
5
y α es del cuarto cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes
2
razones trigonométricas.
1. Si cos ec α = −
[sol]
sen α = −
2
; cos α =
5
21
5
;
sec α =
5 21
21
;
tg α = −
2 21
21
;
cot g α = −
21
2
.
2. Si cos α = –0,76 y α es del segundo cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes
razones trigonométricas.
[sol] sec α = −1,32 ; sen α = 0,65 ; cos ec α = 1,54 ; tg α = −0,86 ; cot g α = −1,17 .
1
3. [S] De un ángulo α del primer cuadrante se conoce que sen α = . Calcula el valor exacto de:
3
a) tg α
b) sen (2α )
[sol]
a)
2
4 2
; b)
4
9
4. Si cot g α = −2 y sen β = 4 cos β calcula:
a) tg 2α
b) tg (α − β)
[sol] a) –4/3; b) 9/2
5. Calcula las razones del ángulo α + β sabiendo que sen α =
1
π
, con 0 < α < , y
4
2
1
π
cos β = − , con < α < π.
3
2
[sol] sen (α + β) = − 1 +
120
12
; cos (α + β) =
− 15 − 8
15 − 15 8
; tg (α + β) =
12
15 + 120
6. Si α es un ángulo del segundo cuadrante y sen α =
a) sen 2α
[sol]
a) −
b) sen
4 2
, b)
9
α
2
c) cos (π + α )
1
, calcula:
3
d) tg (π − α)
2 2
2
3+ 2 2
; c)
; d)
6
3
4
7. Sin utilizar calculadora, determina el valor numérico de la expresión:
2
1
1
sen 330o - tg 135o + 2 cos 270o – tg 240o.
5
4
6
[sol]
3 − 10 3
60
8. Calcula el valor numérico de la expresión cos
π
π 1
5π
– 2 sen2 + cosec
.
3
6
2
6
[sol] 1
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
Tema 7
I.E.S. COMPLUTENSE
2
Tipo II: Identidades. Fórmulas de adición y transformación
9. Demuestra que:
a) cos (α + β) · cos (α − β) = cos 2 α − sen 2 β
b) cos (α + β) · cos (α − β) = cos 2 β − sen 2 α
10. Comprueba las siguientes identidades:
cot g 2 α − 1
sen α cos α
tg α
a) cot g α −
b)
= tg α
=
2
2
cot g α
cos α − sen α 1 − tg 2 α
11. Comprueba la identidad:
12. ¿Es cierta la igualdad
1 − tg α 1 − sen 2α
.
=
1 + tg α
cos 2α
tg α + cos α
= sec α + tg α ?
sen α
[sol] No.
Tipo IV: Ecuaciones y sistemas trigonométricos
13. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 sen 2x = 1
b) 3 tg 2x =
3
c) 3 cos
15º + k ·180º
π k ·π
[sol] a) x = 
; b) x = +
; c)
12 2
75º + k ·180º
x
= 1,5
2
120º + k·720º
x=
600º + k·720º
d) 5 sen 4x = 0
π
; d) x = 0 + k · .
4
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
π
3
2

a) cos  x +  =
b) sen (45 o + x ) = −
2
6 2

k ·2π
180º + k ·360º

[sol] a) x =  5π
; b) x = 
270 + k ·360º
 3 + k ·2π
15. Resuelve la ecuación: cos x = sen 2x
[sol] x = 90º + k·180º; x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º (k ∈ Z ) .
16. Resuelve la ecuación: tg x = 2 cos x
[sol] x = 45º + k·360º; x = 135º + k·180º (k ∈ Z ) .
17. Resuelve la ecuación: tg 2x = −tg x
[sol] x = 0º + k·180º; x = 60º + k·180º; x = 120º + k·180º, (k ∈ Z )
18. Resuelve la ecuación: sen 2x cos x = 3 sen2 x
[sol] x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º; (k ∈ Z )
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)