Aplicaci n del m todo de s ntesis por multipolos al c lculo de radiaci n de cajas ac sticas

Universidad Austral de Chile
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Escuela de Ingeniería Acústica
Profesor Patrocinante:
José Luis Barros R.
Instituto de Acústica
Universidad Austral de Chile
Profesores Informantes:
Jorge Cárdenas M.
Alfio Yori F.
Instituto de Acústica
Universidad Austral de Chile
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE SÍNTESIS
POR MULTIPOLOS AL CÁLCULO DE RADIACIÓN
DE CAJAS ACÚSTICAS
Tesis presentada como parte de
los requisitos para optar al grado
de Licenciado en Acústica y al
Título Profesional de Ingeniero
Acústico.
PABLO CESAR HENRIQUEZ BETANCOURT
VALDIVIA – CHILE
2004
AGRADECIMIENTOS
Hoy cuando termino una etapa de mi vida, y me preparo para comenzar una nueva,
quiero agradecer a todos aquellos que de una u otra forma han participado en esto.
No puedo comenzar a dar gracias sin nombrar en primer lugar a Aquel que me dio el
privilegio de vivir: a ti Señor, que en todo momento has estado junto a mí, mostrándome
el camino y guiándome a través de él; gracias por dejarme soñar con ser un Ingeniero y
por ayudarme a lograrlo.
A mis padres, por estar siempre conmigo, porque han creído en mí y me lo han hecho
saber. A ti papá por tu ejemplo silencioso pero lleno de cariño. A ti mamá, por esas
largas noches acompañándome y velando por mi.
A ti Sandra, que has sabido soportar el tiempo y la distancia, y que has alimentado este
amor con todo tu ser. Gracias por enseñarme que juntos somos uno.
A mis hermanos, por las alegrías que han compartido conmigo durante estos largos año s
de estudio, por ser mis cómplices y sobre todo mis amigos.
A mis profesores José Luís Barros y Jorge Cárdenas, quienes sin proponérselo han
entregado mucho más de lo que han preparado para una clase.
Por último, al personal de la Escuela e Instituto de Acústica, especialmente a Victor
Cumian, por haber sido parte importante de todo este caminar universitario.
Dedicada a mis padres
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
RESUMEN
El estudio del comportamiento direccional de una fuente de ruido involucra múltiples
parámetros y por lo tanto puede ser abordado a través de diferentes métodos.
Uno de ellos es la Técnica de Simulación de Fuentes o Método de Síntesis
por
Multipolos. La idea básica de esta técnica es reemplazar el cuerpo radiante por un
sistema de fuentes simples ubicadas en el interior de las paredes del radiador. La
exactitud con la cual el campo simulado reproduce el campo original depende del grado
de correspondencia entre las condiciones simuladas y las condiciones de borde dadas.
Existen un importante número de variantes de la técnica de simulación de fuentes las
cuales pueden ser clasificadas de acuerdo al tipo, número y localización de las fuentes o
al proceso de minimización de error que se aplique.
En este estudio se utiliza el Método de Síntesis por Multipolos para caracterizar el
comportamiento de una fuente cuando es montada en una superficie con distintos
valores de impedancia.
El modelo teórico realizado a través del Método de Síntesis por Multipolos determina
que tanto la configuración como el valor de la impedancia afectan la directividad de la
fuente, en comparación con una superficie de impedancia acústica elevada.
Parte de estos resultados son verificados a través de mediciones realizadas a un bafle
ubicado en una superficie con resonadores de λ 4 . Los resultados experimentales
confirman una redistribución de la energía radiada con un incremento en el factor de
directividad.
I
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
ABSTRACT
The study of the directional behavior of a noise source involves manifold parameters and
therefore it can be boarded through different methods.
One of them is Source Simulation Technique or Multipoles
Synthesis Method. The
basic idea of this technique is to replace the radiating body by a system of simple
sources located inside the walls of the radiator. The exactitude with which the simulated
field reproduces the original field depends on the degree of correspondence between the
simulated conditions and the given boundary conditions. The re are an important number
of variants of the Source Simulation Technique which can be classified according to the
kind, number and locations of the sources or to the minimization error process which is
applied.
In this study the Multipoles synthesis method is used to characterize the behavior of a
source when it has been located in a surface with different impedance values.
The theoretical model determines that certain configurations and values of the
impedance affect the directivity of the source in comparison with a surface of high
acoustic impedance.
Parts of these theoretical results are verified through measurements made on the
radiation of a loudspeaker mounted in a surface with λ 4 resonators. The experimental
results confirm a reorientation of the radiated energy, with an increase in the directivity
factor.
II
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
CONTENIDO
RESUMEN ................................................................................................................. I
ABSTRACT ..............................................................................................................II
CONTENIDO ......................................................................................................... III
OBJETIVOS ............................................................................................................. V
1
RADIACIÓN DE SONIDO......................................................................................1
1.1 FUENTE ESFÉRICA ......................................................................................................1
1.2 COMBINACIÓN DE FUENTES SIMPLES ..........................................................................3
1.2.1 Dos fuentes simples en fase ...............................................................................3
1.2.2 Formación lineal de fuentes simples en fase .....................................................5
1.2.3 Dos fuentes simples en oposición de fase..........................................................6
1.3 DESCRIPCIÓN DE RADIACIÓN DE SONIDO ....................................................................8
1.3.1 Campo cercano y campo lejano .........................................................................8
1.3.2 Directividad y cobertura. ...................................................................................8
1.3.2.1 Factor de directividad, Q(f) ....................................................................9
1.3.2.2 Angulo de cobertura C∠ ........................................................................9
1.4 IMPEDANCIA ACÚSTICA..............................................................................................9
1.4.1 Impedancia de elementos acústicos .................................................................10
2
LA TÉCNICA DE SIMULACIÓN DE FUENTES ..............................................17
2.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA DE RADIACIÓN Y LA TSF...........................................18
2.2 VARIANTES EN LA TSF. ...........................................................................................22
2.2.1 Tipos de fuentes ...............................................................................................22
2.2.2 Posición de las fuentes: elección del área Q....................................................23
2.2.3 Número de fuentes ...........................................................................................25
3
EL PROBLEMA DE RADIACIÓN ......................................................................26
3.1 TIPO DE FUENTES .....................................................................................................26
3.2 DESCRIPCIÓN DEL CÁLCULO DE VELOCIDAD Y PRESIÓN ...........................................27
III
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
3.2.1 Análisis bidimensional.....................................................................................27
3.2.2 Desarrollo en el espacio 3D.............................................................................29
3.3 MINIMIZACIÓN DEL ERROR ......................................................................................34
3.3.1 Aproximación por mínimos cuadrados............................................................34
3.3.2 Comparación entre u y v ..................................................................................36
3.4 LA IMPEDANCIA ACÚSTICA EN EL PROBLEMA DE RADIACIÓN ..................................37
4
RESULTADOS ........................................................................................................41
4.1 DESCRIPCIÓN GENERAL ...........................................................................................41
4.2 GEOMETRÍA DEL PROBLEMA ....................................................................................42
4.3 PROGRAMACIÓN Y SIMULA CIÓN ..............................................................................43
4.3.1 Modelo matemático .........................................................................................44
4.3.2 Parámetros contemplados ................................................................................46
4.4 RESULTADOS GRÁFICOS ...........................................................................................48
4.5 MEDICIONES DE FUENTE SONORA REAL ...................................................................64
4.5.2 Materiales y montaje........................................................................................64
5
CONCLUSIONES ...................................................................................................74
APÉNDICE A ..........................................................................................................77
APÉNDICE B ..........................................................................................................82
APÉNDICE C ..........................................................................................................88
BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................98
IV
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
OBJETIVOS
Objetivo General
Aplicar el Método de Síntesis por Multipolos en el estudio y cálculo de la radiación
de una caja acústica.
Objetivos Específicos
- Conocer y analizar las condiciones y parámetros que garantizan que la Técnica de
Simulación de Fuentes pueda ser aplicada en el estudio de la radiación de cuerpos.
- Verificar el papel que juega la distribución y el valor Impedancia Acústica de las
superficies alrededor de una fuente, en la manera en la cual dicha fuente radia hacia
el medio.
- Estudiar la posibilidad de modificar la forma del patrón de radiación de un cuerpo
(especialmente en bajas frecuencias), mediante la modificación de la Impedancia
Acústica en la superficie que lo rodea.
- Comprobar experimentalmente, mediante mediciones con una fuente real de ruido,
los resultados teóricos obtenidos a través del Método de Síntesis por Multipolos.
V
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
1 RADIACIÓN DE S ONIDO
Con el fin de conocer de mejor manera el comportamiento de una fuente sonora, es
necesario conocer, además de otras propiedades, sus características direccionales para
todas las frecuencias de interés. Algunas fuentes son no direccionales, lo que equivale a
decir que radian el sonido igualmente en todas las direcciones, y como tales se
denominan radiadores esféricos. Otras pueden ser altamente direccionales, esto a causa
de que su tamaño es inherentemente grande en comparación con la longitud de onda, o a
causa de un diseño especial.
El radiador de sonido más elemental es una fuente esférica cuyo radio es pequeño en
comparación con un sexto de la longitud de onda. Este radiador recibe el nombre de
fuente puntual. Sus propiedades se especifican por la magnitud de la velocidad de su
superficie y por su fase en relación con cierta referencia. Fuentes mas complicadas,
como un radiador plano o curvo, pueden considerarse analíticamente como compuestas
por una superposición de fuentes puntuales, cada una con una velocidad y fase propias.
Una consideración de particular interés en el diseño de altavoces es la de sus
características direccionales. El diagrama direccional de un transductor utilizado para la
emisión o la recepción de sonido constituye una descripción, presentada en forma
gráfica, de la respuesta del transductor en función de la dirección de la onda transmitida
o incidente, en un plano y una frecuencia especificados.
1.1 Fuente esférica
La fuente esférica es la de más simple consideración, por cuanto su radiación es
uniforme en todas las direcciones. La presión sonora en un punto que esta a la distancia r
en una dirección cualquiera del centro de una fuente esférica de radio cualquiera en el
espacio libre es
1
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
p( r , t ) =
2 A + j( wt − kr )
e
r
(1-1)
donde A+ es la magnitud de la presión sonora eficaz a la unidad de distancia del centro
de la esfera.
La Figura 1-1 presenta el diagrama direccional de una fuente esférica, correspondiente a
un plano que pasa por el centro de la esfera. Es posible observar que se trata de una
fuente no direccional.
Figura 1-1
Diagrama direccional de una fuente esférica, correspondiente al
plano que pas a por el centro de la fuente
En el caso de una fuente muy pequeña, cuyo radio a es pequeño en comparación con un
sexto de la longitud de onda 1 (es decir ka << 1), la velocidad en la superficie de la esfera
es
1
BERANEK, L. “Acústica”. p. 97.
2
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
u (a , t ) ≡
2A+
c
e j (ω t −ka )
ρ0ca j 2π fa
(1-2)
Aquellas fuentes para las cuales es vá lida esta relación se denominan fuentes simples o
puntuales, monopolos o radiadores de orden cero.
1.2 Combinación de fuentes simples
Los principios básicos que gobiernan la característica direccional de un altavoz pueden
estudiarse muy bien, como ya se mencionó anteriormente, a partir de las combinaciones
de fuentes simples. El método es similar al que se utiliza en otras disciplinas, y consiste
en sumar, vectorialmente, en el punto deseado del espacio, las presiones sonoras que
llegan a este desde las distintas fuentes simples.
1.2.1
Dos fuentes simples en fase
La situación geométrica que describe a dos fuentes simples en fase se presenta en la
Figura 1-2. Se supone que la distancia r desde las dos fuentes puntuales al punto A, en
que se mide la presión sonora p, es grande en comparación con la separación b entre las
dos fuentes.
La onda sonora esférica que llega al punto A a partir de la fuente 1 habrá recorrido la
distancia r − (b 2) senθ y la presión sonora será
p 1( r1 , t ) =
2 A + jω t − j ( 2π
e e
r
λ ) [r − (b 2 ) senθ ]
(1-3)
3
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
·
b
2
A
b
senθ
2
r
b
·
·
θ
θ =0º
r − (b 2 ) senθ
·
·
·
1
2
(a)
r
θ
·A
r + (b 2) senθ
b
2
(b)
Figura 1-2
Geometría de dos fuentes simples en fase, separadas una distancia b, y a una
distancia r y un ángulo θ con respecto al punto de medición A
La onda proveniente de la fuente 2 habrá recorrido en cambio la distancia
r + (b 2 ) senθ , de modo que
2 A + jω t − j (2π
e e
r
p 2 ( r2 , t ) =
λ )[ r + (b 2 ) senθ ]
(1-4)
La suma de p1 + p2 , suponiendo r >>b, da como resultado
p( r , t ) =
2 A + jω t − j (2π
e e
r
λ) r
(e
j (π b λ )senθ
+ e − j (π b λ ) senθ
)
(1-5)
La multiplicación del numerador y del denominador de la ecuación anterior por
(e
j (π b λ )senθ
)
− e − j (π b λ ) senθ y el reemplazo de los exponenciales con los senos, da
p( r , t ) =
2 A + jω t − j (2π r λ ) sen[(2π b λ )senθ ]
e e
r
sen[(π b λ )sen θ ]
(1-6)
con lo cual la ecuación para la magnitud eficaz p del sonido es
4
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
p=
2 A + sen[(2π b λ ) sen θ ]
r
2 sen[(π b λ ) sen θ ]
(1-7)
La parte de esta ecuación comprendida entre las barras verticales expresa el diagrama de
direccionalidad.
En relación con la Figura 1-2, en el caso en que b es mucho menor que la longitud de
onda, las dos fuentes se confunden prácticamente en una y la presión a la distancia r y
un ángulo θ
cualquiera es el doble de la que se tendría con una sola fuente,
obteniéndose un diagrama direccional como el de la Figura 1-1
1.2.2
Formación lineal de fuentes simples en fase
Es posible extender en forma sencilla el análisis anterior para una formación lineal de
fuentes simples. La geometría de este problema se presenta en la Figura 1-3, donde la
presión sonora eficaz producida en el punto A por n fuentes idénticas simples en fase,
dispuestas en línea recta, separadas unas de otras por una distancia b y con la extensión
total d = ( n − 1) b , pequeña en comparación con la distancia r, es
p=
nA + sen[(nπ b λ )senθ ]
r n sen[(π b λ )senθ ]
(1-8)
En caso que el número de fuentes se incremente, tendiendo al infinito, mientras que la
distancia de separación b lo hace a cero, la distancia d se puede aproximar a
d = ( n− 1)b ≡ n b
(1-9)
y la presión p por su parte toma la forma
5
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
p = p0
sen[(π d λ ) sen θ ]
(π d λ ) senθ
(1-10)
donde p0 es la magnitud de la presión sonora eficaz a la distancia r y el ángulo θ =0°
respecto de la formación. Al igual que en los casos anteriores se supone que la longitud
d de la formación es pequeña en comparación a r.
·
·
·
·
·
·
:
:
d
b
:
:
+
·A
+
+
r
θ
θ =0º
+
+
+
Figura 1-3
Formación lineal de n fuentes simples, en fase, separadas una distancia b. El centro de la
formación está a una distancia r y forma un ángulo θ con el punto de medición A.
1.2.3
Dos fuentes simples en oposición de fase
Una interesante combinación de fuentes simples, consiste en un par de fuentes
puntuales, separadas por una distancia b muy pequeña y que vib ran en oposición de fase.
Tal disposición recibe el nombre de doblete acústico, dipolo o radiador de primer
orden.
Considerando nuevamente una distancia r grande en comparación a b, y además que esta
es mucho menor que la longitud de onda, la presión eficaz compleja en el punto A es
6
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
p( r ,θ ) =
ρ0 f U0b 
1
- jkr
 + k − j  cos θ e
2r
r

(1-11)
donde U0 es la velocidad de volumen eficaz de la fuente en m 3 s .
·A
r
·
·
+
b
θ
θ =0º
-
Figura 1-4
Doblete acústico: dos fuentes simples vibrando con una diferencia de fase de 180°. Están
separadas una distancia b y a una distancia r y ángulo θ del punto de medición A.
(
)
En caso que la distancia r sea grande en comparación con λ 2 36 k 2 r 2 >> 1 , la
ecuación anterior se reduce a
p=
ρ 0ω 2U 0 b
cos θ e − jkr
4π r c
(1-12)
En este caso la presión varía con cosθ en forma inversa a la distancia r exactamente del
mismo modo que en el caso de una fuente simple. En la proximidad del doblete, para
r 2 << λ 2 36 la ecuación (1-11) se reduce a
p=
ρ0 f U0b
cos θ e j (π 2− kr )
2
2r
(1-13)
En este caso la presión también varía con cosθ , pero en proporción inversa con el
cuadrado de la distancia r.
7
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
1.3 Descripción de radiación de sonido
1.3.1
Campo cercano y campo lejano
Debe tenerse siempre presente la diferencia entre los comportamientos en el campo
cercano y en el campo lejano de las fuentes. A menos que se indique, los diagramas
direccionales de fuentes sonoras siempre se elaboran con datos tomados a una distancia r
lo suficientemente grande como para que la presión sonora esté decreciendo linealmente
con la distancia a lo largo de la línea radial que une el punto de medición con la fuente,
como en el caso de la ecuación (1-12). Este es el caso de campo remoto o lejano. Para
que sea tal el caso es necesario que sean satisfechas dos condiciones: la primera de ellas
es que la extensión b de la formación radiante debe ser pequeña en comparación a r; la
segunda condición esta relacionada con la longitud de onda: r2 debe ser mayor, en un
factor entre 3 y 10, que λ 2 36
1.3.2
2
Directividad y cobertura.
Las gráficas de los diagramas direccionales son suficientes en muchos casos, por
ejemplo cuando la fuente esta situada al aire libre y a gran distancia de superficies
reflectoras. Sin embargo, al realizar mediciones al interior de recintos, es necesario
conocer algo mas acerca de la potencia total radiada con el objeto de calcular los efectos
de la reverberación de la sala sobre la salida de la fuente sonora. Así, se calcula para
cada frecuencia un valor que expresa el grado de directividad sin necesidad de dibujar el
diagrama completo. Este valor es el factor de directividad Q(f). Junto a este valor puede
entregarse también la medida de cobertura de la fuente a través del ángulo de cobertura
C∠ .
2
BERANEK, L. “Acústica”. p. 105.
8
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
1.3.2.1 Factor de directividad, Q(f)
El factor de directividad es la relación de la intensidad sobre un eje determinado de un
radiador a una distancia dada r a la intensidad que se produciría en el mismo punto con
una fuente puntual que radiara la misma potencia acústica que el radiador. En las
mediciones se supone que se está en el espacio libre. Por lo general, el eje considerado
es el de máxima radiación, en cuyo caso Q(f) excede siempre la unidad. En algunos
casos se desea también el factor de directividad para otras direcciones, en las cuales Q(f)
puede adoptar un valor mayor o igual a cero; en todo caso, por definición, el promedio
de Q(f) alrededor de cualquier radiador de sonido es siempre 1. Es importante resaltar
que el factor de directividad se obtiene siempre en un punto y que a pesar de que un
área pueda tener un número infinito de puntos con el mismo Q, dicha área nunca tiene
un Q.
1.3.2.2 Angulo de cobertura C∠
El ángulo de cobertura (o ancho de haz), asignado a un plano de radiación dado, es la
distancia angular entre dos puntos, a uno y otro lado respectivamente del eje principal,
para los cuales el nivel de presión sonora es 6 dB menor que para θ = 0°.
El ángulo de cobertura y el factor de directividad son independientes el uno del otro. El
punto de –6 dB es interesante por el hecho que, en el caso ideal, en ese ángulo debería
cubrirse un área, equivalente en distancia desde la fuente, igual a la mitad del área
cubierta frente al eje principal
1.4 Impedancia acústica
El concepto de impedancia acústica tiene un amplio rango de aplicación en el
modelamiento matemático de campos sonoros. Junto a su utilidad analítica, es también
9
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
importante debido a la facilidad que ofrece a la comprensión cualitativa de la interacción
acústica entre zonas de fluido que se encuentran comunicadas o acopladas, ya que actúa
como un indicador del grado de similitud (o diferencia) entre las propiedades acústicas
de las regiones, determinando en que cuantía las ondas sonoras en una región son
reflejadas y transmitidas en la interfase. Esto es también ut ilizado en el análisis de la
interacción entre sistemas fluidos y sistemas sólidos con relación a la absorción,
reflexión y transmisión de sonido, así como de la carga impuesta a superficies sólidas
vibrantes. Además, la impedancia describe el flujo de energía acústica a través de un
fluido para las magnitudes asociadas de presión y velocidad.
La impedancia acústica expresa la razón entre las amplitudes complejas de la presión (o
la fuerza asociada sobre una superficie) y la velocidad de partícula (o su
correspondiente velocidad de volumen a través de dicha área). Toma una gran cantidad
de formas, y la terminología usada para distinguir a cada una de ellas varía dependiendo
de la bibliografía utilizada. Esto genera una fuente de confusión en muchos casos,
debido particularmente a que sólo una de ellas es usada actualmente como Impedancia
Acústica.
1.4.1
Impedancia de elementos acústicos
El campo sonoro en cualquier volumen de fluido existe en la forma de un campo de
ondas que satisfacen la ecuación de onda y las condiciones de borde impuestas. Sin
embargo, al modelar el comportamiento acústico de pequeñas regiones de fluido, las
cuales están a menudo confinadas a bordes sólidos, es permisible evitar la expresión
explícita de la conducta de una onda y definir combinaciones de elementos acústicos
que son análogos a los elementos mecánicos de masa, resorte y amortiguador.
Una región de fluido puede ser considerada como pequeña, y tratada de esta manera, si
cada una de sus dimensiones principales es mucho menor que la longitud de la onda
acústica. Todo lo anterior además sobre la base de que tanto la presión o la velocidad de
10
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
partícula (o volumen) varían muy poco sobre la región, permitiendo de esta forma que
puedan ser tratadas como variables discretas.
Este concepto es ilustrado considerando la zona de interfase de una onda harmónica
plana en un fluido contenido en un tubo rígido de sección transversal uniforme S, Figura
1-5. La diferencia entre las amplitudes complejas de la presión en 1 y 2 esta dada por
[
]
[
p 1 − p 2 = A e − jkx 1 − e − jkd + B e jkx 1 − e jkd
]
(1-14)
d
p + = A e j (ω t − kx )
u1
u2
p − = B e j (ωt + kx )
p1
x
p2
1
2
Figura 1-5
Zona de interfase de un campo de onda harmónica plana en un fluido
contenido en un tubo rígido de sección transversal uniforme.
La suma de las amplitudes complejas de la velocidad de partícula está dada por
[
]
[
ρ 0 c(u1 + u 2 ) = A e − jkx 1 + e − jkd − B e jkx 1 − e jkd
]
(1-15)
Si la distancia d es acústicamente pequeña, esto es kd << 1 , las expresiones anteriores
adoptan la forma:
11
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
[
p 1 − p 2 ≈ jkd A e − jkx − B e jkx
]
[
ρ 0 c(u 1 + u 2 ) ≈ 2 A e − jkx − B e jkx
(1-16)
]
(1-17)
De esta manera, la razón entre la diferencia de las amplitudes complejas de la presión en
la región, y la velocidad de partícula media, con kd << 1 es
2 ( p1 − p 2 ) (u1 + u 2 ) ≈ j ωρ0 d
(1-18)
La cual es independiente de las amplitudes A y B. Esta expresión corresponde a una
impedancia mecánica inercial equivalente de j ωρ 0 d por unidad de área. La razón de las
amplitudes complejas de la presión media, a la diferencia de las velocidades de partícula
a través de la región con kd << 1 puede ser descrita en forma semejante por
( p1 + p 2 ) 2(u1 − u 2 ) ≈ − jρ 0 c 2
ωd
(1-19)
lo cual representa una impedancia mecánica elástica equivalente de j ρ 0 c 2 ω d por
unidad de área. 3
Una representación esquemática de estas dos formas de impedancia acústica se muestra
en la Figura 1-6. En dicha ilustración se puede considerar que, en el modelo (a), la
diferencia de presión representa la causa (o entrada) y la velocidad de partícula media
representa el efecto (o salida); en la situación (b), por otro lado, la diferencia de
velocidades representa la causa y la presión media representa el efecto. La magnitud de
la impedancia elástica en la ecuación (1-19) sobrepasa a la impedancia inercial de la
ecuación (1-18) por un factor
3
(kd )−2 ,
el cual excede ampliamente la unidad para las
FAHY, F., “Foundations of Engineering Acoustics”. p. 58.
12
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
condiciones establecidas.
Esta amplia diferencia tiene importantes consecuencias para la modelación de fluidos en
secciones de ductos acústicamente cortos que conectan grandes volúmenes de flujos,
tales como agujeros en placas perforadas y cuellos en resonadores de Helmholtz, donde
es posible asumir que el desplazamiento del fluido se produce en forma incompresible.
d
p1
u1
u2
um
Z S (a ) =
p2
p1 − p 2
um
(a)
p1
u1
u2
pm
p2
ZS
(b )
=
pm
u1 − u2
(b)
Figura 1-6
Representación esquemática de las dos diferentes formas de elementos acústicos de
impedancia: (a) basado en la velocidad media y (b) basado en la presión media.
Las expresiones en las ecuaciones (1-18) y (1-19), que involucran la relación entre
presión y velocidad de partícula, son ejemplos de Impedancia Acústica Específica. Esta
es denotada convencionalmente por ZS , y es generalmente un valor complejo. Su parte
real RS se denomina resistencia acústica específica, mientras que la parte imaginaria XS
recibe el nombre de reactancia acústica específica. La normalización de acuerdo a la
impedancia acústica característica ρ 0 c del fluido produce la Razón de impedancia
acústica específica Z 'S .
13
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Z S' =
ZS
ρ0c
(1-20)
El uso de esta particular forma de impedancia para caracterizar el comportamiento
acústico de situaciones como las anteriormente expuestas, se hace posible debido a que
se asume que en el movimiento de la onda plana, ambas cantidades están uniformemente
distribuidas sobre la sección transversal del tubo. Sin embargo, el uso de este concepto
es además útil en casos generales, cuando ninguna de las cantidades está distribuida de
la manera antes mencionada. Esto ocurre cuando las ondas sonoras encuentran
repentinos cambios en la geometría de las superficies sólidas que bordean la región de
fluido en la cual se están propagando, por ejemplo, en el borde abierto de un tubo, en la
unión entre dos ductos de diferentes secciones transversales, en la unión T entre tubos,
en la cara de una lámina perforada, o en el costado abierto en una pared de un tubo. Los
campos de ondas generados en las vecindades de tales discontinuidades son bastante
complejos, incluso si la onda incidente sobre ellos es simple, tal como una onda plana.
Esto es causado por la necesidad de que el campo satisfaga las cond iciones de borde
impuestas por la geometría.
Considérese la incidencia de una onda plana en un ducto, sobre la unión con otra sección
de menor diámetro, como se ilustra en la Figura 1-7. Claramente, un campo de onda
plana no puede satisfacer las condiciones de borde impuestas por esta discontinuidad de
la sección transversal. La velocidad axial de partícula debe ser cero sobre el área que
conecta ambos ductos.
S1
S2
Figura 1-7
Velocidades de partícula producidas por la incidencia de una onda plana sobre un
cambio repentino del área de la sección transversal de un ducto.
14
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Por supuesto que es posible resolver la ecuación de onda sujeta a estas condiciones de
borde, pero es más conveniente caracterizar el comportamiento acústico del fluido en la
vecindad de la discontinuidad en términos de la impedancia de un elemento asociado,
para el cual las ondas planas en un ducto están “conectadas” a las ondas planas en el otro
ducto. Incluso si la velocidad axial de partícula y la presión sobre la sección transversal
del ducto no es uniforme, las condiciones de continuidad de fuerza y velocidad de
volumen deben mantenerse a través de cada sección. De esta forma, otro tipo de
impedancia es definida como
ZA =
(1 S )∫ pdS
S
∫ u n dS
=
p
U
(1-21)
S
donde un es la componente de la velocidad de partícula normal a la superficie
seleccionada, U es la velocidad de volumen, y la fuerza es, por convención, normalizada
a una unidad de área de la sección transversal en la forma de la presión promediada en
el espacio
p . Este valor es conocido simplemente como Impedancia Acústica. Es una
cantidad compleja denotada por Z A = R A + jX A . La normalización por la impedancia
acústica característica, para una onda plana en un ducto uniforme de sección transversal
S, es
Z 'A =
ZA
(ρ 0 c S )
(1-22)
Nótese que para ondas planas Z 'A = Z S'
La ventaja práctica de esta forma de caracterización es que las impedancias acústicas de
un amplio rango de discontinuidades han sido determinadas a través de análisis
detallados. Su disponibilidad permite relacionar, de manera sencilla, campos de onda a
15
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
través de zonas de discontinuidad sin la necesidad de resolver las correspondientes
ecuaciones de onda.
16
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
2 LA TÉCNICA DE S IMULACIÓN D E FUENTES
La Técnica de Simulación de Fuentes (TSF) ha sido utilizada en análisis de problemas
de radiación y difusión, con muy buenos resultados al realizarse comparaciones entre
mediciones y datos numéricos. Un importante número de variantes ha sido desarrollado,
diferenciándose sólo en las ventajas y desventajas que ofrece la aplicación de cada uno
de ellos con respecto a problemas particulares. Estas diferencias pueden originarse
principalmente en la especificación de los múltiples parámetros de la técnica básica,
como son, por ejemplo, el tipo y número de fuentes o la posición de estas en el espacio,
entre otros.
Ya que la TSF no es la única herramienta utilizada en la resolución de problemas como
los anteriormente mencionados, esta ha sido a su vez evaluada en diversos estudios que
la comparan con métodos más tradicionales de cálculo de campos acústicos generados
por superficies vibrantes, como el Boundary Element Method (BEM). Los resultados
han demostrado que ambos proveen de resultados similares, a pesar de las diferencias
en tiempos de procesamiento y forma de optimizar los recursos de software, incluso
considerando que en ciertos aspectos, como la existencia de soluciones no singulares, el
BEM se ve afectado en la entrega de resultados. A pesar de esto último no es posible
emitir un juicio definitivo entre la supremacía de una técnica sobre otra debido a los
constantes avances en hardware y software y a las permanentes variantes adicionales que
surgen a estos métodos.
El origen de la TSF se encuentra precisamente en la búsqueda de una alternativa a la
solución de estos problemas, cuando investigadores como Cremer y Wang 4 comenzaron
a desarrollar estudios sobre síntesis de campos basados en esta metodología.
4
CREMER, L., WANG, M. “Die Synthese eines von einem beliebigen Körper in Luft erzeugten Feldes
aus Kugelschallfeldern und deren Realisierung in Durchrechnung und Experiment”. Acustica 65, 1988, pp
53-74
17
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Mas adelante estudios como los de Ochmann5, 6, 7 , introdujeron importantes avances en
el desarrollo de esta técnica.
En forma sencilla, la idea básica de la Técnica de Simulación de Fuentes es reemplazar
un cuerpo radiante por un sistema de fuentes simples ubicadas en el interior del radiador.
La extensión en la cual el campo simulado reproduce el campo original depende
principalmente del grado de correspondencia entre las condiciones de borde simuladas y
las existentes. Existen, como ya se ha mencionado, un número de variantes de la técnica
que pueden ser clasificadas de acuerdo al tipo, número o localización de las fuentes o al
proceso de minimización de error que ha sido aplicado.
Por último, en lo que respecta a la minimización del error de borde, esto es la diferencia
entre las condiciones de borde simuladas y las dadas, es conocido que la aproximación
por mínimos cuadrados con una velocidad superficial normal dada conduce a la
minimización del error funcional cuadrático de velocidad, siendo por esto utilizada en la
resolución de la mayor parte de problemas que involucran a TSF .
2.1 Descripción del problema de radiación y la TSF.
Sea la estructura vibrante B, encerrada por una superficie S. El interior de B es llamado
Bi y el exterior Ba . Se asume el vector normal a la superficie orientado hacia el exterior
Ba del radiador. El problema a ser investigado radica solo en el exterior de la superficie
B. La presión compleja p debe satisfacer la Ecuación de Helmholtz, ecuación (2-1), en
5
OCHMANN, M. “Die Multipolstrahlersynthese - ein effektives Verfahren zur Berechnung der
Schallabstrahlung von schwingenden Strukturen beliebiger Oberflächengestalt”. Acustica 72, 1990, 233246.
6
OCHMANN, M. , WELLNER, F. “Berechnung der Schallabstrahlung schwingender Körper mit Hilfe
eines Randelemente-Mehrgitterverfahrens”. Acustica 73, 1991, 177-190.
7
OCHMANN, M. “Berechnung der Schallabstrahlung von komplexen Maschinenstrukturen mit
Anwendungsschwerpunkt auf der Untersuchung von Getriebegehäusen”. VDI Berichte Nr. 816, 1990,
801-810.
18
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Ba donde k = ω c es el número de onda, ω es la frecuencia angular, c es la velocidad
del sonido y ∆ es el operador de Laplace ( ∇ 2 ).
∆p + k 2 p = 0
(2-1)
Todas las cantidades variables en el tiempo obedecen a la dependencia temporal e
donde
j ωt
,
j = − 1 . Ya que se considera la radiación sonora en el espacio libre
tridimensional, la presión p debe satisfacer la Ecuación de Sommerfeld:
 ∂p

lim 
+ jkp = 0
R →∞ ∂R


(2-2)
la cual debe ser interpretada como condición de borde en el infinito. Aquí,
R = x = x 12 + x 22 + x32 es la distancia desde x al origen, donde se denotan puntos en el
espacio por letras simples como x = ( x1 , x 2 , x3 ) . Las soluciones de la ecuación de
Helmholtz en Ba que también satisfacen la ecuación de radiación son llamadas
“Funciones de onda radiante”. En general estas funciones contienen singularidades
ubicadas en el interior Bi y, por lo tanto, pueden ser consideradas como fuentes por el
campo sonoro exterior. Por lo tanto las funciones de onda radiante pueden ser llamadas
fuentes. Además, para obtener una descripción completa del sistema, son necesarias las
condiciones de borde de la superficie del radiador. 8
Por razones de simplicidad, sólo se considerará en general el denominado problema de
valores de Neumann, donde la velocidad normal, y por lo tanto el gradiente de presión,
son descritos a través de:
∂p
= − jω ?v
∂n
8
(2-3)
OCHMANN, M. “The Source Simulation Technique for Acoustic Radiation Problems”. p. 514
19
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Aquí, ? es la densidad del fluido y ∂ ∂n es la derivada (hacia el exterior de la superficie)
de la normal. Además, casi de la misma forma, el problema más general de la
impedancia de borde
Z
∂p
+ p= f
∂n
(2-4)
puede ser abordado a través de la TSF. Z y f son funciones dadas en S.
n
Q
Ba
Bi
y
r
S
x
Figura 2-1
Descripción geométrica del problema de radiación estudiado.
Como ya ha sido comentado, la idea básica de las técnicas de simulación de fuentes es
reemplazar el cuerpo vibrante por un sistema de fuentes ubicadas en el interior del
cuerpo. Las fuentes son denotadas por q(x,y), donde x es un punto arbitrario en el
espacio e y es la posición de la singularidad, i.e. la ubicación del punto fuente. Ahora,
producto de la forma más general se asume que la presión puede ser presentada en la
forma
p( x ) = ∫∫∫ c( y )q( x , y )dy
(2-5)
Q
20
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
donde Q es una región que se encuentra completamente contenida en Bi y envuelve a
todas las fuentes (Figura 2-1). c(y) es la, en principio desconocida, densidad de fuente, la
cual da a todas las fuentes una cierta consistencia de fuente. Cada una de las funciones
de fuente q(x,y) puede consistir de una suma finita o infinita de fuentes elementales
como monopolos o dipolos, por ejemplo. La integral de volumen de la ecuación (2-5)
puede ser reducida a una integral de superficie si la región Q es una superficie. Usando
fuentes lineales se obtiene una integral de contorno y, por último, la integral se
transforma en una suma finita si se usan fuentes puntuales aisladas. El sistema de
funciones {q( x , y ) / y ∈ Q} será llamado el “Sistema fuente”. Todas las funciones del
sistema fuente satisfacen, por definición, las ecuaciones (2-1) y (2-2). Si el sistema es
también capaz de satisfacer las condiciones (2-3) y (2-4) sobre la superficie S del
radiador, entonces el campo sonoro generado por la estructura vibrante es idéntico al
producido por el sistema fuente 9 . Esto se debe a la solución única del problema exterior
(2-1) y (2-2) unido a las condiciones de borde locales (2-3) y (2-4). Por esto un sistema
fuente puede ser apropiadamente llamado “Sistema de fuentes equivalentes”. En
consecuencia, se puede encontrar la solución exacta al problema de radiación si es
posible construir un sistema de fuentes equivalentes.
La forma más sencilla de las soluciones de la ecuación de Helmholtz se obtiene de las
funciones de onda esférica para el espacio tridimensional.
El problema es satisfacer las condiciones de borde ya que, normalmente, la superficie S
tiene una geometría complicada para casi todos los problemas relevantes y las
soluciones analíticas no están disponibles. Desde este punto de vista, la TSF puede ser
considerada como una contraparte al Método de Elementos Finitos (FEM) el cual usa
funciones de prueba que en principio satisfacen las condiciones de borde pero no la
ecuación de campo. Claramente, en la mayoría de los casos sólo se puede obtener una
solución aproximada, lo cual significa que el sistema fuente satisfará las condiciones de
9
OCHMANN, M. “The Source Simulation Technique for Acoustic Radiation Problems”. p. 514.
21
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
borde en una forma aproximada. Reemplazando la ecuación (2-5) en (2-3) se obtiene el
error de borde o residual.
ε ( x ) = j ωρv + ∫∫∫ c( y )
Q
∂
q( x , y )dy
∂n
(2-6)
La ecuació n (2-6) muestra que la construcción de un sistema de fuentes conduce
directamente a las preguntas ¿Qué tipo de fuentes q(x,y) deben ser usadas? y ¿Cómo
debe elegirse la región Q?. Además debe aclararse dónde deben ser ubicadas las fuentes
(i.e. las singularidades de las funciones de onda radiante), cuantas fuentes deben ser
usadas y que distribución de fuentes será elegida (esto es continua o discreta). Por último
surge la interrogante ¿Cómo puede resolverse la ecuación (2-6)?, o de otro modo ¿Qué
tipo de minimización del error de borde se debe aplicar?
2.2 Variantes en la TSF.
2.2.1
Tipos de fuentes
Por definición las fuentes deben ser funciones de onda radiante. Así, es conveniente
utilizar funciones analíticas convenientes, tales como las soluciones de la ecuación de
Helmholtz en un sistema de coordenadas separables. Como ya ha sido adelantado en el
párrafo anterior, en el espacio tridimensional las funciones de onda esférica presentan la
forma más simple de estas soluciones y son por ello el tipo de fuente más comúnmente
usadas. Estas funciones están dadas por
cos mφ
f nc,ms ( x ) = Γ n m Ζ n ( kr )Ρ nm (cos vθ ) 
sen mφ
(2-7)
22
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
donde Ρ nm son los polinomios de Legendre asociados. El superíndice c (o s) indica que
se usa coseno (o seno). Como funciones cilíndricas Ζ n se pueden elegir las funciones de
Hankel de segundo tipo H n(2 ) , funciones de Bessel Bn o funciones de Neumann N n .
Estas funciones esféricas pueden ser denotadas por
ϕ
l
ψ
l
χ
l
: = f nc,ms
para
Ζ n = H n( 2)
(2-8a)
: = f nc,ms
para
Ζ n = Bn
(2-8b)
: = f nc,ms
para
Ζ n = Nn
(2-8c)
donde el máximo valor del índice l indica el numero de funciones de onda utilizadas.
Sólo las
ϕ
l
son funciones de onda radiante, mientras que las otras dos soluciones para la
ecuación de Helmholtz normalmente describen ondas estacionarias. Los factores
normalizadores Γ n m pueden ser elegidos de manera que los armónicos esféricos sean
ortonormales con respecto a la integración sobre la esfera unitaria 10 . Ya que las
funciones de onda esférica pueden ser interpretadas como multipolos, en trabajos
relacionados se usa el nombre de método de multipolos o síntesis de radiador por
multipolos, especialmente en el caso en que una suma de estos es ubicada en algunos
puntos de Bi.
2.2.2
Posición de las fuentes: elección del área Q
Al utilizar la TSF generalmente se asume que las fuentes deben ubicarse en el interior de
la superficie cerrada S. También es posible ubicar fuentes en el mismo borde, sin
embargo esto conduce a una ecuación integral de borde, el cua l corresponde a un
10
OCHMANN, M. “The Source Simulation Technique for Acoustic Radiation Problems”. p. 515.
23
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
problema estudiado por el BEM.
Para la elección de la ubicación de las fuentes existen dos posibilidades: la primera,
elegir sólo unas pocas ubicaciones de fuentes, pero usando en cada punto un gran
número de ellas con orden creciente; la segunda, usar una distribución continua de
fuentes simples, en una superficie interior auxiliar. La utilización del último modelo
puede encontrarse en publicaciones americanas, francesas y rusas bajo el nombre de
“Método de superposición” o “Método de fuentes equivalentes”. La diferencia entre
ambos métodos es mayor si, por un extremo, se elige una superficie auxiliar cerrada A
con una capa de monopolos, con
p( x ) = ∫∫ c( y ) g( x , y ) ds( y )
(2-9)
A
o una serie infinita de multipolos en una única posición, por otro lado originando
∞
p( x ) = ∑ c nϕ n ( x − x0 )
(2-10)
n =1
donde
g( x, y ) =
1 e− j k r
4π r
(2-11)
es la función de Green en el espacio libre y r = x − y es la distancia entre x e y. Así,
usando la ecuación (2-9) , la presión se presenta como una capa continua de monopolos
con función de densidad de fuente c(y) ubicada en la superficie auxiliar A. Por lo tanto
en la expresión general (2-5) la región de fuente Q debe ser reemplazada por la
superficie A y las fuentes q son monopolos. La función c(y) recibe el nombre de
densidad de potencial de la placa acústica simple. En la ecuación (2-10) la presión es
descrita por una serie infinita de multipolos de intensidad de fuente cn con orden
creciente ubicados en una posición de fuente única x 0 . La región de fuente Q en la
24
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
ecuación (2-10) se reduce al punto x 0 , la integral desaparece y la función de fuente q(x,y)
se transforma en una serie infinita. Por lo anterior el método basado en la sustitución
realizada en (2-10) recibe el nombre de “Método de multipolos en un punto”.
Despreciando las consideraciones numéricas, la diferencia entre los dos métodos casi
desaparece debido a que la integral de la ecuación (2-9) puede ser discretizada y a
menudo se aplican monopolos (o dipolos), recibiendo el nombre de “Método de capa
simple” (o doble, según sea el caso). Por otro lado, en la ecuación (2-10) la serie infinita
tiene que ser reemplazada por una finita y normalmente se usa más de una localización
de fuente con el propósito de mejorar la convergencia del método para radiadores de
comportamiento no esférico (“Método de multipolos multipuntual”). Desde el punto de
vista matemático, ambos métodos se basan en diferentes conceptos, los que influyen
especialmente en el sentido de la base matemática que puede utilizarse para su
resolución.
No existe una regla general para la determinación de los puntos de fuente o de la
posición de la superficie auxiliar. Claramente, la localización de la fuente debe ser
elegida de manera tal que se minimice el error de borde
2.2.3
Número de fuentes
El número de fuentes que pueden o deben ser usadas depende de la variedad de
parámetros. Entre estos pueden ser considerados: el tipo de fuentes, la forma del
radiador, la(s) variante(s) de la TSF que se esté utilizando, la exactitud que se desea
tenga la solución, la minimización del proceso en términos de tiempo y capacidad de
software. Junto a esto, es importante mencionar que un fuerte incremento del número de
fuentes puede llevar a inestabilidad y disminuir la exactitud de la solución.
25
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
3 EL PROBLEMA DE RADIACIÓN
Como ya ha sido discutido, para estructuras sencillas el cálculo analítico del campo de
presión sonora radiada es posible si se conoce la distribución de velocidad en la
superficie. Sin embargo, estructuras complejas no permiten una descripción útil a través
de dichas funciones, haciendo muy difícil el cálculo analítico de una respuesta. La
utilización de un método de superposición de fuentes permite solucionar esta clase de
problemas y predecir así la radiación de sonido, usando como entrada la distribución de
velocidad en su superficie, ya sea de manera directa u obtenida a través de algún otro
parámetro acústico del sistema, como la impedancia. La distribución de velocidad no
debe ser necesariamente conocida en toda la estructura, pero sí en su superficie. Si dos
tipos de fuente diferentes generan la misma distribución de velocidad en una superficie
dada, el campo de presión sonora que ellas radian será el mismo. La aproximación por
multipolos hace uso de esto a través de la ubicació n de las fuentes analíticas descritas
dentro del área de la estructura primaria, generando así la misma velocidad en la
superficie produciendo de esta forma una radiación sonora equivalente. Existe aquí, sin
embargo, un inconveniente: ya que la velocidad a ser generada es conocida pero no así
las amplitudes de las fuentes, estas deben ser calculadas. Una vez que las amplitudes son
conocidas, la presión sonora puede ser fácilmente evaluada en cualquier punto del
espacio. Las siguientes secciones describen al metodología utilizada para resolver el
problema presentado y la forma en la que se obtienen las ecuaciones que facilitarán el
estudio posterior del fenómeno
3.1 Tipo de fuentes
Como configuración de fuentes se escogerá en principio un monopolo y dos dipolos
ortogonales. Se estudiará la posibilidad de utilizar fuentes con órdenes mayores en caso
que sea necesario, o grados menores si llevan a una buena solución del problema. En
caso de no haber una buena cantidad de polos el campo no podrá ser aproximado con
26
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
suficiente exactitud, y en caso de ser demasiados, los tiempos de cálculo y uso de
recursos convierten el problema en algo incómodo de resolver.
3.2 Descripción del cálculo de velocidad y presión
3.2.1
Análisis bidimensional
Por claridad, se comenzará describiendo las variables del problema en dos dimensiones,
tal como se presenta en la Figura 3-1. La presión p( r ,θ ) , dependiente del número de
onda k, causada por la superposición de F fuentes puede ser escrita de la siguiente forma
F
p( r ,θ ) = ∑ a f H 0( 2 ) ( krf ) + b f H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f + c f H 1( 2 ) ( krf ) senθ f (3-1)
f =1
El primer término de la sumatoria describe el monopolo mientras que los otros hacen
mención a dos dipolos perpendiculares entre sí. Hn es la función de Hankel de segundo
tipo ( H n( 2 ) = Bn − jN n ) la cual caracteriza la propagació n. En caso de trabajar en el
campo cercano, la función de Hankel debe ser sustituida por la función de Bessel
modificada Kn .
Aquí r f =
Rf =
(x − x ) + ( y − y )
2
f
2
f
es la distancia entre el tripolo y el punto
(x, y) ,
x f + y f es la distancia desde el origen al tripolo, y r es la distancia desde el
2
2
origen al punto ( x , y ) , en el plano X Y.
Para calcular la amplitudes (af , bf , cf) del multipolo es necesario conocer la velocidad
que este produce. Esta está relacionada con la presión en la forma
27
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
v n ( r ,θ ) = −
1
n̂ ⋅ ∇ p
jω ρ
(3-2)
donde:
vn es la componente normal de la velocidad;
ρ es la densidad del aire;
ω es la frecuencia angular; y
n̂ es el vector normal en la superficie.
Y
·
(x , y)
Yf
rf
r
yf
·
θf
qf
Rf
θ
Xf
Θ
X
xf
Figura 3-1
Descripción de las variables usadas en la solución del problema de radiación en dos
dimensiones. Mientras el sistema de ejes X -Y es la referencia espacial utilizada,
el sistema Xf -Yf se refiere a un sistema de coordenadas solidario a la fuente f.
Luego de realizar la transformación de coordenadas entre los sistemas ( r ,θ ) y ( x , y ) ,
la velocidad normal resultante de los multipolos luce entonces como:
v( x , y ) = −
1 F
afF f +bfG f + cf H
jρ c ∑
f =1
f
(3-3)
con
28
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
F f = H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos θ f , - sen θ f )
Gf =
H
f
=
(3-4)

1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 ) + H (2 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos 2θ f , − sen 2θ f )

2

(3-5)

1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1) + H (2 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− sen2θ f , + cos 2θ f ) (3-6)

2

Pueden encontrarse detalles respecto a la obtención de v( x , y ) , en el Apéndice B.
Con respecto a la expresión anterior, puede observarse que los monopolos de presión
forman dipolos de velocidad (F f) y los dipolos originan monopolos y cuadripolos de
velocidad (G f , H f). En el caso de campo cercano, los signos son distintos, debido a que
las reglas de diferenciación son diferentes para Hn y Kn .
Este análisis, junto con definir la base para el análisis en dos dimensiones, permite
corroborar la exactitud de los resultados para continuar el trabajo en el espacio
tridimensional, considerando que la expresión de la velocidad normal aquí obtenida es
equivalente a los resultados obtenidos por Zeitler y Möser11 .
3.2.2
Desarrollo en el espacio 3D
El análisis en dos dimensiones sienta las bases para un estudio del problema de radiación
en el espacio. Las variables espaciales utilizadas se describen en la Figura 3-2. Aquí la
distancia entre el tripolo y el punto
(x, y, z )
viene dada por la expresión:
11
MÖSER, M., ZEITLER, B. “A closer look at the three dimensional multipole approach for rail
sections”. Technische Universität Berlin. Institut für Technische Akustik.
29
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
rf =
(x − x ) + ( y − y ) + (z − z )
2
f
2
2
f
f
; Rf =
x f + y f + z f es la distancia desde el
2
2
2
origen al tripolo, y r es la distancia desde el origen al punto en el sistema X Y Z.
Tal como se describió en la sección 2.1.1 , ecuaciones (2-7) y (2-8) la presión viene dada
por
F
p(r, ? ,φ ) = ∑ a f ϕ
f =1
00
+bf ϕ + cf ϕ
C
S
11
11
(3-7)
donde
ϕ
C,S
nm
cos( mφ f )
= H n( 2 ) ( kr f ) Pnm (cos θ f ) 
sen( mφ f )
(3-8)
representa a las funciones de onda esférica.
.
Z
(x,y,z)
Zf
rf
zf
θf
r
Rf
φ
Yf
f
yf
Xf
Y
xf
X
Figura 3-2
Descripción de las variables usadas en la solución del problema de radiación en
el espacio tridimensional. Mientras el sistema de ejes X –Y– Z es la referencia
espacial utilizada, el sistema Xf –Yf –Zf se refiere a un sistema
de coordenadas solidario a la fuente f.
La construcción de las funciones de onda esférica
ϕ
C,S
nm
en base a los polinomios de
Legendre y las funciones de Hankel será entonces:
30
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
para m=0, n=0
P00 (cos θ ) ≡ 1
H 0( 2 ) ( kr ) = j
(3-9)
e − jkr
kr
ϕ 0 0 = H 0( 2 ) ( kr f ) = j
(3-10)
e − jkr f
krf
(3-11)
para m=1, n=1
P11 (cos θ ) = senθ
H1( 2 )( kr ) = −
ϕ
C,S
11
(3-12)
e − jkr
e − jkr
+j
kr
(kr )2
(3-13)
cosφ f
= H 1( 2 ) ( krf ) senθ f 
senφ f
− jkr
 e − jkrf
e f
= −
+j
 krf
(krf )2


cosφ f
 sen θ f 

 senφ f

(3-14)
De esta forma, la expresión para la presión en el espacio es:
F
p(r, ? ,φ) = ∑ a f H 0( 2 ) ( krf ) + b f H 1( 2 ) ( krf )senθ f cos φ f + c f H 1( 2 ) ( kr f )sen θ f senφ f
f =1
(3-15)
31
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Para calcular la amplitudes (af , bf , cf) del multipolo es necesario conocer la velocidad
que este produce. Esta está relacionada con la presión en la forma
v n ( r ,θ ,φ ) = −
1
n̂ ⋅ ∇p
jω ρ
(3-16)
donde:
vn es la componente normal de la velocidad;
ρ es la densidad del aire;
ω es la frecuencia angular; y
n̂ es el vector normal en la superficie.
Esta velocidad normal resultante de los multipolos puede escribirse entonces de la
forma:
v( x , y , z ) = −
1
jρ c
F
∑a R
f =1
f
f
+ bf S f + c f T
(3-17)
f
con
R
f
= H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− senθ f cosφ f , − senθ f sen φ f , − cos θ f )
Sf =
1  (2)
H ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ cos 2θ f cos 2 φ f + sen 2φ f ,
2  0
(

− 2sen 2θ f senφ f cos φ f , − 2sen θ f cos θ f cos φ f 

)
T
f
=
(3-18)
(3-19)
1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ − 2sen 2θ f senφ f cos φ f ,

2
(

cos 2θ f sen 2φ f + cos 2φ f , − 2sen θ f cos θ f senφ f 

)
(3-20)
32
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Un completo desarrollo de la obtención de las expresione s (3-17) a (3-20) puede
encontrarse en el Apéndice C.
Los resultados hasta aquí obtenidos pueden ser comparados con aquellos de la sección
anterior (ecuaciones (3-4) a (3-6)): si se considera para cada fuente el plano Xf - Yf, esto
es, para cada fuente un ángulo θ f = π 2 las relaciones (3-18) a (3-20) se transforman
en:
R
f
= H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos φ f , − senφ f , 0 )
Sf =
(3-18a)
1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 , 0 )
2 

+ H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ − cos 2 φ f + sen 2φ f , − 2 senφ f cos φ f , 0 

(
T
=
f
)
(3-19a)
1  ( 2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1 , 0 )
2 

+ H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ − 2 senφ f cos φ f , − sen 2φ f + cos 2φ f , 0 

(
)
(3-20a)
Las cuales, tras reducir términos, se transforman en:
R
f
= H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos φ f , − senφ f , 0 )
Sf =
(3-18a)

1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos 2φ f , − sen 2φ f , 0 )

2

(3-19a)
33
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
T
f
=

1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− sen 2φ f , cos2φ f , 0 )

2

(3-20a)
Estos son equivalentes a las ecuaciones (3-4), (3-5) y (3-6), desarrolladas para el espacio
bidimensional, lo cual garantiza la validez de el desarrollo anterior.
3.3 Minimización del error
El problema ahora está en aproximar la velocidad un (dada en una estructura de P
puntos) a través de la velocidad v n , calculada con las F fuentes elegidas (las cuales son
en realidad 3xF dadas sus características de un monopolo y dos dipolos).
Ya que el error entre ambas velocidades debe ser minimizado, se discutirán dos
métodos: la minimización por mínimos cuadrados y la comparación directa entre u y v.
3.3.1
Aproximación por mínimos cuadrados
La aproximación por mínimos cuadrados es el método más comúnmente utilizado para
resolver este problema. El error puede ser descrito como
ε
= ∫ v n − u n ds
2
1
(3-21a)
S
en las zonas en las que la componente normal de la velocidad es dada sobre la superficie
s de la caja, o como
ε
= ∫ p − Z ·v ds
2
2
(3-21b)
S
34
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
en aquellos puntos en los que el cálculo se realiza considerando la impedancia sobre la
superficie.
Por claridad sólo se detallará la forma en que la ecuación (3-21a) es resuelta, sin
embargo el análisis es también valido para la expresión (3-21b).
ε1
Luego de diferenciar la integral
(a
f
por las partes real y compleja de las amplitudes
,b f ,c f ) e igualar cada ecuación a cero se obtiene un sistema de ecuaciones lineal
cuadrado. Las seis ecuaciones así obtenidas pueden ser reducidas a las siguientes tres:
− j ρ c ∫ uR *n ds = ∫ ∑ (a f R f + b f S f + c f T f ) R *n ds
(3-22a)
− j ρ c ∫ u S *n ds = ∫ ∑ (a f R f + b f S f + c f T f ) S *n ds
(3-22b)
− j ρ c ∫ uT n* ds = ∫ ∑ (a f R f + b f S f + c f T f ) T n* ds
(3-22c)
f
f
f
Ya que la velocidad que debe ser generada en la superficie es, por lo general, conocida
sólo en forma discreta, esta es interpolada resolviendo la integral numéricamente. Este
r
r
sistema de ecuaciones puede ser escrito como una matriz de la forma t = M ⋅ s , con
r
t 1 
r 
tr2  =
t 3 
 A1
A
 2
 A3
B1
B2
B3
r
C1   a 
r
C2  ⋅ b 
r
C3   c 
 R 1* 
 
r
t 1 = − j ρ c ∫ u  M ds
 *
R f 
(3-23)
(3-24a)
35
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
R 1 R 1*

A1 = ∫  M
R 1 R *f

L R fR 1 

O
M  ds
L R f R *f 
*
(3-24b)
 a1 
r  
a=M 
a f 
 
(3-24c)
r
De esta forma las amplitudes de los multipolos en s pueden ser rápidamente resueltas a
través del método de factorización de Cholesky12 , considerando que M es una matriz
(3f
cuadrada
Hermitiana
(M = M
, m*i k = m k i .
3.3.2
*T
)
x3f )
con
elementos
positivos
en
su
diagonal
Comparación entre u y v
r
Otra posibilidad para obtener las amplitudes ( s ) es comparar directamente la velocidad
v producida por los multipolos y la velocidad u dada en algunos puntos de la superficie.
Esto lleva a un sistema rectangular de ecuaciones de Px3F (3-25), vale decir P
ecuaciones y 3F incógnitas, el cual puede ser resuelto numéricamente a través del
método de mínimos cuadrados.
F
− jρ c u = ∑ a f R
f =1
f
+ bf S f + c f T
f
(3-25)
La solución de esta ecuación también satisface las ecuaciones (3-22), lo cual puede ser
visto de mejor manera al combinar las integrales de ambos lados, e igualando todo a
cero. La ventaja de resolver la ecuació n (3-25) es que las integrales no necesitan ser
resueltas. En consecuencia, este será el método de minimización de error utilizado en el
12
MÖSER, M., ZEITLER, B. “¨Caculation of the three-dimensional sound radiation of rails using the
mu ltipole approach”. Technische Universität Berlin. Institut für Technische Akustik.
36
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
presente trabajo, ya que al incluir las ahora conocidas amplitudes a f ,b f , c f para cada
número de onda en la ecuación (3-15), está garantizado que en cada punto del espacio
pueden obtenerse cuantificadores del campo acústico como presión sonora, velocidad o
intensidad.
3.4 La impedancia acústica en el problema de radiación
Una vez que se ha decidido que método de minimización del error de borde será
utilizado, sólo resta incluir el último parámetro dentro del sistema de ecuaciones que
permitirán modelar el campo generado por la fuente: la impedancia acústica.
Tal como fue descrito en las secciones anteriores, el objetivo principal de este trabajo es
conocer las características de radiación de un altavoz ubicado en una caja, cuyas paredes
presentan diferentes valores de impedancia. El modelo utilizado es el de un pistón que se
mueve con velocidad u, ubicado en un sonodeflector que cuenta con un determinado
valor de impedancia en su superficie. Las ecuaciones (3-21a) y (3-21b), ya han hecho
referencia a la existencia de dos diferentes formas de obtener las amplitudes af , bf y cf
que caracterizan a cada fuente.
En el caso en que se compara la velocidad v n generada por las fuentes y la velocidad un
del pis tón, la ecuació n (3-25) adopta la forma matricial
R 11

− 1 R 21
jρ c  M

R P1
S 11
S 21
T 11
T 21
R 12
R 22
S 12
S 22
T 12
T 22
M
M
M
M
M
R P2
SP2
S P1 T P1
L R 1F
L R 2F
O
M
T P 2 L R PF
S 1F
S 2F
M
S PF
 a1 
 
b1
T 1 F     u1 
 c1 
T 2F    u 2 
× M =  
M    M
 a F   
T PF    u P 
bF 
c 
 F
(3-25a)
37
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
La expresión del lado derecho en la ecuación (3-25a) implica un conocimiento de la
velocidad normal en los P puntos, y esto se cumple para aquellos que se encuentran en la
zona correspondiente al pistón. Sin embargo, sobre el resto de la superficie de la caja el
parámetro de entrada será el valor de la impedancia de esta, por lo que la comparación
ya no debe realizarse entre v n y un sino entre la presión p y la multiplicació n de la
velocidad normal calculada v n con la impedancia Z
p − Zv n = 0
(3-26)
Ya que tanto la presión p( x , y , z ) como la velocidad v n ( x , y , z ) dependen de los valores
af , bf y cf (ecuaciones (3-15) y (3-17) ), la expresió n (3-25a) debe ser escrita
nuevamente considerando los casos en que los valores de Z son dados sobre la
superficie.
Reemplazando las relaciones (3-15) y (3-17) en (3-26) se obtiene:
 

R f 
S f 
x

(2)
 H ( 2 ) ( kr )


a
H
(
kr
)
+
Z
+
b
+
Z
∑ f  0
f
f
f
 1
j ρ c 
jρ c 
f =1 
x2 + y2 + z 2


 
F

T f  
y
(2)

+ c f H 1 ( krf )
+Z
=0
2
2
2

jρ c  
x +y +z

 
(3-26a)
El conjunto de ecuaciones que representa la expresión (3-26a) deben insertarse dentro
de la expresión (3-25a) con el fin obtener la expresión completa para el cálculo de las
amplitudes af , bf y cf que caracterizan a cada fuente, con lo que finalmente se obtiene:
38
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
 − R 11
 jρ c


 R~ 21


 M


 − R P1

 jρ c
− S 11
jρ c
− T 11
jρ c
L
− R 1F
jρ c
− S 1F
jρ c
~
S 21
~
T 21
L
~
R 2F
~
S2F
M
M
O
M
M
− S P1
jρ c
− T P1
jρ c
L
− R PF
jρ c
− S PF
jρ c
 a1 
 
b
 1
− T 1 F   c1 
 
jρ c     u 1 
    
 a2
~     
T 2F
 b2   0 
    
 ×  c2  =  
M    M
    
  M   
− T PF    u 
 P

jρ c   a 
 F
 bF 
 
cF 
(3-27)
donde
R
R~ p f = H 0( 2 ) ( krf ) + Z f
jρ c
S~p f = H 1( 2 ) ( krf )
~
T p f = H 1( 2 ) ( krf )
x
x 2 + y2 + z 2
y
x 2 + y2 + z 2
(3-28)
+Z
+Z
Sf
jρ c
Tf
jρ c
(3-29)
(3-30)
La ecuación (3-27) entrega la expresión más general para la resolución del problema de
radiación. Mientras las expresiones del lado izquierdo que incluyen los términos R
p f
,
S p f y T p f hacen referencia a los puntos en los cuales la velocidad es dada, reflejados
en los términos correspondientes del costado derecho, los valores que incluyen a R~ p f ,
~
~
S p f y T p f permiten solucionar el problema incluyendo los puntos en los cuales se
conoce la impedancia.
39
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Esta expresión será la utilizada de aquí en adelante para obtener los resultados que
permitirán caracterizar a la fuente en estudio.
40
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
4 RESULTADOS
Una vez finalizado el trabajo teórico, que implicó la obtención y desarrollo de sistemas
de ecuaciones que permitieran resolver el problema de radiación, se desarrolla la
segunda parte de este estudio que contempla tres fases de trabajo: la primera de ellas es
la etapa de programación que permite la simulación de la radiación de la fuente de ruido,
obteniendo de esta forma datos referentes a sus patrones polares, vectores de intensidad,
potencia radiada, etc. En segunda instancia se realizan mediciones de una fuente real,
cuyos valores son procesados y comparados con los valores de simulación. Estas dos
primeras etapas se describen en el presente capítulo, detallándose el modelo matemático
utilizado tanto virtualmente como en las mediciones in situ. La tercera fase, referente a
las conclusiones obtenidas, se desarrollará en el capítulo posterior.
4.1 Descripción general
Como ya ha sido planteado, la idea original de este estudio es analizar, mediante el
método de síntesis por multipolos, el comportamiento de una fuente de ruido montada
sobre una caja acústica con diferentes valores de impedancia en su superficie. Se
estudiarán los patrones direccionales tanto para distintos valores de impedancia como de
frecuencia, considerando el modelo teórico de un pistón montado en un bafle cuyas
superficies varían su impedancia con valores entre cero e infinito.
En el caso de una impedancia infinita, existe un máximo de presión sonora sobre la
superficie y una gran cantidad de energía fluye tangencialmente sobre ella. Los efectos
de este fenómeno han sido utilizados en el diseño de barreras acústicas que permitan la
reorientación de los vectores de intensidad, optimizando así su funcionamiento 13 . Por
otro lado, una impedancia igual a cero implica una presión sonora igual a cero sobre la
13
MÖSER, M. & VOLZ, R., “Improvement of sound barriers using headpieces with finite acoustic
impedance”, J. Acoust. Soc. Am. 106, 1999. pp 3049-3060
41
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
superficie, lo cual imposibilita una propagación tangencial de la energía sobre la
superficie, permitiendo de esta forma una mejor direccionalidad del sonido radiado.
El modelo teórico será desarrollado por medio del método de síntesis por multipolos, el
cual considerará como entrada la distribución de velocidades normales un sobre la
superficie del radiador para obtener las amplitudes de las fuentes. Esta distribución de
velocidades puede ser dada u obtenida a través del valor de impedancia en la superficie.
Figura 4-1
Descripción geométrica de la fuente de ruido utilizada en la solución
matemática del problema de radiación.
4.2 Geometría del problema
Las características de radiación a ser estudiadas son las correspondientes a un altavoz
montado sobre una caja acústica de diferentes impedancias en su superficie.
Considerando que las mediciones se llevarán a cabo con una caja acústic a
de 0,67 x 0,67 x 0,30 m , se utiliza un modelo matemático virtual de dimensiones
l x l x l 2 , Figura 4-1. Esta estructura, que alberga en una de sus caras un pistón circular
42
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
de radio l 10 , corresponde a la región B descrita en el segundo capítulo, Figura 2-1 en
cuyo interior se encuentra el volumen S que acoge a las fuentes virtuales.
Figura 4-2
Distribución de los puntos de medición alrededor de la fuente. Estos puntos, que se
encuentran en los bordes de la caja, pueden hacer referencia a una velocidad
dada en la correspondiente posición, o a un monto de impedancia.
4.3 Programación y simulación
En esta etapa se constituye el diseño de rutinas de programación en el Software Matlab,
con el objeto de buscar una solució n al sistema de ecuaciones (3-27), y que permitan
obtener una situación simulada de la fuente de ruido en estudio. Junto a lo anterior, es
deseable conseguir información tanto gráfica como numérica acerca de parámetros
propios del sistema radiante, como intensidad, potencia radiada y patrones polares.
43
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
4.3.1
Modelo matemático
Como ya fue descrito anteriormente, el modelo matemático de la fuente de ruido
contempla una estructura virtual de dimensiones l x l x l 2 la cual aloja en una de sus
caras un pistón circular de radio l 10 . En una primera etapa se utilizan un total de 360
puntos y 120 fuentes, distribuidos en el plano horizontal que pasa por el centro del
pistón, en la manera que ilustran las Figuras 4-2 y 4-3. Cada una de estas fuentes está
compuesta por un monopolo y dos dipolos, de la manera descrita en la ecuación (3-15).
Figura 4-3
Distribución de las fuentes virtuales en el interior de la caja. Estas fuentes se
encuentran uniformemente distribuidas a una distancia 0,02 x l de las paredes.
Los puntos se encuentran uniformemente distribuidos en el borde de la estructura
mientras, que las fuentes lo están en el interior de esta a una distancia 0,02 x l de la
frontera con el exterior. Esta disposición espacial de puntos y fuentes ha sido adoptada
luego de un gran número de pruebas numéricas, realizadas apuntando tanto a la
minimización del error de borde, como a la obtención de patrones esperados para ciertos
rangos de longitudes de onda.
44
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Dichas pruebas estuvieron también orientadas a la optimización del proceso de solución
del sistema de ecuaciones. Con este objeto, los resultados obtenidos en cada una de ellas
fueron comparados con los que se obtendría de un sistema monopolar, observándose en
esta etapa que las soluciones de ambos sistemas de ecuaciones no varían
significativamente a la hora de comparar los patrones polares o de radiación, pero si lo
hacen al comparar los tiempos de ejecución de cada una de las rutinas. Esto llevó a la
determinación de considerar solo un sistema monopolar para resolver el sistema de
ecuaciones (3-27), lo que equivale a eliminar los términos S p f y T p f (utilizados con
relación a los puntos en los cuales la velocidad es dada) junto a las expresiones S~p f y
~
T p f (que permiten solucionar el problema incluyendo los puntos en los cuales se conoce
la impedancia). De esta forma, el nuevo sistema quedo compuesto según la ecuación
(4-1)
 − R 11
 jρ c


 R~ 21


 M


 − R P1

 jρ c
− R 12
jρ c
L
~
R 22
L
M
O
− R P2
jρ c
L
− R 1F 
j ρ c   a1   u 1 
    
    
~  a   0 
R 2F
2
    
×  =  
M  M  M 
    
    
− R PF  a  u 
  F  P
jρ c 
(4-1)
donde
R
f
= H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− senθ f cosφ f , − senθ f sen φ f , − cos θ f )
(3-18)
y
R
R~ p f = H 0( 2 ) ( krf ) + Z f
jρ c
(3-28)
La diferencia en el tiempo de solución entre los sistemas de ecuacione s (3-27) y (4-1) se
explica en que la nueva situación sólo exige un punto de medición (en lugar de tres) por
45
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
cada fuente de radiación. Esto se traduce en el paso de un sistema de ecuaciones de
orden Px3F a uno de sólo PxF, disminuyendo de esta forma el tiempo de operación.
De esta forma se opta por mantener el número original de 120 fuentes, acompañadas esta
vez por sólo 120 puntos de medición. La razón de utilizar esta cantidad de puntos y
fuentes obedece principalmente a la necesidad de poder contar con un número de puntos
que garantice un distanciamiento menor a λ 6 entre ellos para los menores valores de
longitud de onda λ .
Finalmente, a pesar de que la distribución de puntos y fuentes fue hecha sobre el plano
horizontal que pasa por el centro del pistón, como puede apreciarse en las Figuras 4-2 y
4-3, para efectos de solucionar el sistema de ecuaciones se consideró el espacio
tridimensional.
Figura 4-4
Representación grafica de la situación original o caso rígido de la fuente de ruido.
Los puntos negros indican que una impedancia infinita es asignada alrededor de
toda la caja en el plano que pasa por el centro del pistón.
4.3.2
Parámetros contemplados
Con el propósito de obtener resultados independientes de los valores de frecuencia
reales, se adoptó un modelo de programación que tuviera como unidad de medida base
46
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
la máxima longitud l de la fuente de ruido en estudio, considerando de esta forma
nueve diferentes valores de longitud de onda λ : 4 l , 3 l , 2 l , 3 l 2 , l , l 2 , l 3 ,
3 l 10 y l 4 .
Figura 4-5
Representación grafica de las variaciones de impedancia estudiadas: (a) Z S = 0 en la cara frontal
y Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras
caras; (c) Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de
toda la caja en el plano central.
Se analizaron cinco diferentes situaciones de impedancia en la superficie: la situación
original o caso rígido (Figura 4-4), que pretende representar una impedancia Z S = ∞
(caracterizado matemáticamente por el valor Z S = 40.000 newton·s m 3 ), confrontado a
cuatro variaciones:
ZS = 0 ,
Z S = 100 newton·s m 3
y
ZS = ρ0c
(impedancia
47
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
característica) en la cara frontal, Figuras 4-5 (a), (b) y (c) respectivamente, y Z S = 0 ,
en toda las caras alrededor de la fuente, Figura 4-5 (d). En adelante, a menos que se
indique algo diferente, se hará referencia a cada uno de estas variantes como “caso
rígido” o “variación (a), (b), (c) o (d)” según sea el caso
En cuanto al resto de los parámetros utilizados estos fueron: ρ 0 = 1,18 kg m 3 ,
c = 344 m s y una velocidad del pistón u n = 1 m s .
4.4 Resultados gráficos
Las Figuras 4-6 a 4-13 presentan, agrupados según la longitud de onda λ , los diagramas
polares obtenidos para cada una de las variaciones presentadas en la Figura 4-5,
comparadas con el caso rígido.
Como puede observarse a través de los diferentes grupos de figuras, tanto el valor de la
impedancia en la superficie, como la forma en la que esta se encuentra distribuida
alrededor del radiador, afectan la forma de irradiar del sistema.
En primera instancia es posible determinar dos fenómenos claramente marcados para los
diferentes valores de longitud de onda: en los casos tres primeros casos en los cuales la
longitud de onda es mayor que la máxima dimensión de la caja radiante (esto es λ = 4 l ,
3 l y 2 l ), el solo cambio de la impedancia superficial en la cara frontal, variaciones (a),
(b) y (c), no produce un efecto significativo en la forma de radiar del sistema, solo se
observa una pequeña diferenc ia en el nivel radiado en la parte anterior, pero sin mayores
efectos en la forma de radiación total.
Una situación diferente se produce cuando también se utiliza una impedancia Z S = 0 en
las caras laterales y anterior. En estos casos la radiación disminuye en la parte trasera de
la fuente en un valor que oscila entre los 9 y los 12 dB. , afectando
48
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-6
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = 4 l .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
de esta manera, el aspecto del patrón polar observado con respecto al caso rígido. De
esta forma, ya para una longitud de onda λ = 2 l el lóbulo posterior ha desaparecido
completamente, y se mantiene así para longitudes de onda menores. A pesar de esta
marcada diferencia entre la variación (d) y sus predecesoras, en este rango de longitudes
de onda no se aprecia una clara disminución en el valor del ancho de haz. Aún cuando
49
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-7
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = 3 l .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
siempre la mayor diferencia entre el caso rígido y alguna de las variaciones se produce
con la situación (d), las variaciones en este descriptor sólo oscilan entre un 13% para
λ = 4 l (desde C∠ = 184° en el caso rígido, a C∠ = 164° para Z S = 0 en las cuatro
caras) y un 30% para λ = 2 l (con C∠ variando desde 194° a 136° entre ambas
situaciones).
50
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-8
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = 2 l .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
Este comportamiento comienza a variar a medida que disminuyen los valores de λ , de
tal forma que para una longitud de onda igual a 3 l 2 visualmente no es posible apreciar
una diferencia significativa entre la forma de los diagramas (b) y (d), e incluso para
ambos casos el ángulo de cobertura es de 116°.
51
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-9
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = 3 l 2 .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
A partir del valor λ = l un fenómeno diferente comienza a presentarse: la dependencia
en la distribución de la impedancia alrededor de la fuente decae, dando paso a una
subordinación de la radiación al valor de impedancia en la cara frontal.
52
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-10
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = l .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
A contar de la Figura 4-10 es posible observar que el patrón polar de la situación (c)
( Z S = ρ 0 c en la cara frontal), comienza a aumentar su característica directiva por sobre
las tres condiciones restantes, las cuales adoptan comportamientos gráficos similares en
los casos λ = l , l 2 , l 3 , 3 l 10 y l 4 .
53
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-11
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = l 2 .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
Esta diferencia puede cuantificarse por medio del monto de los diferentes ángulos de
cobertura. En el caso λ = l , el valor de C∠ para el caso rígido es de 112°, mientras
que en el caso Z S = ρ 0 c disminuye a 86°. La diferencia se acentúa a medida que
disminuye el valor de la longitud de onda: para λ = l 2 un ancho de haz igual 48°
54
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-12
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = l 3 .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
contrasta con los 160° del caso rígido (Figura 4-11 (c)); para λ = l 3 , C∠ = 34° para la
situación que supone una impedancia característica en el frontis de la fuente, bastante
por debajo de los 126° observados para una impedancia infinita. En el caso λ = 3 l 10
la diferencia es entre los 136° y 30° entre las situaciones rígida y Z S = ρ 0 c en el
55
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-13
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = 3 l 10 .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
frontis, Figura 4-13. Finalmente, para una longitud de onda igual l 4 , la diferencia en el
ancho de haz entre el caso rígido (118°) y la variación (24°), situación (c), alcanza un
valor máximo de 80% entre todos los escenarios planteados.
56
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-14
Diagramas polares simulados para una longitud de onda λ = l 4 .
Se compara la situación rígida con cuatro diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal y
Z S = ∞ en las otras caras; (b) Z S = 100 newton·s m3 en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (c)
Z S = ρ 0 c en la cara frontal, Z S = ∞ en las otras caras; (d) Z S = 0 alrededor de toda la caja en el plano
central.
El comportamiento presente en el rango de las menores longitudes de onda, replantea la
hipótesis de que existe una relación entre el valor de la impedancia superficial usada en
la cara frontal y la forma en la cual radia la fuente en estudio.
Con el fin de estudiar esta posibilidad, el grupo de Figuras 4-15 a 4-22 presenta el valor
57
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
de índice de directividad para un rango de valores de impedancia acústica específica en
la cara frontal. Estos valores se presentan en los tres casos extremos en los que podría
darse Z S : solo una componente real, una componente imaginaria positiva, o caso
reactivo positivo (también denominada impedancia tipo masa) y finalmente, una
impedancia reactiva negativa pura o tipo rigidez. Los valores son presentados en función
de la impedancia característica Z 0 = ρ0 c .
Figura 4-15
Factor de directividad Q, para λ = 4 l , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
De la gran variedad de métodos para medir y calcular Q(f), en este trabajo se ha
considerado una variación del Método de ángulos similares y áreas ponderadas14 . Este
método contempla la utilización de mediciones de nivel de presión sonora (NPS) para
obtener el valor axial de Q(f). Comenzando con 0°, asigna un valor arbitrario de 100 dB
a dicho punto. Se tabulan las diferencias relativas referentes a dicho valor, para cada
punto medido en el plano horizontal con un paso de 10°. El plano vertical se desarrolla
14
Davis , D., Davis, C. “Sound system Engineering”, pp. 116-118.
58
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Figura 4-16
Factor de directividad Q, para λ = 3 l , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
Figura 4-17
Factor de directividad Q, para λ = 2 l , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
59
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
de la misma manera, pero sin considerar los valores de 0° y 180° ya registrados en el
plano horizontal. Cada nivel de presión es convertido a una razón de potencia relativa.
Dicha razón se multiplica por un factor de ponderación proporcional al área que rodea al
punto de medición en términos de una esfera de superficie unitaria. Una vez ponderadas
todas las razones, estas se suman, incluyendo las horizontales y verticales. A
continuación se calcula el nivel de presión sonora ponderado, calculando 10 veces el
logaritmo en base 10 de dicha suma. Luego se sustrae a 100 dB el valor de presión
sonora ponderado recién obtenido y luego de dividir esta diferencia por 10 se calcula el
antilogaritmo. El valor así obtenido corresponde a Q(f) axial.
Figura 4-18
Factor de directividad Q, para λ = 3 l 2 , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
En los primeros casos se repite el fenómeno descrito anteriormente: para longitudes de
onda mayores a la máxima dimensión de la caja, el factor de directividad alcanza sus
mayores dimensiones para bajos montos de impedancia característica en la cara frontal.
Es el caso presentado en las Figuras 4-15 a 4-18. En cada una de ellas el mayor valor de
Q, alcanzado para un valor de Z S distinto de cero, es obtenido considerando sólo la
60
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Figura 4-19
Factor de directividad Q, para λ = l , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
Figura 4-20
Factor de directividad Q, para λ = l 2 , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
61
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
componente real de la impedancia. Cuantitativamente estos valores del factor de
directividad son bastante bajos, solo superando el valor Q =5 para una longitud de onda
igual a 3 l 2 . En cada uno de estos casos el comportamiento de la parte imaginaria de la
impedancia se caracteriza por un alto peak del valor de Q para una impedancia tipo
rigidez igual a cero y una fuerte oscilación del factor de directividad al considerar sólo
una impedancia reactiva positiva, oscilación que disminuye cuando su monto es
equivalente al valor real que produce el máximo valor de Q.
Figura 4-21
Factor de directividad Q, para λ = l 3 , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
A partir del valor λ = l
el factor de directividad hace manifiesta una tendencia a
alcanzar su valor máximo para una impedancia real igual a la impedancia característica
Z 0 = ρ0 c , situación que se hace evidente en el caso de menores longitudes de onda. Es
así, que para valores de λ menores a l el valor de Q se eleva considerablemente
llegando a cifras cercanas a 30, 60 y 40 para los casos λ = l 2 , l 3 y 3 l 10
respectivamente, hasta alcanzar un monto cercano a 90 para l 4 .
62
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Figura 4-22
Factor de directividad Q, para λ = 3 l 10 , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
Figura 4-23
Factor de directividad Q, para λ = l 4 , en función de Z S .
Las curvas se basan en tres diferentes tipos de impedancias: rigidez, real y masa.
63
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
4.5 Mediciones de fuente sonora real
Con el objeto de verificar la validez de los resultados simulados, se construyó un
modelo experimental para medir la directividad de la fuente en campo libre. Las
siguientes secciones describen las características de la fuente utilizada, el tipo de
montaje empleado y los resultados de esta etapa.
4.5.2
Materiales y montaje
La figura 4-24 presenta un esquema del montaje de medición utilizado. Una señal sonora
originada en un generador de tonos puros alimenta al sistema. El nivel de esta señal es
incrementado a través de un amplificador de potencia y luego es conducida al
transductor de salida. La caja acústica utilizada se encuentra sobre una base rotatoria, lo
que permite que un micrófono fijo, ubicado a 1,3 m de la fuente dentro de la sala
anecoica, capte la señal de audio a medida que el bafle gira. La señal es digitalizada a
través de un conversor análogo-digital y posteriormente procesada y almacenada por
medio de un computador. Las mediciones son llevadas a cabo en el interior de una sala
anecoica con el fin de alcanzar las condiciones de campo libre.
La siguiente lista detalla las principales características de los dispositivos utilizados
durante el proceso de medición:
-
Oscilador Brüel & Kjær type 1022.
-
Amplificador de potencia TASCAM PA-20 MK II.
-
Micrófonos de Condensador BEHRINGER / ECM8000.
-
Preamplificador BEHRINGER / ULTRAGAIN MIC 2200.
-
Tarjeta A/D DAS-1802HR/HR-DA de Keithley Metrabyte.
-
Computador Personal PENTIUM III.
-
Líneas necesarias para realizar las conexiones entre los diferentes dispositivos.
64
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Figura 4-24
Esquema del montaje de medición utilizado.
En cuanto la estructura de la fue nte sonora, esta consiste en un bafle construido
alrededor de un parlante de 4 pulgadas de diámetro (aproximadamente 10 cm.). Esta caja
acústica es montada en el interior de un segundo bafle, el cual puede variar su
impedancia superficial en la cara frontal. Detalles concernientes a la construcción del
sistema de bafles puede observarse en la Figura 4-25.
Figura 4-25
Caja cerrada construida alrededor de un parlante de 4”, montada en un bafle diseñado para variar su
impedancia en la cara frontal. Se presenta el sistema de resonadores de λ 4 en dicha zona.
65
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
La situación de una impedancia elevada, se logra mediante la utilización de una cubierta
rígida en la cara frontal de la caja (Figura 4-26 (a)), Eso permite obtener los resultados
equivalentes al caso rígido de la etapa de simulaciones. Por otro lado, el sistema de
resonadores es diseñado para lograr, en tres frecuencias distintas, medir dos de las cuatro
variaciones simuladas en la sección anterior: impedancia igual a cero en la cara frontal
(o variación (a)) y la variación (c), esto es una impedancia con parte reactiva igual a cero
y parte real de un valor equivalente a la impedancia característica, Z S = ρ 0 c en la zona
que rodea al transductor de salida.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-26
Imágenes de las diferentes variaciones del sistema de medición: (a) Caja cerrada o caso rígido. ´
(b) Sistema de resonadores de λ 4 . (c) Variación al sistema de resonadores con
una tela en el extremo abierto. (d) Vista frontal del montaje.
66
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
La impedancia de estos resonadores es medida utilizando el método de la Función de
Transferencia (ISO 10534-2, Parte 2), el cual requiere un tubo de onda plana. El
resultado de las primeras mediciones arroja la existencia de frecuencias de resonancia en
ciertos valores del rango de frecuencia, en las cuales el valor resistivo de la impedancia
es lo suficientemente pequeño como para considerarlo igual a cero. La Figura 4-27
presenta el resultado de la medición de la impedancia en el sistema de tubos. Es posible
apreciar claramente que el valor de la componente real de la impedancia en las
frecuencias de resonancias es cercano cero.
Figura 4-27
Medición de la impedancia en el tubo resonador, sin recubrimiento de ninguna especie. Se
observan tres resonancias en el rango de frecuencias entre 250 Hz y 2000 Hz.
Esto permite entonces reunir las condiciones buscadas para realizar las mediciones
equivalentes a la variación (a). Por otro lado, con el fin de obtener una impedancia real
de un valor igual al de la impedancia característica Z S = ρ 0 c , se instala una tela en la
boca de los tubos, Figura 4–26 (c), lo cual incrementa el valor de la parte real de Z S al
monto buscado. El resultado de la medición de la impedancia, realizada en el tubo de
onda plana para esta situación se presenta en la Figura 4-28.
67
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Figura 4-28
Medición de la impedancia en el tubo resonador cubierto con una tela en su extremo abierto.
Se observan tres resonancias en el rango de frecuencias entre 250 Hz y 2000 Hz.
En cuanto a las tres frecuencias de resonancia encontradas entre los 250 Hz y los 2000
Hz, estas fueron: f 1 = 341 Hz ,
f 2 = 1021 Hz
y
f 3 = 1706 Hz , las cuales son
harmónicos en la relación f 2 ≈ 3 x f 1 y f 3 ≈ 5 x f 1 . Las longitudes de onda de estos
tres casos equivalen a las situaciones λ = 3 l 2 , l 2 y 3 l 10 . De esta forma, se realizan
mediciones en estas tres frecuencias para las siguientes situaciones:
-
Caso rígido: con una cubierta rígida en la zona circundante al transductor de
salida, Figura 4-26 (a), se pretende recrear la situación simulada de una impedancia
infinita. Este caso será, al igual que en la sección anterior, la medición de referencia
a la hora de evaluar los cambios producidos por el sistema de resonadores.
-
Variación (a): con un valor cero de impedancia, tanto para la componente real
como para la parte imaginaria, esta configuración del sistema de resonadores
evidenciará los efectos de una impedancia nula en la forma de radiar de la fuente.
Figura 4-26 (b).
68
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
-
Variación (b): en este caso, el arreglo realizado con los tubos resonadores y una
capa de tela en sus extremos, Figura 4-26 (c), permite que la impedancia en la parte
frontal, alrededor del transductor de salida, tome una valor equivalente a la
impedancia característica ρ 0 c en las frecuencias de resona ncia.
A continuación se presentan los resultados de las mediciones realizadas en las
condiciones anteriormente descritas, agrupadas según la frecuencia f, presentándose
cada una de las variaciones comparadas con el caso rígido correspondiente.
(a)
(b)
Figura 4-29
Diagramas polares medidos para una frecuencia f =341 Hz Se compara la situación
rígida con dos diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal, y
(b) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras.
Si bien el primer grupo de mediciones (Figura 4-29) presenta características bastante
asimétricas, especialmente la variación (a), originadas probablemente por deficiencias
en la medición, o en las características de la sala en este rango de frecuencias, es posible
realizar algunas observaciones en base a ellas: en primer lugar, existen diferencias entre
las mediciones realizadas con el sistema rígido y aquellas llevadas a cabo utilizando
resonadores en la cara frontal. Aun cuando estas diferencias en los niveles medidos no
69
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
son de una magnitud importante (Figura 4-29 (b)), tampoco lo son en las situaciones
calculadas (ver Figura 4-9 (a) y (b)).
(a)
(b)
Figura 4-30
Diagramas polares medidos para una frecuencia f =1021 Hz Se compara la situación
rígida con dos diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal, y
(b) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras.
(a)
(b)
(c)
Figura 4-31
Diagramas vectoriales simulados de intensidad acústica alrededor de la fuente para λ = l 2 :
(a) caso rígido; (b) Z S = 0 en la cara frontal y Z S = ∞ en las otras caras;
(c) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras.
70
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
A partir de la segunda frecuencia de resonancia, f 2 = 1021 Hz , comienzan a percibirse
más claramente los efectos de una impedancia baja en la cara frontal. Tal como ha sido
explicado, una impedancia baja disminuye e incluso puede anular el flujo de energía
acústica tangencial a la superficie que rodea a la fuente. Este efecto puede observarse
más explícitamente en la Figura 4-31, que muestra los resultados simulados del vector
intensidad para una longitud de onda λ = l 2 , equivalente a la frecuencia f 2 . Aquí se
presentan, de izquierda a derecha, los vectores de intensidad para la situación rígida,
impedancia cero en la cara frontal y finalmente impedancia característica ρ 0 c en la
misma superficie.
El mismo efecto puede apreciarse en la Figura 4-32 que presenta la distribución relativa
de presión sonora en el espacio circundante a la fuente de ruido, para la longitud de onda
λ = l 2 . Las curvas isobáricas ayudan a evidenciar la forma en la cual la presión es
repartida alrededor del bafle, y cómo en los casos (b) y (c) los niveles de radiación
disminuyen en las zonas laterales y posterior de la caja.
(a)
(b)
(c)
Figura 4-32
Distribución del nivel de presión sonora alrededor de la fuente para λ = l 2 :
(a) caso rígido; (b) Z S = 0 en la cara frontal y Z S = ∞ en las otras caras;
(c) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras
71
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(a)
(b)
Figura 4-33
Diagramas polares medidos para una frecuencia f =1706 Hz Se compara la situación
rígida con dos diferentes variaciones: (a) Z S = 0 en la cara frontal, y
(b) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras.
En el caso de la tercera frecuencia de resonancia, la situación medida confirma los
efectos de una baja impedancia en la zona alrededor del radiador. Los valores medidos
(a)
(b)
(c)
Figura 4-34
Diagramas vectoriales simulados de intensidad acústica alrededor de la fuente para λ = 3l 10 :
(a) caso rígido; (b) Z S = 0 en la cara frontal y Z S = ∞ en las otras caras;
(c) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras.
72
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(Figura 4-33) muestran un incremento en la directividad del radiador bajo estas
condiciones. Si bien el efecto no es tan pronunciado como en caso de los diagramas
polares simulados (Figura 4-13), es posible detectar marcadas similitudes en la forma de
radiar del sistema.
(b)
(a)
(c)
Figura 4-35
Distribución del nivel de presión sonora alrededor de la fuente para λ = 3l 10 :
(a) caso rígido; (b) Z S = 0 en la cara frontal y Z S = ∞ en las otras caras;
(c) Z S = ρ 0 c en la cara frontal. Z S = ∞ en las otras caras
Del mismo modo que para f 2 , para la tercera resonancia es posible, mediante lo s
vectores de intensidad, comprobar como la energía es redireccionada producto de la
menor impedancia en la zona superficial frontal.
Por razones que serán discutidas en el siguiente capítulo, existe un mayor cambio en la
dirección de la radiación del sonido para una impedancia en la cara frontal igual a la
impedancia característica del aire Z S = ρ 0 c . Dicha situación, observada también en la
segunda frecuencia de resonancia, fue pronosticada por los cálculos realizados para el
factor de directividad en función de los valores de impedancia en la cara frontal (ver
Figuras 4-15 a 4-23).
73
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
5 CONCLUSIONES
El Método de Síntesis por Multipolos ha sido aplicado al estudio de la radiación de una
caja acústica, cumpliéndose así el objetivo general planteado. Si bien dentro de las
motivaciones originales de este trabajo se encontraba además el lograr una modificación
de los patrones de intensidad para radiadores de baja frecuencia, esto no pudo alcanzarse
debido a la calidad de las mediciones realizadas en este rango de frecuencias. Sin
embargo, en el transcurso de esta investigación, se han obtenido resultados de utilidad en
el estudio de los fenómenos de radiación en un espectro mayor.
En primer lugar, se ha observado que la Técnica de Simulación de Fuentes es una
herramienta útil al momento de pronosticar la tendencia de un cuerpo radiante bajo el
conocimiento de ciertas condiciones inherentes tanto a la geometría de la fuente, como a
parámetros mecánico-acústicos de ella. Las dimensiones físicas del cuerpo radiante, la
frecuencia con la que es alimentado, las características de la superficie que lo rodea son,
entre otros, los argumentos necesarios para poder obtener un adelanto de la forma en que
el radiador se relacionara con el medio circundante.
Aún cuando es claro que las situaciones simuladas no son en lo absoluto una predicción
exacta del fenómeno de radiación real, debido principalmente a que ellas se llevan a
cabo considerando puntos y fuentes en un plano de la fuente sonora, si permiten obtene r
una tendencia del comportamiento de esta y de los cambios que sufrirá su modo de
radiar ante la modificación de ciertos parámetros, como la impedancia.
En cuanto a resultados específicos de esta investigación, ha sido posible corroborar en
forma práctica el rol de la impedancia acústica en la manera en la cual una fuente sonora
radia hacia el medio. Ya en la etapa de simulaciones ha sido evidente que tanto el valor,
como la distribución de la impedancia en las superficies que rodean a la fuente,
modifican su manera de irradiar. Aun cuando los resultados obtenidos en dicha etapa
sólo fueron corroborados prácticamente para algunos valores de λ, el comportamiento
74
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
medido permite confiar en que los resultados simulados pueden extrapolarse también a
otros rangos de longitud de onda.
En este aspecto, se observa que para longitudes onda del orden de las dimensiones del
radiador, o mayores, más que el valor que asume la impedancia en las zonas adyacentes
a la fuente, es la forma en la que esta se distribuye alrededor de él lo que altera su
comportamiento: mientras mayor es la zona con una baja impedancia, menos
omnidireccional es la radiación de la fuente. Lo anterior implicaría que, por ejemplo, en
zonas de bajas frecuencias sea posible redistribuir el sonido radiado, mediante la sola
variación de la impedancia acústica en cada una de las caras que componen el radiador.
En cuanto a menores dimensiones de onda, un comportamiento distinto ha sido
apreciado, ya que no es la forma en que la impedancia se distribuye alrededor de la
fuente, sino el valor que esta tiene lo que afecta a la radiación. El fenómeno producido
en esta zona del espectro indica que el valor óptimo de impedancia para producir una
distribución direccional de la energía no es el mínimo valor posible, sino un valor igual a
la impedancia acústica característica del aire ρ 0 c . Una posible respuesta a esta situación
puede encontrase en la teoría electrónica, que explica que la mayor cantidad de energía
es transmitida desde un medio a otro, no cuando la impedancia de carga es mínima, sino
cuando su valor iguala al valor de la impedancia de la fuente.
Este fenómeno debe ser aún más estudiado con el fin de encontrar una respuesta
definitiva. Del mismo modo, permanecen abiertas algunas otras puertas de investigación
relativas al estudio de la radiación, principalmente en el área del diseño de sistemas que
permitan, a un bajo costo, una modificación de la impedancia en superficies o
estructuras, sin alterar la geometría original de estas.
Finalmente, en lo que respecta al Método de Síntesis por Multipolos, permanecen aún
sin respuestas interrogantes básicas del método que permitan solucionar en forma más
eficiente problemas de radiación, entre ellas la búsqueda de la mejor forma de posicionar
75
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
las fuentes en el interior de la superficie radiante, cual es el número óptimo de fuentes y
puntos o en que relación deben estar estos entre si, ya que no existen reglas generales
para la construcción de un sistema de fuentes. Sin embargo, en el transcurso de
investigaciones o trabajos posteriores, las características positivas del método, como la
posibilidad de control que ofrece, o los relativamente bajos tiempos de operación frente
a otros métodos, permitirán encontrar respuesta a estas cuestiones.
76
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
APÉNDICE A
TÉRMINOS BÁSICOS
Presión estática, P0 : la presión estática en un punto del medio es la presión que
existiría en ausencia de ondas sonoras. Con la presión barométrica normal, P0 es
aproximadamente igual a 105 newton m 2 , lo que corresponde a una lectura del
barómetro a 0,751 m de mercurio a una temperatura de 0º C. La presión atmosférica
normal se toma por lo general como de 0,760 m de Hg a 0º C y equivale a una presión
de 1,013 x 105 newton m 2 .
Presión sonora instantánea, p(t) : la presión sonora instantánea en un punto es la
variación incremental de la presión estática causada en un instante de tiempo cualquiera
t por la presencia de una onda sonora.
Presión sonora eficaz, p : la presión sonora eficaz en un punto es el valor cuadrático
medio de la presión sonora instantánea, sobre un intervalo dado de tiempo, en el punto
considerado. En el caso de una presión sonora periódica, el intervalo comprende un
número entero de periodos. En el caso de una presión sonora no periódica, el intervalo es
lo suficientemente largo como para que el valor obtenido sea esencialmente
independiente de la duración del intervalo.
Densidad del aire, ρ0 : la densidad del aire está dada por la expresión:
ρ 0 = 1,29
273 P0
T 0 ,76
kg m 3
77
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
donde T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y P0 es la presión barométrica en m
de Hg. A la temperatura ambiente normal de T = 295º K (22º C), y para una presión
estática P0 =0,751 m de Hg, la densidad ambiental es ρ0 = 1,18 kg m 3 .
Velocidad del sonido, c : La velocidad del sonido en el aire esta dada aproximadamente
por
c = 331,4 + 0 ,607τ
m s
donde τ es la temperatura ambiente en grados centígrados. Para temperaturas superiores
a +30º C o inferiores a -30º C, la velocidad del sonido debe calcularse con la formula
exacta
c = 331,4
T
273
= 331,4 1 +
τ
273
ms
donde T es la temperatura ambiente en grados Kelvin.
Velocidad instantánea de las partículas o velocidad de partículas, u(t) : corresponde
a la velocidad en un punto, debida solamente a la onda sonora, de una parte infinitesimal
dada del medio en un instante determinado. Se mide por encima y debajo del
movimiento del medio como conjunto. Su unidad es el m s .
Velocidad eficaz de partícula, u :
corresponde al valor cuadrático medio de la
velocidad de partícula. Se obtiene en forma equivalente a la presión sonora eficaz.
78
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Velocidad instantánea de volumen, U(t) : la velocidad instantánea de volumen, debida
a la onda sonora solamente, es el caudal instantáneo del medio perpendicularmente a
través de un área especificada S. Es decir, U(t)= S·u(t), donde u(t) es la velocidad
instantánea de partículas. Su unidad es el m 3 s .
Impedancia acústica, ZA : La impedancia acústica en una superficie dada se define
como la relación compleja entre la presión sonora eficaz promediada sobre la superficie
y la velocidad eficaz de volumen a través de dicha zona. La superficie puede ser una
superficie hipotética en un medio acústico, o la superficie móvil de un dispositivo
mecánico. La unidad es el newton·s m 5 o el ohm acústico MKS.
ZA =
p
U
newton·s m 5 .
Impedancia acústica específica, ZS : corresponde a la relación compleja de la presión
sonora eficaz en un punto de un medio acústico o un dispositivo mecánico a la velocidad
eficaz de las partículas en ese mismo punto. La unidad es el newton·s m 3 o rayl MKS.
ZS =
p
u
newton·s m 3 .
Impedancia mecánica, ZM : la impedancia mecánica es la relación compleja entre la
fuerza eficaz que actúa sobre un área especificada de un medio acústico o un dispositivo
mecánico a la velocidad eficaz lineal resultante a través o de tal área, respectivamente.
La unidad es el newton·s m o el ohm mecánico MKS
79
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
ZM =
f
u
newton·s m .
Impedancia característica, ρ 0 c : La impedancia característica es la relación de la
presión sonora eficaz en un punto dado a la velocidad eficaz de las partículas en el
mismo punto, en una onda libre, plana y progresiva. Es igual al producto de la densidad
del medio por la velocidad del sonido en el mismo medio ( ρ 0 c ). La unidad es el rayl
MKS, o newton·s m 3 .
Intensidad sonora, I : la intensidad sonora en un punto según una dirección
determinada es el valor medio de la velocidad de transmisión de la energía a través del
área unitaria perpendicular a la dirección considerada en el punto dado. Su unidad es el
watt m 2 . En una onda plana o esférica, libre y progresiva, la intensidad en la dirección
de propagación es
I=
p2
ρ0c
watt m 2 .
Densidad de energía sonora, D : corresponde a la energía sonora contenida en una
parte infinitesimal del medio dividida por el volumen de esa misma parte. La unidad es
el watt·s m 3 .
Nivel de presión sonora, NPS : el nivel de presión sonora de un sonido, en decibel, es
20 veces el logaritmo de base 10 de la relación de la presión sonora efectiva a la presión
sonora eficaz de referencia, esto es
80
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
p
p ref
NPS = 20 log 10
dB
El valor de la presión sonora de referencia es p ref = 2 x 10 −5 newton m 2 .
Nivel de intensidad, IL :El nivel de intensidad de un sonido, en decibel, es 10 veces el
logaritmo de base 10 de la relación entre la intensidad de este sonido y la intensidad de
referencia.
IL = 10 log 10
I
I ref
dB ,
con I ref = 10 −12
watt m 2 .
Nivel de potencia acústica, PWL : el nivel de potencia acústica de una fuente sonora, en
decibel, es 10 veces el logaritmo de base 10 de la relación entre la potencia acústica
radiada por una fuente y la potencia acústica de referencia.
PWL = 10 log 10
W
Wref
dB , donde Wref = 10 −13 watt .
81
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
APÉNDICE B
DETALLE DE LA OBTENCIÓN DE LA VELOCIDAD
EN EL ESPACIO 2-D
La descripción del problema en dos dimensiones se presenta en la Figura b-1. La presión
p( x , y ) = p( r ,θ ) , dependiente del número de onda k, causada por la superposición de
las F fuentes puede ser escrita de la siguiente forma
F
p( r ,θ ) = ∑ a f H 0( 2 ) ( krf ) + b f H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f + c f H 1( 2 ) ( krf )senθ f (b-1)
f =1
El primer término de la sumatoria describe el monopolo mientras que los otros hacen
mención a dos dipolos perpendiculares entre sí. Hn es la función de Hankel de segundo
tipo ( H n( 2 ) = Bn − jN n ) la cual caracteriza la propagación. En caso de trabajar en el
campo cercano, la función de Hankel debe ser sustituida por la función de Bessel
modificada Kn .
Y
·
(x , y)
Yf
rf
r
yf
·
θf
qf
Rf
θ
Xf
Θ
xf
X
Figura b-1
Descripción de las variables usadas en la solución del problema de radiación en dos
dimensiones. Mientras el sistema de ejes X -Y es la referencia espacial utilizada,
el sistema Xf -Yf se refiere a un sistema de coordenadas solidario a la fuente f.
82
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Aquí r f =
Rf =
(x − x ) + ( y − y )
2
f
2
f
es la distancia entre el tripolo y el punto
(x, y ),
x f + y f es la distancia desde el origen al tripolo, y r es la distancia desde el
2
2
origen al punto ( x , y ) , en el plano X Y.
Para calcular la amplitudes (af , bf , cf) del multipolo es necesario conocer la velocidad
que este produce. Esta está relacionada con la presión en la forma
v n ( r ,θ ) = −
1
n̂ ⋅ ∇ p
jω ρ
(b-2)
donde:
vn es la componente normal de la velocidad;
ρ es la densidad del aire;
ω es la frecuencia angular; y
n̂ es el vector normal en la superficie.
Ya que ∇p se define en el espacio bidimensional como
 ∂p 1 ∂p 
∇p( r ,θ ) =  ,

 ∂r r ∂θ 
(b-3)
y utilizando las relaciones válidas para funciones de Hankel
dC0
= −C 1
dx
(b-4)
dCn 1
= [C n−1 − C n+1 ]
dx
2
(b-5)
83
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
se obtiene
F

∇p( r ,θ ) = ∑ − a f H 1( 2 ) (krf ) k + b f
f =1 
(
)
 1 ( 2)

(2)
 2 H 0 (krf ) − H 2 (krf ) k cosθ f 
(
)
1 ( 2 )

(2)
+ c f  H 0 (kr f ) − H 2 (kr f ) k senθ f  ,
2

−
bf
rf
H 1 ( kr f )sen θ f +
(2)

(2)
H 1 ( krf ) cos θ f 
rf

cf
(b-6)
Haciendo uso además de
Cn +1 ( x ) + Cn −1 ( x ) =
2n
Cn( x )
x
(b-7)
∇p se transforma en
F
bf

∇p( r ,θ ) = ∑ − a f H 1( 2 ) (krf ) k +
H 0( 2 ) ( kr f ) − H 2( 2 ) ( krf ) k cosθ f
2
f =1 
[
[H
2
(2)
0
[H
2
( 2)
0
+
cf
−
bf
]
]
( krf ) − H (2 2 ) ( krf ) k sen θ f ,
]
(krf ) + H 2( 2 ) ( krf ) k senθ f
+
[H
2
cf
( 2)
0

( krf ) + H 2( 2) (kr f ) k cosθ f 

]
(b-8)
84
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Transformación de coordenadas
y
Y
r
θ
θ
f
x
rf
r
θf
X
Figura b-2
Descripción de las variables presentes en el proceso
de transformación de coordenadas.
A través de la transformación de coordenadas:
r
r
x = r cos θ f − θ senθ f
(b-9)
r
r
y = r senθ f + θ cosθ f
(b-10)
∇p( x , y ) , separado en componentes en x e y se transforma en:
F

∇p X = ∑ − a f H 1( 2 ) (krf ) k cos θ f
f =1 
+
bf  ( 2 )
H 0 ( kr f ) − H 2( 2 ) ( krf

2 

) k cos 2θ f

+
bf  ( 2 )

H 0 ( krf ) + H (2 2 ) ( krf ) k sen 2θ f

2 

+
cf  (2)
H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( krf

2 

) k senθ f cosθ f

85
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
−
cf  (2)
H ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf
2  0


) k sen θ f cos θ f 


(b-11)
F

∇p Y = ∑ − a f H 1( 2 ) (krf ) k senθ f
f =1 
+
bf  ( 2 )
H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( krf

2 

) k senθ f cos θ f

−
bf  (2)
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf
2 

) k senθ f cosθ f

+
cf  (2)

H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( krf ) k sen 2θ f

2 

+
cf  (2)


H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf ) k cos 2θ f 

2 


(b-12)
reordenando términos
F

∇p( x , y ) = ∑ a f H 1( 2 ) (krf ) k (− cosθ f , − sen θ f )
f =1 
+
b f  ( 2)
H 0 ( krf ) (k ,0 ) −
2 

H 2( 2) ( krf ) k cos 2θ f − k sen 2θ f , 2k senθ f cosθ f 

(
+
)
c f  ( 2)
H 0 ( krf ) (0, k ) −
2 

H 2( 2) ( krf ) 2k senθ f cosθ f , k sen 2θ f − k cos 2θ f  

(
)
(b-13)
86
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
Finalmente se obtiene
∇p( x , y ) = k
F

∑ a
f =1
f
H 1( 2 ) (krf ) (- cosθ f , − senθ f )
+
bf  ( 2 )

H 0 ( kr f ) (1, 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) (− cos 2θ f , - sen2θ f )

2 

+
cf  (2)

H 0 ( krf ) (0 , 1) + H 2( 2 ) ( krf ) (- sen2θ f , cos2θ f ) 

2 

(b-14)
La velocidad normal resultante de los multipolos luce entonces como:
v( x , y ) = −
1 F
afF f +bfG f + cf H
jρ c ∑
f =1
f
(b-15)
con
F f = H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos θ f , - sen θ f )
Gf =
H
f
=
(b-16)

1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 ) + H (2 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− cos 2θ f , − sen 2θ f ) (b-17)

2


1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1) + H (2 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− sen2θ f , + cos 2θ f ) (b-18)

2

87
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
APÉNDICE C
DETALLE DE LA OBTENCIÓN DE LA VELOCIDAD
EN EL ES PACIO 3-D
Las variables espaciales utilizadas en este desarrollo se describen en la Figura c-3. Aquí
la distancia entre el tripolo y el punto
rf =
(x − x ) + ( y − y ) + (z − z )
2
f
2
2
f
f
(x, y, z )
. Rf =
viene dada por la expresión:
x f + y f + z f es la distancia desde el
2
2
2
origen al tripolo, y r la distancia desde el origen al punto en el plano X Y Z.
.
Z
(x,y,z)
Zf
rf
zf
θf
r
φ
Rf
Yf
f
yf
Xf
Y
xf
X
Figura c-1
Descripción de las variables usadas en la solución del problema de radiación en
el espacio tridimensional. Mientras el sistema de ejes X –Y– Z es la referencia
espacial utilizada, el sistema Xf –Yf –Zf se refiere a un sistema
de coordenadas solidario a la fuente f.
Tal como se describió en la sección 2.1.1 ecuacione s (2-7) y (2-8) la presión viene dada
por
F
p(r, ? ,φ ) = ∑ a f ϕ
f =1
00
+bf ϕ + cf ϕ
C
S
11
11
(c-1)
donde
88
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
ϕ
cos( mφ f )
= H n( 2 ) ( kr f ) Pnm (cos θ f ) 
sen( mφ f )
C,S
nm
(c-2)
representa a las funciones de onda esférica.
La construcción de las funciones de onda esférica
ϕ
C,S
nm
en base a los polinomios de
Legendre y las funciones de Hankel será entonces:
para m=0, n=0
P00 (cos θ ) ≡ 1
H 0( 2 ) ( kr ) = j
ϕ
00
=H
(2)
0
(c-3)
e − jkr
kr
(c-4)
e − jkr f
( kr f ) = j
krf
(c-5)
para m=1, n=1
P11 (cos θ ) = senθ
H1( 2 )( kr ) = −
ϕ
C,S
11
(c-6)
e − jkr
e − jkr
+j
kr
(kr )2
(c-7)
cosφ f
= H 1( 2 ) ( krf ) senθ f 
senφ f
− jkr
 e − jkrf
e f
= −
+j
 krf
(krf )2


cosφ f
 sen θ f 

 senφ f

(c-8)
89
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
De esta forma, la expresión para la presión en el espacio es:
F
p(r, ? ,φ) = ∑ a f H 0( 2 ) ( krf ) + b f H 1( 2 ) ( krf )senθ f cos φ f + c f H 1( 2 ) ( kr f )sen θ f senφ f
f =1
(c-9)
Para calcular la amplitudes (af , bf , cf) del multipolo es necesario conocer la velocidad
que este produce. Esta está relacionada con la presión en la forma
v n ( r ,θ ,φ ) = −
1
n̂ ⋅ ∇p
jω ρ
(c-10)
donde:
vn es la componente normal de la velocidad;
ρ es la densidad del aire;
ω es la frecuencia angular; y
n̂ es el vector normal en la superficie.
En el espacio tridimensional ∇ p(r, ? ,φ ) se define como
 ∂p 1 ∂p
1 ∂p 
∇p(r, ? ,φ) =  ,
,

 ∂r r ∂θ r senθ ∂φ 
(c-11)
y utilizando las relaciones válidas para funciones de Hankel
dH 0
= −H1
dx
(c-12)
dH n 1 

=  H n −1 − H n+1 
dx
2

(c-13)
90
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
se obtiene
F

∇p(r, ? , φ) = ∑ − a f H 1( 2 ) (krf )k
f =1 
+
b f  ( 2)

H 0 (krf ) − H 2( 2) (krf )  k sen θ f cos φ f

2 

+
cf
2
bf
 ( 2)

( 2)
 H 0 (krf ) − H 2 (krf )  k senθ f senφ f ,


H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f cos φ f +
rf
−bf
r f sen θ f
+
cf
rf
H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f senφ f ,
H 1( 2) ( krf ) senθ f sen φ f

( 2)
H 1 ( krf ) senθ f cos φ f 
r f senθ f

cf
(c-14)
Haciendo uso además de
H n +1 ( x ) + H n−1 ( x ) =
2n
Hn( x )
x
(c-15)
∇ p(r, ? ,φ ) se transforma en
F

∇p(r, ? , φ) = ∑ − a f H 1( 2) (krf ) k
f =1 
+
b f  ( 2)

H 0 (krf ) − H 2( 2) (krf )  k sen θ f cos φ f

2 

+
cf  (2)
H 0 (krf ) − H 2( 2 ) (krf
2 
bf  (2)
H 0 (krf ) + H 2( 2 ) (krf

2 

)  k senθ f sen φ f ,


)  k cos θ f cos φ f

91
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
+
cf  (2)
H 0 (krf ) + H 2( 2 ) (krf
2 

)  k cos θ f senφ f ,

− bf
 (2)

H 0 (krf ) + H 2( 2 ) (krf )  k sen θ f senφ f

2 senθ f 

+

 (2)

(2)
 H 0 (krf ) + H 2 (krf )  k sen θ f cos φ f 
2 senθ f 


cf
(c-16)
Transformación de coordenadas
Z
r
·
(r,θ ,φ)
θ
Y
φ
X
Figura c-2
Descripción de las variables presentes en el proceso
de transformación de coordenadas.
La transformación de coordenadas desde un sistema j a un sistema i obedece a la
siguiente relación, donde la repetición de subíndices indica una suma de términos:
a' i =
∂x ' i
aj
∂x j
(c-17)
Así:
92
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
ax =
∂x
∂x
∂x
ar +
aθ +
a
∂x r
∂xθ
∂xφ φ
(c-18)
ay =
∂y
∂y
∂y
ar +
aθ +
a
∂xr
∂xθ
∂xφ φ
(c-19)
az =
∂z
∂z
∂z
ar +
aθ +
a
∂x r
∂xθ
∂xφ φ
(c-20)
Que en caso de los dos sistemas utilizados equivale a:
ax =
∂x
1 ∂x
1 ∂x
ar +
aθ +
aφ
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂φ
(c-21)
ay =
∂y
1 ∂y
1 ∂y
ar +
aθ +
aφ
∂r
r ∂θ
r senθ ∂φ
(c-22)
az =
∂z
1 ∂z
1 ∂z
ar +
aθ +
aφ
∂r
r ∂θ
r senθ ∂φ
(c-23)
Las expresiones que relacionan a los sistemas (x, y, z) con (r, θ , φ ) son
r = x 2 + y2 + z 2
x = r senθ cos φ
y = r senθ sen φ
z = r cos φ
o
θ = arctg
(
x2 + y 2 z
)
φ = arctg( y x )
asi el grupo de expresiones (c-21) a (c-23) se transforma en:
a x = sen θ cos φ ar + cos θ cos φ aθ − senφ aφ
(c-24)
93
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
a y = senθ senφ a r + cos θ senφ aθ + cos φ aφ
(c-25)
a z = cos θ a r − senθ aθ
(c-26)
De esta forma la expresión para ∇ p( x , y , z ) es
∇p( x , y , z ) = k
F

∑ − a
f =1
f
H 1( 2 ) ( krf )senθ f cos φ f
+
bf  ( 2 )

H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( krf ) sen 2θ f cos 2 φ f

2 

+
cf  (2)
H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( kr f

2 

) sen 2θ f senφ f cos φ f

+
bf  ( 2 )
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf

2 

) cos 2 θ f cos 2 φ f

+
cf  (2)
H 0 ( krf ) + H (2 2 ) ( krf

2 

) cos 2 θ f senφ f cos φ f

+
bf  ( 2 )
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf

2 

) sen 2φ f

−
cf  (2)
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf

2 

) senφ f cos φ f ,

− a f H 1( 2 ) ( krf )sen θ f senφ f
+
bf  ( 2 )
H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( kr f

2 

) sen 2θ f senφ f cos φ f

+
cf  (2)
H 0 ( kr f ) − H 2( 2 ) ( krf

2 

) sen 2θ f sen 2φ f

+
bf  ( 2 )
H 0 ( krf ) + H (2 2 ) ( krf

2 

) cos 2 θ f senφ f cos φ f

+
cf  (2)
H 0 ( kr f ) + H 2( 2 ) ( kr f
2 

) cos 2 θ f sen 2φ f

94
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
−
bf  (2)
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf
2 

) senφ f cos φ f

+
cf  (2)
H 0 ( kr f ) + H 2( 2 ) ( kr f
2 

) cos 2 φ f

,
− a f H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f
+
bf  ( 2 )
H 0 ( kr f ) − H 2( 2 ) ( krf

2 

) senθ f cosθ f cos φ f

+
cf  (2)
H 0 ( krf ) − H 2( 2 ) ( krf
2 

) sen θ f cos θ f senφ f

−
bf  (2)
H 0 ( krf ) + H 2( 2 ) ( krf

2 

) senθ f cosθ f cos φ f

−
cf  (2)


H 0 ( kr f ) + H 2( 2 ) ( kr f ) senθ f cosθ f sen φ f 

2 


(c-27)
∇p( x , y , z ) = k
F

∑ − a
f =1
+
f
H 1( 2 ) ( krf )senθ f cos φ f
b f  (2 )
H 0 ( krf ) +
2 

H 2( 2) ( krf ) cos 2θ f cos 2 φ f + sen 2φ f 

(
+
cf
2
(
)
H (2 2 ) ( krf ) − 2 sen 2θ f sen φ f cos φ f
)
,
− a f H 1( 2 ) ( krf )sen θ f senφ f
+
+
bf
2
(
)
H (2 2 ) ( krf ) − 2 sen 2θ f sen φ f cos φ f
c f  (2 )
H 0 ( krf ) +
2 

H 2( 2) (krf ) cos 2θ f sen 2φ f + cos 2φ f  ,

(
)
95
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
− a f H 1( 2 ) ( krf ) cos θ f
∇p( x , y , z ) = k
+
bf 

− 2 H 2( 2 ) ( krf ) senθ f cosθ f cos φ f 

2 

+
cf 

− 2 H 2( 2 ) ( krf ) senθ f cosθ f senφ f  

2 


F
∑ − a
f =1
+
(c-28)
H 1( 2 ) ( kr f ) (senθ f cos φ f , senθ f senφ f , cos φ f )
f
b f  ( 2)
 H 0 ( krf ) +
2 
[
]
,
H 2 ( krf ) cos 2θ f sen φ f + cos φ f
],
H 2 ( krf ) cos 2θ f cos φ f + sen φ f
( 2)
2
2
− 2 H 2( 2) ( krf ) sen 2θ f senφ f cos φ f ,
− 2 H 2( 2) ( krf ) senθ f cos θ f
+

cos φ f 

cf 
 − 2 H (2 2 ) ( krf ) sen 2θ f senφ f cos φ f ,
2 
H 0( 2) ( krf ) +
( 2)
[
2

− 2 H 2( 2) ( krf ) senθ f cos θ f s enφ f 

∇p ( x , y , z ) = −k
F

∑ − a
f =1
−
f
2
(c-29)
H 1( 2) ( krf ) (sen θ f cos φ f , sen θ f senφ f , cos φ f )
b f  (2 )
H 0 ( krf ) (1 , 0 , 0 ) +
2 
96
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
(
H 2( 2) ( krf ) cos 2θ f cos 2 φ f + sen 2φ f ,

− 2sen 2θ f senφ f cos φ f , − 2sen θ f cos θ f cos φ f 

)
−
[H
2
cf
( 2)
0
(krf ) (0 , 1 , 0 ) +
(
H 2( 2) ( krf ) − 2 sen 2θ f senφ f cos φ f ,

cos 2θ f sen 2φ f + cos 2 φ f , − 2 senθ f cos θ f senφ f  

)
(c-30)
La velocidad normal resultante de los multipolos luce entonces como:
v( x , y , z ) = −
1
jρ c
F
∑a R
f =1
f
f
+ bf S f + c f T
(c-31)
f
con
R
f
= H 1( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ (− senθ f cosφ f , − senθ f sen φ f , − cos θ f )
Sf =
1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (1 , 0 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ cos 2θ f cos 2 φ f + sen 2φ f ,

2
(

− 2sen 2θ f senφ f cos φ f , − 2sen θ f cos θ f cos φ f 

)
T
f
=
(c-32)
(c-33)
1  (2)
H 0 ( krf ) n̂ ⋅ (0 , 1 , 0 ) + H 2( 2 ) ( krf ) n̂ ⋅ − 2sen 2θ f senφ f cos φ f ,
2 
(

cos 2θ f sen 2φ f + cos 2φ f , − 2sen θ f cos θ f senφ f 

)
(c-34)
97
Aplicación del Método de Síntesis por Multipolos al cálculo de radiación de cajas acústicas
BIBLIOGRAFÍA
BERANEK, Leo. “Acústica”. 2ª Edición en castellano. Buenos Aires: Ed.
Hispano Americana, 1969. 492 p.
DAVIS, Don, DAVIS, Carolyn. “Sound System Engineering”. Indianapolis:
Howard W. Sams, 1982. 295 p.
FAHY, Frank. “Foundations of Engineering acoustics”. San Diego: Academic
Press, 2001. 443 p.
OCHMANN, Martin. “The Source Simulation Technique for Acoustic Radiation
Problems”. Acustica 81, 1995. pp. 512-527.
98