Problemes_de_triangles_en_general.pdf

EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS1
Aquí teniu una col·lecció d’exercicis i problemes per practicar la resolució de
triangles i ampliar els vostres coneixements. Si el número de l’exercici porta un “*”,
la seva dificultat és superior; si en porta dos “**”, la seva complicació és major. Si
no en porta, qualsevol alumne ha de poder resoldre’l.
A partir del triangle següent:
Resoleu els triangles:
1. a = 33°, β=720, c= 10 cm.
2. a = 6,5 cm, b = 5,1 cm i c= 2 cm.
3. a = 3,4 cm, b = 2,4 cm i γ = 80°.
4. a) a=4,5 cm, b= 6 cm i a= 800;
b) b=8,1 cm, c=8 cm i γ =990.
5. b=7 cm, c=4 cm i γ =40°.
6. a=8,7 cm, b=9,8 cm i α=380.
7. Des d’un cert punt del terra es veu el punt més alt d’una torre formant un angle
de 300 amb l’horitzontal. Si ens apropem 75 metres cap al peu de la torre, aquest
angle és de 600. Trobeu l’alçada de la torre.
8. Un observador situat a la vora d’un riu veu un arbre de l’altra riba sota un angle
de 600. Si s’allunya 20 metres, el veu sota un angle de 200. Trobeu l’alçada de
l’arbre i l’amplada del riu.
9. Un pendent de 50 m de llargària i una inclinació de 13 0 porta al peu d’una
estàtua. Calculeu la seva alçada si sabem que des de l’inici del pendent, l’angle
d’elevació del punt més alt de l’estàtua és de 810.
10. Des de dos punts B i C d’una carretera, separats per una distancia de 270 m,
es veu un arbre A. Sabent que l’angle BCA és de 550 i l’angle CBA de 650, calculeu
la distancia de l’arbre al punt més proper.
11. Per trobar la distancia d’un lloc B a una altra posició A, s’han mesurat una base
BC i els angles ABC i BCA. Si aquestes mesures son 1006 m, 440 i 700,
respectivament, trobeu la distància AB.
12. Un terreny de forma triangular té dos costats de longituds 140,5 m i 100,6 m, i
l’angle oposat al primer és de 400. Trobeu la longitud d’una tanca que el rodegi
totalment.
1
Aquests exercicis i problemes han estat extrets de l’obra: P. Taniguchi, Cómo superar las matemáticas
de 3º de B.U.P., EUNIBAR (Barcelona) 1980. Tot i que aquest llibre de text té molts anys, la col·lecció de
problemes de resolució de triangles és excel·lent i prou completa.
13. Dues boies es troben separades per una distancia de 64,2 m, i un bot està a
74,1 m de la més propera. L’angle que formen les dues visuals del bot a les boies
és de 270 18'. Quina distancia hi ha del bot a la boia més allunyada?
14. Per calcular la distancia AB entre dos punts inaccessibles, es tria arbitràriament
una base CD=235 m i des dels seus extrems es mesuren els angles: ACD =1000 ,
ACB=720 , BDC=850 i BDA=570. Calculeu AB.
15. Dues estacions A i B, situades en costats oposats d’una muntanya, es veuen
des d’una tercera estació C. Es coneixen les distàncies AC=11,5 Km i BC=9,4 Km, i
l’angle ACB=590 30'. Trobeu la distancia entre A y B.
16. Dos observadors en una plana, separats per una distancia de 5 km, troben que
els angles d’elevació d’un globus situat en el mateix pal vertical que ells son de 550
i 580, respectivament. Trobeu la distancia del globus a cadascun dels observadors.
17. a) Calculeu l’àrea del triangle de l’exercici 3.
b) Ídem del 2.
c) Ídem del 1.
d) Ídem del 5.
18. Des d’un punt que dista 3 Km d’un dels extrems d’una illa i 7 Km de l’altre
extrem, es veu l’illa sota un angle de 330 56'. Calculeu la longitud d’aquests illa.
19. Dos costats d’un paral·lelogram mesuren 52,1 m i 68,5 m, respectivament. La
longitud de la diagonal més curta és de 31,6 m. Trobeu la longitud de la diagonal
més llarga.
20*. Les dues diagonals d’un paral·lelogram fan 842 m i 1426 m. El costat més
curt mesura 824 m. Trobeu la longitud del costat més llarg.
21*. Per a mesurar l’amplada x=CD d’un riu, es van mesurar en una vora la
distancia AB=140 m i els angles BAC=900, ABD=380 20' i ABC=500. Trobeu la
distancia x. (Indicació: ABC és un triangle rectangle; C es troba en una vora del riu
D sobre l’altra vora i sobre el costat AC).
22. Un home observa l’elevació d’un globus és de 20 0 30'; aleshores, s’apropa 400
m i l’angle d’elevació és de 560 15'. ¿Quants metres ha de caminar aquest home
per a situar-se sota el globus?
23. Per a mesurar l’alçada a la que es troba un núvol s’han fet simultàniament dues
observacions des dels punts A i B distants entre sí 1 km. Des del punt A, l’angle
d’elevació és de 470 15'. Els angles que les visuals des d’A i B formen amb AB, són
respectivament, 380 14' i 530 20'. Trobeu l’altura del núvol.
24. Des dels llocs d’observació A i B d’un aeròdrom, distants entre sí 840 m, i
situats a 5 m de altura sobre un terreny horitzontal, es fan observacions per a
determinar l’altura d’un dirigible D. Les visuals AD i BD formen amb AB angles de
480 30' i 660 45', respectivament; i la vertical AC forma un angle de 360 amb la
visual AD. Trobeu, a partir d’aquestes dades, l’altura del dirigible.
25. Trobeu l’altura d’una torre tot sabent que un punt C d’ella es troba a 1,5 m del
terra i que en el mateix pla horitzontal de C es mira la torre des de dos punts A i B
de manera que els angles ABC i CAB fan 600 i 450, respectivament. Per una altra
banda, sabem que la distancia AB mesura 35 m i que el punt més alt D de la torre
es veu sota un angle DAC=300.
26. Des d’un punt del pla horitzontal, l’elevació del cim d’un turó és de 450.
Després d’avançar 500 m cap al cim, tot pujant un pendent inclinat de 15 0 respecte
del pla horitzontal, l’elevació és de 750. Trobeu l’altura del turó.
27. Des d’una estació d’esquí B que es troba a la base d’una muntanya, es veu el
seu cim A amb un angle d’elevació de 600; després de caminar un quilometro fins
una altra estació C, en direcció cap al cim i pujant per un pla que forma 300 amb el
pla horitzontal, observem que l’angle BCA és de 135 0. Trobeu l’alçada de la
muntanya.
28. Dos observadors situats en dos punts A i B, a 495 m un de l’altre observen un
avió en el mateix instant. L’angle d’elevació des d’A és 68 025’, i des de B, 55058.2’.
Els angles que les projeccions horitzontals d’ambdues visuals formen amb la recta
AB són: 43027’ en A, i 23045’ en B. Calculeu l’altura la que es troba l’avió.
29. Un observador es troba a la vora d’un escarpat, a 75 m sobre el nivell del mar.
Des d’aquest lloc pren ela angles de depressió dels punts extrems del llac: 8015’ i
4045’. Si l’angle entre les dues visuals és 98040’, quina és la longitud del llac?
30*. D’un quadrilàter ABCD es coneixen les dues diagonals AC i BD, que fan
respectivament 6 i 5 metres, i els dos costats AB=2,7m i AD=BC=4m. Trobeu el
quart costat i els angles del quadrilàter.