Inversa por metodo de Gauss

MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A de orden n . Se dice que es invertible, o que tiene matriz
inversa, si existe otra matriz, que designaremos por A- 1 tal que:
A·A-1 = A-1·A = In
(donde In es la matriz unidad de orden n)
Las matrices invertibles se denominan también regulares.
Si una matriz no tiene inversa, se denomina no regular o singular.
A la matriz A-1 , cuando exista, la llamaremos matriz inversa de A. Si
existe A-1 es única.
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
Para obtener la matriz inversa de una matriz A, construimos la (A/In) en la que
realizaremos las operaciones elementales por filas para transformarla en la
matriz(In / A- 1 )
 a11

 a21
a
 31
a12
a13
a22
a23
a32
a33
1 0 0

0 1 0
0 0 1 
1 0 0

⇒ 0 1 0
0 0 1

b11
b12
b21 b22
b31 b32
b13 

b23 
b33 
JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ
1
Donde:
 b11 b12

 b21 b22
 b
 31 b32
b13 

b23  = A−1 Es la matriz inversa de A
b33 
Ejemplo: Obtener por el método de Gauss la matriz inversa de:
 1 2 1


A =  2 4 3
 3 5 2


1 2 1

2 4 3

3 5 2
Realizamos las operaciones por filas necesarias:
1 0 0

0 1 0
0 0 1 
F '2 = F2 − 2 F1
1 2 1

F '3 = F3 − 3 F1
  →  0 0 1

 0 − 1 −1
0 0

− 2 1 0
− 3 0 1 
1
Intercambiamos el orden de la 2ª y 3ª filas y multiplicamos por -1 la 2ª
1 2 1

 0 −1 −1
0 0 1

0 0

−3 0 1
−2 1 0
1
1 2 1

F '2 = (−1 )F2
→  0 1 1
0 0 1

0 0

3 0 −1
−2 1 0 
1
JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ
2
1 2 1

0 1 1
0 0 1

0 0

F '1 = F1 − 2 F2
→
0 −1 
− 2 1 0 
1
3
F '1 = F1 − F3
1 0 0

F '2 = F2 − F3
  →  0 1 0
0 0 1

 1 0 −1

0 1 1
0 0 1

−5 0 2 

3 0 −1
− 2 1 0 
−7 1 2 

5 −1 −1
− 2 1 0 
La matriz inversa es:
A −1
 −7 1 2 


=  5 − 1 − 1
 −2 1 0 


JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ
3