EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2000 TEORIA 1.- Definición de álgebra de Boole.

EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2000
TEORIA
1.- Definición de álgebra de Boole.
DefÃ−nanse todos los conceptos que intervienen en la definición anterior.
Demuéstrese que si a,b,c son tres elementos de un retÃ−culo A, entonces
Demuéstrese que en un retÃ−culo complementado el complementario de un elemento es único
2.- Sean E1, E2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Demuéstrese que E1 y E2 están en
suma directa precisamente si E1E2={0}
PROBLEMAS
1.- a) Sean f(A,B,C) y g(A,B,C) dos proposiciones compuestas de tal forma que la proposición es siempre
falsa. Construir la tabla de verdad para las proposiciones fg, fg, y
b) Comprobar que las funciones booleanas siguientes son iguales:
2.- Consideramos los subespacios de siguientes:
V1 ={(x,y,z,t)/x-y+z-t=0, x+2y+2z+4t=0},
V2 =<(2,-1,-2,1),(1,0,0,1)}
• Calcular sus ecuaciones paramétricas e implÃ−citas, bases y dimensiones
• ¿Son V1 y V2 suplementarios?
• Ampliar una base de V1 a una base de
• ¿Cuánto han de valer los parámetros para que el vector pertenezca a V1?.¿ Y a V2?,¿ Y a ?
3.- Consideremos las actividades A(1), B(2), C(1), D(0.5), E(0.5), F(1), G(1), H(3), I(2) y J(1) y las siguientes
relaciones de precedencia: A antes que C y D; J después de B; C y E antes que F; D antes que E y G; H e I
después de F y G; I antes que J. Construir el grafo PERT asociado, calculando todas las flechas y las rutas
crÃ−ticas. Se hace un control a los tres dÃ−as y se observa que a la actividad B le queda un dÃ−a para
terminar y que H lleva un dÃ−a desarrollándose. Construir el nuevo grafo PERT y las nuevas rutas
crÃ−ticas.
4.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado posible para la siguiente función booleana:
b) ¿El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 2 cuya derivada es nula es un subespacio
vectorial de P2[x]? (razona la respuesta). En caso afirmativo, calcula las ecuaciones, la dimensión y una
base del mismo.
TEST EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2000
1
1.- Sea A={(x,y)Se define en A la siguiente relación(x,y)R(x', y')
El elemento (1,2) es:
• no es maximal
• minimal
• ninguna de las anteriores
2.- Sean E1=<(1,2,1), (2,1,2)>, E2=<(1,1,1) > dos subespacios vectoriales de . Entonces:
• E1 y E2 están en suma directa
• Dim(E1+E2)=2
•
3.- Sean E1 , dos subespacios suplementarios y sean otros dos subespacios suplementarios. Si ,entonces:
• E1=E2
• Dim(E1)=dim(E2)
•
4.- Sean E1={(x,y,z,t)/x+2y+3z-t=0, 2x+y+z=0}, E2=<(1,1,1,6)> dos subespacios de Entonces:
• E1+E2=E2
• E1 y E2 están en suma directa
5.- El número de paquetes de diferente contenido, no vacÃ−os, que se pueden hacer con cinco caramelos de
diferentes sabores es:
• 32
• 31
• no se puede calcular con estos datos
6.- Sea f:Euna aplicación lineal epiyectiva tal que Ker(f)=<(1,2,1)>. Entonces dim(Ker(f)+Im(f)) es:
•3
•2
• no se puede calcular
7.- Sea la aplicación definida por f(x)=2x+x2. Entonces f es:
• inyectiva
• epiyectiva
• biyectiva
8.- Sea f: la aplicación lineal tal que f(1,1)=(2,1), f(0,2)=(0,3). Entonces f(4,6) vale:
• (8,7)
b)no se puede calcular con estos datos
c)(4,6)
9.- Sea f: la aplicación definida por f(1,0,0)=f(0,1,0)=f(0,0,1)=(2,1,1) Entonces:
2
• (2,1,1)Im(f)
• f es epiyectiva
• (0,1,-1) Ker(f)
10.- Sea f: una aplicación lineal Entonces:
• Si entonces f es epiyectiva
• Si entonces f es inyectiva
• Si f es inyectiva entonces
EXAMEN ALGEBRA 2º PARCIAL 2000
TEORIA
1.- Demuéstrese que si E' es un subespacio vectorial de dimensión k de un espacio vectorial de E de
dimensión n, entonces la dimensión de su incidente es n-k
2.- Criterio de diagonalización con el polinomio anulador. Enunciado y demostración
PROBLEMAS
1.- Sea Pn[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n, Consideremos la
aplicación lineal tal que , para todo .
• Calcular la matriz f respecto a las bases canónicas de ambos subespacios. Calcula las dimensiones y
ecuaciones (paramétricas e implÃ−citas) de Ker(f) e Im(f). ¿Es f una aplicación inyectiva?. Razona la
respuesta.
• Dadas las bases B={-3+2x, -2+x+3x2, 1} de P2[x] y C={-3+8x, 1} de P1[x], calcula la matriz respecto a
dichas bases. Calcula, usando matrices de cambio de base, las coordenadas de f(x+x2) en la nueva base.
2.- a) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
b)Discutir el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro a:
3.- Sea {e1,e2,e3} una base del espacio en el que se ha definido un producto escalar de tal forma que respecto
a él se verifican los siguientes hechos:, ang(e1, e2)= ang(e1, e3)=, ang(e2, e3)=. Calcular un vector de
V=<e2, e1+e3> que sea ortogonal a e1-e3. ¿Se pueden encontrar dos vectores linealmente independientes de
V que sean ortogonales a e1-e3?
4.- a) La empresa El Ladrillo S.A debe construir dos tipos de chalet, A y B. Los beneficios que obtiene por
cada tipo de chalet son 10 y 15 millones, respectivamente. Hay una cierta restricción respecto a los
materiales: el chalet A requiere 2 Tm. de acero, 1 Tm. de tejas y 1 Tm. de hormigón, mientras que el chalet
B necesita 1 Tm. de acero, 2 Tm. de tejas y 1 Tm. de hormigón. Sin embargo, la empresa constructora sólo
puede contratar por año 16 Tm. de acero, 16 Tm. de tejas y 10 Tm. de hormigón. ¿Qué número de
chalet ha de construir la empresa para obtener máximos beneficios en el año?
• Calcula las coordenadas en la cual la base canónica dual de la forma lineal tal que
TEST ALGEBRA 2º PARCIAL 2000
3
1.- Sean B1={e1=(1,0), e2=(0,1)} y
B2= dos bases de y sean ={w1, w2}, sus bases duales, respectivamente. Las coordenadas de respecto de son:
• 1,-1
• 25,-9
• 5,-3
3.- Sea B={(a,0),(0,1)} una base de y sean u y v los vectores de coordenadas (2,1),(3,2) respecto de B,
respectivamente. Si u.v=8 y u.u=5; entonces a vale:
•0
•
4.- Sea T un endomorfismo de tal que T3=T, entonces:
• T no diagonaliza
• T no es inyectivo
5.- Sea T un endomorfismo de y sean e1, e2 dos vectores propios de valor propio , y e3 un vector propio de
valor propio . Si e1(e2+e3)=0, entonces:
• T diagonaliza
• No hay una base de vectores propios
• Ninguna de las anteriores
6.- Si es la matriz de un endomorfismo T respecto de la base {(2,0),(0,3)} y es la matriz de T respecto de la
base ordinaria de entonces a vale:
•2
•0
• no se puede calcular con estos datos
7.- Si AX=B es un sistema compatible determinado, entonces:
• A es una matriz cuadrada
• A es una matriz simétrica
• Ninguna da las anteriores
8.- Sea B={e1,e2,e3} una base de respecto de la cual la matriz del producto escalar es . El ángulo formado
por los vectores e2 y e3 es:
•
9.- Sea T un endomorfismo de y e1=(1,1), e2=(9,4) dosa vectores propios de T de valor propio 1, Si AT(x) es
el polinomio anulador de T y CT(x) es el polinomio caracterÃ−stico de T, entonces:
• T no diagonaliza
• Grado[AT(x)]=grado[CT(x)]
• Grado[AT(x)]=1
10.- Si T es un endomorfismo de de valores propios 1,2,3 entonces T:
4
• no es inyectivo
• no es epiyectivo
• es biyectivo
FINAL FEBRERO 2000 ALGEBRA
TEORÃ A:
1.- Demostrar que si es una aplicación lineal, entonces Ker(f) es un subespacio vectorial de E
2.- Teorema del rango: enunciado y demostración
PROBLEMAS:
1.- Examinamos a cuatro alumnos A, B, C, D. Durante el examen dichos alumnos se sitúan de la siguiente
manera: C detrás de A y D detrás de B. Ocurre que C y D saben copiar muy bien del que está delante de
forma que no les vea nadie, es decir, aprobarán en caso de que el que esté delante de ellos apruebe.
Utilizando los diagramas de Karnaugh, dar la expresión más simple qué alumnos han de saberse el
examen para que
aprueben tres alumnos y sólo tres.
2.- Estudiar para los distintos valores de a y b el sistema:
Resolverlo cuando sea compatible
3.-a) Se considera el homomorfismo de espacios vectoriales definido de la forma siguiente: f(x,y)=(x+y, x-y,
x+2y)
Calcular las ecuaciones paramétricas de Ker(f) y las implÃ−citas de Im(f)
Hallar la matriz de f respecto de las bases {(1,2), (2,0)} de y {(1,0,0), (0,2,0), (0,0,3)} de
b)Consideremos en los subespacios:
V={(0,y,z)/ y,z} W={(1,1,1), (1,2,3)}
Determinar su suma y hallar una base de la misma
4.- (1) Sea E el espacio vectorial de los polinomios sobre Definimos:
• Demostrar que f es producto escalar
• Demostrar que existe un polinomio de grado dos en E que es ortogonal a 1 y a x
(2) Se considera con el producto escalar usual. Aplicar el método de ortonormalización de Gram.Schmidt
a los vectores u=(4,3) y v=(3,4) para obtener una base ortonormal
TEST FINAL FEBRERO 2000 ALGEBRA
5
1.- Se define en Z la siguiente relación: mnm.n=,Z. Entonces
• es una relación de orden parcial
• es una relación de equivalencia
• no es una relación reflexiva
2.- Sean ,
.los vectores (2,1,1),(1,-1,3) son un sistema de generadores de:
• un suplementario de E1+E2
• un suplementario de E2
• ninguna de las anteriores
3.- Sea E1=<(2,1,-1),(3,1,0)> un subespacio de y sea E2=<(5,2,a)> otro subespacio. SiE1+E2, entonces a
vale:
• -1
• -1
• no se puede calcular con estos datos
4.- Sea A=
Se define en A la siguiente relación:. El elemento (0,0) es:
• el último elemento
• minimal
• ninguna de las anteriores
5.-Sea una aplicación lineal, y sean e1, e2, ...,e5 vectores de . Si f(e1),...,f(e5) no es un sistema de
generadores de , entonces:
• f es inyectiva
• f es epiyectiva
• ninguna de las anteriores
6.- Sea T un endomorfismo de tal que T2=-T. Los valores propios de T son:
• 0,1
• 0,-1
• no se puede calcular con estos datos
7.- Si AX=B no es un sistema compatible, entonces:
• A es una matriz cuadrada
• Número de filas linealmente independientes de Anúmero de columnas linealmente independientes de A
• Ninguna de las anteriores
8.- Si no es la matriz de un cambio de base, entonces a es:
•5
•5
6
• no se puede calcular con estos datos
9.- Si es la solución general de una ecuación diferencial, dicha ecuación es:
• y'''-4y''+4y'=0
• y''-4y'+4y=0
• ninguna de las anteriores
10.- Sea {e1,e2} una base de y sean e=2e1, v=3e2 dos vectores. Si , entonces {e1,e2}:
• es una base ortonormal
• no es una base unitaria
• no es una base ortogonal
FINAL SEPTIEMBRE 2000
PROBLEMAS
1.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado posible para la siguiente función booleana:
Se desea lanzar al mercado un nuevo tipo de ordenador para lo cual se debe diseñar una nueva placa base,
una nueva torre y una serie de periféricos nuevos a juego con la torre. Los ingenieros necesitan 3 meses
para diseñar la placa, 2 meses para la torre y 5 meses para los periféricos. Una vez creado el prototipo de
ordenador será preciso realizarle varias pruebas técnicas y simultáneamente, una serie de pruebas de
mercado, para que se ajuste al gusto de los consumidores. Los últimos retoques se realizarán durante 3
meses, y el nuevo modelo ya estará listo para salir al mercado. Las pruebas técnicas durarán 1 mes y las
de mercado 4 meses. Las pruebas técnicas y de mercado, evidentemente son posteriores a los diseños. El
ajuste final no es posible si no se han culminado todas las actividades.
Elaborar la tabla de precedencias, el grafo PERT asociado, determinar la duración del proyecto y las rutas
crÃ−ticas. ¿SerÃ−a posible disminuir la duración actual en 1 mes? Razona y comprueba tu respuesta.
2.- Consideremos en los subespacios siguientes:
• Calcula las bases y las dimensiones de los tres subespacios.
• Calcular una base de .
• Calcular las ecuaciones paramétricas e implÃ−citas de . Ampliar su base
• Calcular el valor del parámetro para que el vector pertenezca a
3.- Sea la base canónica de y una base de . Sea T el endomorfismo definido por:
• Calcular la matriz del endomorfismo T en la base B'
• Calcular una base del KerT y las ecuaciones implÃ−citas de la ImT en la base B
• Calcular un vector perteneciente al subespacio que sea ortogonal al vector
4.- Calcular los valores del parámetro para los cuales el endomorfismo definido por T diagonaliza sobre .
Calcular para =2, si es posible, , utilizando matrices de diagonalización.
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