uλ . λ λ

Prueba de Evaluación Continua
Grupo C
11-05-11
APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN.
-
1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces:


 


R
u
 0 que verifica f  u    u .
Si
es un valor propio de f existe un vector
-

 
Los vectores del núcleo son aquellos que verifican f  u   A  u  0 .
-
El polinomio característico de A es | A - ·In |.
-
Una aplicación f: V→ W entre dos espacios vectoriales es lineal si verifica:
1)
 


 
f  u  v   f  u   f  v  u , v  V
2)



f    u     f  u  u  V y   R
,
,
( 0.5 puntos )
2- Sea f : V  V una transformación lineal.
-



Un vector x  V es INVARIANTE si f  x   x .
Un subespacio vectorial F  V es un subespacio invariante por f cuando

decir, para todo vector v  F .se verifica
f  F   F , es

f v   F .
- Dos matrices cuadradas A y A’  M n son semejantes cuando existe una matriz regular
P 0,
-1
tal que A´=P AP .
( 0.5 puntos )
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
 3 1 0
3- Sea A   1 5 1  la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica
 2 1 0


de R3, y sea g(x, y, z) = (x+z, y, x+y). Entonces:
-
La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z) =
 3x  y, x  5 y  z , 2 x  y 
.
-
1

M  0
1

5

N  1
4

La matriz asociada a la aplicación g es:
La matriz asociada a la aplicación lineal g  f es
0 1

1 0
1 0 
2 0

5 1
6 1 
(1 punto)
2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f  x, y, z     x  z, 7 x  4 y  13z, x  3z 
Se pide
a) Hallar una base del subespacio Im(f).
b) Hallar la dimensión del núcleo de f.
c) Clasificar f.
d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f),

 0  ? ¿Cuáles?
e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes.
f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué?
(0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos)
En
primer
lugar
calculamos
la
matriz
del
endomorfismo
f  x, y, z     x  z, 7 x  4 y  13z, x  3z  para ello hallamos las imágenes de los vectores de
la base canónica f 1,0, 0    1, 7,1 , f  0,1, 0    0, 4, 0  , f  0, 0,1   1,13, 3 , por tanto,
 1 0 1 


A   7 4 13  es la matriz de f respecto de la base canónica.
 1 0 3 


U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A.
 1 0 1 


Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r  7 4 13   3 por tanto los tres
 1 0 3 


vectores columna forman una base de R3, así pues, el subespacio imagen de f es R3.
b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f)=0.
c) Si dimN(f)=0  f es biyectiva.
d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de
A, así pues, calculamos dichos subespacios.
Pλ(A) = | A - λ·I3| = (4 - λ)·(λ + 2)2, por tantos, λ = 4 simple y λ = -2 doble son los valores propios
de A luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = 4 y Vλ = - 2.
e) Por no existir el valor propio λ = 1 podemos afirmar que el subespacio de vectores

invariantes es 0 .
 
f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios.
La multiplicidad algebraica de λ = - 2 es dos.
Hallamos ¿Vλ = -2?
 x  0
   
La solución del sistema de ecuaciones  A  (2)I3   y    0  es
 z  0
   
x = t, y = -t, z=t, y Vλ = -2= < 1, -1, 1 )>  dim (Vλ = -2) = 1  2, por tanto el endomorfismo NO es
diagonalizable.
 3 2 0 


3.- Dada la matriz A   2 3 0  correspondiente a un endomorfismo f, se pide:
 0 0 5


a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal
y semejante con A.
2 puntos.
b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A.
3
c) Hallar la base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D.
1 punto.
1 punto.
(4 puntos)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
3   2
0
0  (1  )(  5)2
a) El polinomio característico de A es PA     2 3  
0
0
5
Los valores propios son λ = 1 simple y λ = 5 doble.
 2 2 0  x   0 

   
Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son solución del sistema  2 2 0  y    0   x = t,
 0 0 0  z   0 

   
y = - t y, z = s, por tanto, dim Vλ=5 = 2 y una base de Vλ=5 es {(1, -1, 0), (0, 0, 1)>.
Por coincidir el orden de multiplicidad algebraica y geométrica de ambos valores propios la matriz
A es diagonalizable.
5 0 0


Una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D   0 5 0  .
0 0 1


b) La matriz P de paso está formada por una base de vectores propios de A.
 2 2 0  x   0 

   
Hallamos Vλ=1. Los vectores de Vλ=1 son solución del sistema  2 2 0  y    0   x = t,
 0 0 4  z   0 

   
y = t y, z = 0 y una base de Vλ=1 es <(1, 1, 0))>.
La matriz de paso correspondiente es
 1 0 1


P   1 0 1 
 0 1 0


c) Una base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es
{(1, -1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0)}.
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Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Prueba de Evaluación Continua
Grupo A
10-05-11
APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN.
1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces:
-
Las soluciones de | A – λ·I | = 0 son los valores propios de A.
-


 
u  0 asociados a λ, son aquellos que verifican f  u    u .


 
Si   R es un valor propio de A existe un vector u  0 que verifica Au   u
-
 




Si u1 , u2 ,..., un forman un sistema generador de Vn, entonces f (u1 ), f (u2 ),..., f (un )
-
Los vectores propios
forman un sistema generador de Im(f) .
( 0.5 puntos )
2- Si f: V → W es una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales

 
u  V tales que f  u  =0W .
- Se llama N( f ) al conjunto

-
Se llama Im(f) al conjunto





 v W tales que existe u V verificando f  u  =v  .
( 0.5 puntos )
 2 0 3
3- Sea A   1 2 1  la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica de
 0 1 0


R3, y sea g(x, y, z) = (x, z, x+y). Entonces:
-
-
-
La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z) =
La matriz asociada a la aplicación lineal g es:
La matriz asociada a la aplicación lineal g  f es:
 2 x  3z, x  2 y  z, y 
1 0 0


M  0 0 1
1 1 0


 2 0 3


N  0 1 0
 3 2 4


( 1 punto )
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f  x, y, z    z, 2 x  4 y  5 z,  x  2 z 
Se pide
a) Hallar una base del subespacio Im(f).
b) Hallar la dimensión del núcleo de f.
c) Clasificar f.
d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f),

0 ? ¿Cuáles?
 
e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes.
f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué?
(0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos)
SOLUCIÓN.
En
primer
lugar
calculamos
la
matriz
del
endomorfismo
f  x, y, z    z, 2 x  4 y  5 z,  x  2 z  para ello hallamos las imágenes de los vectores de la base
canónica
f 1, 0, 0    0, 2, 1 , f  0,1, 0    0, 4, 0  , f  0, 0,1  1,5, 2  ,
por
tanto,
 0 0 1


A   2 4 5  es la matriz de f respecto de la base canónica.
 1 0 2 


a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A.
 0 0 1


Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r  2 4 5   3 por tanto los tres
 1 0 2 


3
vectores columna forman una base de R , y por tanto, el subespacio imagen es R3.
b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f) = 0.
c) Si dimN(f) = 0  f es biyectiva.
d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de A.
Pλ(A) = | A - λ·I3| = (4 - λ)·(λ - 1)2, por tanto, λ = 4 simple y λ = 1 doble son los valores propios de
A, luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = 4 y Vλ = 1.
e) Por existir el valor propio λ = 1 podemos afirmar que el subespacio de vectores invariantes es
 x  0
   
Vλ = 1, siendo la solución del sistema de ecuaciones  A  1·I3   y    0 
 z  0
   
x = t, y = -t, z = t, y Vλ = 1= < 1, -1, 1 )>
f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios.
La multiplicidad algebraica de λ = 1 es dos y Vλ = 1= < 1, -1, 1 )>  dim (Vλ = 1) = 1  2, por tanto
el endomorfismo NO es diagonalizable.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
3 0 0


3.- Dada la matriz A   0 2 3  correspondiente a un endomorfismo f, se pide:
 0 3 2


a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal
y semejante con A.
2 puntos.
b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A.
1 punto
c) Hallar la base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D.
1 punto
SOLUCIÓN
3
0
0
2
3  (3  )(  1)(  5)
a) El polinomio característico de A es PA     0
0
3
2
Los valores propios son λ= 5, λ = 3 y λ = -1 valores reales y distintos entre sí, así pues la matriz A
5 0 0 


es diagonalizable y una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D   0 3 0  .
 0 0 1


b) Calculamos la matriz P de paso que está formada por una base de vectores propios de A.
 2 0 0  x   0 

   
Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son la solución del sistema  0 3 3  y    0  
 0 3 3  z   0 

   
x = 0, y = t, z = t, por tanto, una base de Vλ=5 es {(0, 1, 1)}.
 0 0 0  x   0 

   
Hallamos Vλ=3. Los vectores de Vλ=3 son la solución del sistema  0 1 3  y    0  
 0 3 1 z   0 

   
x = t, y = 0 y, z = 0 y una base de Vλ=3 es {(1, 1, 0)}.
 4 0 0  x   0 

   
Los vectores de Vλ= - 1 son la solución del sistema  0 3 3  y    0   x = 0, y = t, z = - t
 0 3 3  z   0 

   
luego una base de Vλ= - 1 es {(0, 1, - 1)}.
Una matriz de paso es
0 1 0 


P  1 1 1 
 1 0 1


3
c) Una base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es
{(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, -1)}.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
Prueba de Evaluación Continua
Grupo B
11-05-11
APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN.
1- Si A es la matriz asociada al endomorfismo f en cierta base entonces:
-
 


 es un valor propio de A si y solo si existe u  0 tal que Au   u .
 
Los vectores del núcleo de f son aquellos que verifican Au  0 .
 


Los vectores propios u  0 asociados al valor propio λ, son aquellos que verifican Au   u .
-
¿Qué relación existe entre Im(f) y el rango de A? rango de A igual que dimensión de Im(f).
2-
( 0.5 puntos )
 W es una aplicación lineal, entonces se verifican las siguientes propiedades:
Si f: V 
-
Si H es un subespacio vectorial de V, entonces f(H) es subespacio vectorial de W.
-
Si G es un sistema generador de V, entonces f(G) es un sistema generador de Im(f).
-
Si B es una base de V, entonces f(B) es un sistema generador de Im(f).
-
( 0.5 puntos )
 2 1 0
3- Sea A   0 5 1  la matriz asociada a una aplicación lineal f, respecto de la base canónica de
 3 1 0


R3, y sea g(x, y, z) = (x+z, y, x+y). Entonces:
-
-
-
La aplicación lineal que tiene por matriz A es f(x, y, z)=(2x+y, 5y+z, 3x+y).
La matriz asociada a la aplicación lineal g es:
La matriz asociada a la aplicación lineal g  f es
( 1punto )
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
1 0 1


M  0 1 0
1 1 0


 5 2 0


N  0 5 1
 2 6 1


Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
2.- Dado el endomorfismo de R3 definido por f  x, y, z    3x  z, 2 x  y  5 z,  x  z 
Se pide
a) Hallar una base del subespacio Im(f).
b) Hallar la dimensión del núcleo de f.
c) Clasificar f.
d) ¿Existen subespacios invariantes distintos de R3, N(f), Im(f),

 0  ? ¿Cuáles?
e) Hallar el subespacio de los vectores invariantes.
f) ¿Es diagonalizable el endomorfismo f?, ¿por qué?
(0.5 puntos cada apartado. Total 3 puntos)
2.-
En
primer
lugar
calculamos
la
matriz
del
endomorfismo
f  x, y, z    3x  z, 2 x  y  5 z,  x  z  para ello hallamos las imágenes de los vectores de la
base
canónica
f 1, 0, 0    3, 2, 1 , f  0,1, 0    0,1, 0  , f  0, 0,1  1,5, 1 ,
por
tanto,
 3 0 1 


A   2 1 5  es la matriz de f respecto de la base canónica.
 1 0 1


a) Un sistema generador del subespacio imagen está formado por las columnas de la matriz A.
 3 0 1 


Para obtener una base hallamos el rango de la matriz A, r  2 1 5   3 por tanto los tres
 1 0 1


3
vectores columna forman una base de R , y por tanto, el subespacio imagen es R3.
b) Si tenemos en cuenta que dimR3 = dimN(f) + dim Im(f) obtenemos que dimN(f)=0.
c) Si dimN(f)=0  f es biyectiva.
d) Otros subespacios invariantes son los subespacios propios asociados a los valores propios de A.
Pλ(A) = | A - λ·I3| = (1 - λ)·(λ + 2)2, por tanto, λ = 1 simple y λ = -2 doble son los valores propios de
A luego existen otros dos subespacios invariantes Vλ = -2 y Vλ = 1.
e) Por existir el valor propio λ=1 podemos afirmar que el subespacio de vectores invariantes es
 x  0
Vλ=1. La solución del sistema de ecuaciones  A  1·I3   y    0  es x=0, y=t, z=0, y Vλ = 1= <(0,1,0)>
   
 z  0
   
f) Veamos si coinciden la multiplicidad algebraica y geométrica de los valores propios.
La multiplicidad algebraica de λ = -2 es dos.
 x  0
Hallamos ¿Vλ = -2? La solución del sistema de ecuaciones  A  (2)I3   y    0  es x=t, y=-t, z=t,
   
 z  0
   
y Vλ = -2= < ( 1, -1, 1 ) >  dim (Vλ = -2) = 1  2, por tanto el endomorfismo NO es diagonalizable.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
 3 2 0 
3.- Dada la matriz A   2 3 0  correspondiente a un endomorfismo f, se pide:
 0 0 5


a) Estudiar si la matriz A es diagonalizable. En caso afirmativo calcular una matriz D diagonal
y semejante con A.
2 puntos.
b) Calcular la matriz P de paso que diagonaliza a la matriz A.
1 punto.
c) Hallar la base de R3 respecto de la cual la matriz del endomorfismo f es D.
1 punto
(4 puntos)
a) La matriz A es diagonalizable por ser simétrica.
3   2
El polinomio característico de A es PA     2
0
3
0
0
0
5
 (1  )(  5)2
Los valores propios son λ = 1 simple y λ = 5 doble.
 2 2 0  x   0 

   
Cálculo de Vλ=5. Los vectores de Vλ=5 son solución del sistema  2 2 0  y    0   x = t,
 0 0 0  z   0 

   
y = - t y, z = s, por tanto, dim Vλ=5 = 2 y una base de Vλ=5 es {(1, -1, 0), (0, 0, 1)>.
Por coincidir el orden de multiplicidad algebraica y geométrica de ambos valores propios la matriz
A es diagonalizable.
5 0 0


Una matriz D diagonal semejante con la matriz A es D   0 5 0  .
0 0 1


b) La matriz P de paso está formada por una base de vectores propios de A.
 2 2 0  x   0 

   
Hallamos Vλ=1. Los vectores de Vλ=1 son solución del sistema  2 2 0  y    0   x = t,
 0 0 4  z   0 

   
y = t y, z = 0 y una base de Vλ=1 es <(1, 1, 0))>.
La matriz de paso correspondiente es
 1 0 1


P   1 0 1 
 0 1 0


3
c) Una base de R respecto de la cual la matriz del endomorfismo f resulta ser D es
{(1, -1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0)}.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA