Tema 3 Diagonalización de endomorfismos

Tema 3
Diagonalización de endomorfismos
Métodos Matemáticos - 1C - Lic. Fı́sica
Curso 2009-10
Objetivo: Dado un endomorfismo f : V −→ V , ¿cuándo existe una base B tal que


λ1
0


..
M (f, B) = 
?
.
0
λn
Definición 1 Sea f : V −→ V un endomorfismo. Se dice que λ ∈ R es un valor propio
→
−
−
−
−
−
−
de f si existe →
v ∈V, →
v 6= 0 tal que f (→
v ) = λ→
v . El vector →
v se llama vector propio
de f asociado a λ.
Definición 2 Sea A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada. Se dice que λ ∈ R es un valor
→
−
−
−
−
−
−
v A = λ→
v . El vector →
v se llama vector
propio de A si existe →
v ∈ Rn , →
v 6= 0 tal que →
propio de A asociado a λ.
Observaciones
→
−
1. El número 0 es valor propio de f ⇔ ker(f ) 6= { 0 }.
−
−
2. Dada A ∈ Mn×n (R), definimos la aplicación lineal fA : Rn −→ Rn , f (→
x) = →
x A.
Tanto los valores propios como los vectores propios de fA son los mismos que los de
A.
3. Sean V (R) un espacio vectorial, f : V −→ V un endomorfismo y B una base de V .
→
−
−
−
−
Dado →
v ∈V, →
v 6= 0 , sea →
v B ∈ Rn el vector de Rn formado por las coordenadas
−
−
−
de →
v respecto de B . Entonces, →
v es vector propio de f ⇔ →
v B es vector propio
de M (f, B), con iguales valores propios asociados.
Definición 3 Sean V (R) un espacio vectorial, f : V −→ V un endomorfismo y λ ∈ R un
valor propio de f . Se define el subespacio propio de f asociado a λ como
→
−
−
−
−
Vλ = {→
v ∈ V : f (→
v ) = λ→
v } = {vectores propios asociados a λ} ∪ { 0 }.
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Diagonalización de endomorfismos
Definición 4 Dada A ∈ Mn×n (R), λ ∈ R, se define el subespacio propio de A asociado
a λ como
→
−
−
−
−
Vλ = {→
v ∈ Rn : →
v A = λ→
v } = {vectores propios asociados a λ} ∪ { 0 }.
Proposición 1 Vλ es un subespacio vectorial de V (o de Rn , en el caso de una matriz).
Definición 5 Dado f : V −→ V un endomorfismo, se dice que es diagonalizable si existe
B una base de V tal que M (f, B) es diagonal. Dada A ∈ Mn×n (R), se dice que es
diagonalizable si existe B una base de Rn tal que M (fA , B, B) es diagonal.
Observación: Si Bu es la base usual de Rn y B es otra base, sea P = M (1Rn , B, Bu ).
Tomamos A una matriz cuadrada. Entonces,
A = M (fA , Bu , Bu ) = M (1Rn , Bu , B)M (fA , B, B)M (1Rn , B, Bu ) = P −1 M (fA , B)P.
En consecuencia, A es diagonalizable ⇔ A es semejante a una matriz diagonal.
Proposición 2 Sean A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada y λ ∈ R un número. Entonces,
λ es un valor propio de A ⇔ det(A − λIn ) = 0.
Corolario 1 Sean f : V −→ V un endomorfismo, B una base y λ ∈ R. Entonces, λ es
valor propio de f ⇔ det( M (f, B, B) − λIn ) = 0.
Nota: La ecuación anterior se llama ecuación caracterı́stica de f o de A. El polinomio
det(A − λIn ) o det( M (f, B, B) − λIn ) se llama polinomio caracterı́stico de f o de A.
Lema 1 Dados f : V −→ V un endomorfismo (o A ∈ Mn×n (R)) y λ un valor propio,
dim Vλ ≤ multiplicidad de λ como raı́z de la ecuación caracterı́stica.
Teorema 1 Sea f : V −→ V un endomorfismo, n = dim V (o A ∈ Mn×n (R) una
matriz cuadrada). Entonces, f (o A) es diagonalizable ⇔ se cumplen las dos siguientes
premisas:
1. La ecuación caracterı́stica tiene exactamente n raı́ces contando multiplicidades.
2. Para cada valor propio λ, dim Vλ = multiplicidad de λ como raı́z de la ecuación
caracterı́stica.
Teorema 2 Sea f : V −→ V un endomorfismo (o A ∈ Mn×n (R) una matriz cuadrada).
Entonces, f (o A) es diagonalizable ⇔ existe B base formada por vectores propios de f
(o de A).
Miguel Ortega Titos
Diagonalización de endomorfismos
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Diagonalizar un endomorfismo o una matriz, cuando es posible, consiste en encontrar una
tal base de vectores propios.
Método para diagonalizar un endomorfismo o una matriz: (Se asume que se puede
realizar hasta el final. Si algún paso falla, automáticamente, la matriz o el endomorfismo
no es diagonalizable).
1. Calcular el polinomio caracterı́stico de f o de A.
2. Calcular las raı́ces de la ecuación caracterı́stica, es decir, los valores propios y contar
sus multiplicidades. Si se cumple el apartado 1 del Teorema 1, se puede continuar.
3. Para cada valor propio λ, se calcula una base del subespacio propio asociado Vλ . Si
se cumple el apartado 2 del Teorema 1, se puede continuar.
4. La base final B se construye uniendo todos los vectores de todas las bases construidas
en el paso anterior (si fue posible). Ası́, A = P −1 DP , donde D = Diagonal(λ1 , ..., λn )
es la matriz diagonal de valores propios y P = M (1Rn , B, Bu ) es la matriz que se
construye escribiendo por filas las coordenadas de los vectores de B respecto de la
base usual Bu .
Dep. Geometrı́a y Topologı́a, Universidad de Granada