Departamento de Matemática Ing. Telecomunicaciones. Aplicada y

Departamento de Matemática
Aplicada y estadística
Ing. Telecomunicaciones.
(Curso 00/01).
Algebra
1. Dada la función Booleana f : K 3 → K , f (x, y, z) = [x ∧ (z ∨ y)] ∨ [x0 ∧ (z ∨ y 0 )].
Demuestra que su forma canónica disyuntiva es:
f (x, y, z) = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z 0 ) ∨ (x ∧ y 0 ∧ z) ∨ (x0 ∧ y ∧ z) ∨ (x0 ∧ y 0 ∧ z) ∨ (x0 ∧ y 0 ∧ z 0 )
y obtén por el método de Quine-McClusKey la expresión booleana simplificada de esta función.
(1,5 puntos)
2 a) Define sistema libre y sistema ligado de un espacio vectorial.
Sea V un espacio vectorial y L = {v1 , v2, ..., vr } ⊂ V . Demuestra que:
L es ligado ⇔ ∃ i ∈ {1, 2, .., r} / vi es combinación lineal de {v1 , ..., vi−1, vi+1 ..., vr }
b) Si S =< (1, 1, 1, 1), (−2, −1, 0, 1), (−3, −2, −1, 0) >
y
T = {(x, y, z, t) ∈ R4 Áx + 2y + z = 0 , 2x + y + t = 0}
Calcular una base y la dimensión de los subespacios: S , T , S ∩ T
3 Sea f un endomorfismo

1
A= 1
2
(0,75 puntos)
y S +T
(1 punto)
de V3 cuya matriz asociada en la base canónica es la siguiente:

−1 1
1
α 
α 1
a) Estudiar según los valores de α y β, si existe algún vector ( x, y, z) ∈ V3 ,tal que su imagen:
f(x, y, z) = (3, β, 1)
b) Determinar razonadamente, y utilizando resultados del apartado anterior, los valores de α para
los cuales f admite aplicación inversa. ¿Qué relación existe entre A y la matriz de la aplicación
inversa de f ?
c) Enunciar y demostrar el teorema de la base incompleta (ampliada). Como aplicación, hallar
una base de ker f , para α = 0 y ampliarla hasta obtener una base B 0 de V3 .
d) Hallar la matriz de cambio de base de la base canónica a la base B 0 (Utilizar un método en el
que no haya que calcular determinates)
e) Hallar la matriz asociada a la aplicación lineal f referida a la nueva base B 0 (para α = 0). Hallar
f (1, 0, −1)B0 y expresarlo en ambas bases.
(3,5 puntos)
4 a) Definir valor y vector propio de un endomorfismo. Demostrar que dos vectores propios de un
endomorfismo asociados a valores propios distintos son linealmente independientes.
Sea f un endomorfismo de R3 dado por :
f (u1 ) = −4u1 + 4u3 , f (u2 ) = u1 − 6u2 + 2u3
,
f (u3 ) = 2u1 − 2u3
b) Dar la matriz A del endomorfismo y demostrar, sin obtener los vectores propios, que es diagonalizable.
c) Obtener una base en la cual la matriz de f es diagonalizable, y dar la matriz diagonal D.
Dar otra matriz diagonal D’ semejante a A y la correspondiente matriz de paso P’
d) Utilizando la matriz D comprobar que An = αA
con α ∈ R y n ∈ N
(3,25 puntos)