Ing. Telecomunicaciones Algebra 2001/2002 1. i) Demuestra que si

Ing. Telecomunicaciones
Algebra
2001/2002
1. i) Demuestra que si (K, ∨, ∧) es un álgebra de Boole y a, b ∈ K tales que a ≤ b y a ≤ b0 entonces a = 0.
ii) Si B = {e1 , e2,...., en } es base de V y f : V −→ W es una aplicación lineal, demuestra que f
es suprayectiva si y sólo si {f (e1 ), f (e2 ), ..., f(en )} es sistema generador de W.
iii) Si λ y µ son valores propios distintos de un matriz cuadrada real A, y v, w son vectores
propios asociados a λ y µ respectivamente, demuestra que v y w son linealmente independientes.
(1,5 puntos)
2. Dada la función Booleana f : K 3 −→ K tal que f (x, y, z) = (y ∧ z) ∨ (x0 ∧ y 0 ) ∨ z, demuestra que su
forma canónica disyuntiva es f(x, y, z) = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x0 ∧ y ∧z) ∨(x∧ y 0 ∧z) ∨(x0 ∧y 0 ∧ z) ∨ (x0 ∧ y 0 ∧z 0 ) y obtén
por el método de Quine-McCluskey una expresión Booleana simplificada de dicha función.
(1,5 puntos)
3.- a) Obtén según el valor de a , una base de Ta siendo:
Ta = {(x, y, z) ∈ R3 Áx + ay + z = 0 , x + y + az = 0 , ax + y + z = 0 }
b) Sea S =< (1, 2, 1), (2, 5, 3), (1, −1, −2) >
Para a = 1 (Ta = T1 ), calcula una base y la dimensión de los subespacios: S , S ∩ T1
S + T1 .
(1,5 puntos)
y
4. En R3 se considera la base B = {(1, 0, 1), (1, −1, 2), (0, −1, 2)} y sea f : R3 −→ R3 una aplicación lineal
tal que f (1, 0, 1) = (2, 0, 0)B , f(1, −1, 2) = (3, 1, 2) y f (0, −1, 2) = (3, 2, 1).
Calcula la matriz de f respecto de la base B y respecto de la base canónica de R3 , la expresión
analítica de f y base del núcleo y de la imagen de f. ¿Es f suprayectiva?, ¿Es f inyectiva?
(2,5 puntos)
5.- Sea f un endomorfismo
de R3 cuya
 matriz asociada en la base canónica es la siguiente:

3
2 −4


A =  −4 −3 a 
0
0
1
a) Calcula razonadamente el valor de a , sin obtener los vectores propios, para que f sea
diagonalizable.
Para dicho valor de a:
b) Obtén una base en la cual la matriz de f es diagonal, y da la matriz diagonal D.
Da otra matriz diagonal D’ semejante a A y la correspondiente matriz de paso P’
c) Obtén razonadamente, sin calcular A3 , todos sus valores propios; y sin realizar operaciones
obtén razonadamente el núcleo de f y el de f 3 .
(3 puntos)