1 Capítulo 1 - Departamento de Matemáticas

1
Facultad de Ciencias Químicas
Departamento de Matemáticas
Álgebra
Capítulo 1: Espacios vectoriales.
1. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos de R 3 es subespacio vectorial:
(a) S 1 = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g;
(c) S3 = f(x; y; z) 2 R 3 : x = 3y = ¡zg;
(e) S5 = f(x; y; z) 2 R3 : y + 2x = 0; z = 5xg;
(g) S7 = f(x; y; z) 2 R 3 : x ¡ y = 1g;
2. Estudia la independencia lineal de los vectores de R3 :
(b) S 2 = f(x; y; z) 2 R3 : x ¡ 3y + 2z = 0g
(d) S4 = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ó y = zg
(f ) S6 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 ¡ y 2 = 0g
(h) S 8 = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g:
(a) u 1 = (1; ¡1; 0); u 2 = (1; 3; ¡1); u 3 = (5; 3; ¡2):
(b) v1 = (2; 2; ¡1); v2 = (4; 4; 1); v3 = (1; 0; ¡1):
(c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (2; 1; 3); w3 = (0; 1; 1)
En cada caso, determina las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio que engendran. Busca además una base de dichos
subespacios y, cuando proceda, completalas a una base de R 3 .
3. Determina una base B y las ecuaciones paramétricas del subespacio S de R4 dado por las ecuaciones:
8
x
¡y +z ¡t = 0
>
>
<
2x +2y ¡z ¡t = 0
4x
+z
= 0
>
>
:
3x
+y
+t = 0
Determina una base de R 4 que contenga a B.
4. Sea P2 (x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Comprueba que p 1(x) = x; p 2 (x) =
x ¡ 1; p3 (x) = (x ¡ 1)2 forman una base de P 2 (x) y determina las coordenadas de p(x) = 2x2 ¡ 5x + 6 respecto de esa base.
5. Sea F (R; R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudia si W es un subespacio de F (R; R) donde:
(a)W = ff 2 F (R; R) : f (1) = 0g;
2
(b)W = ff 2 F (R; R) : 2f (0) = f (1)g;
(c) W = ff 2 F (R; R) : f (¡x) = ¡f (x)g
6. En el espacio vectorial E = C (R; R) de todas las funciones continuas con segunda derivada continua se considera para a; b 2 R;
el subconjunto F = ff 2 E : f 00 + af 0 + bf = 0g: Prueba que F es un subespacio de E:
7. Estudia si las siguientes familias de vectores son linealmente dependientes o independientes:
(a) fe2x ; x 2 ; xg ½ F (R; R):
(b) fsen ¼t; sen 2¼tg ½ C[0; 1] donde C[0; 1] denota las funciones continuas definidas en [0; 1] con valores en R.
8. Encuentra una base de R 4 que contenga a los vectores (0; 1; 1; 1) y (1; 1; 0; 1).
9. Demuestra que B n = f1; (x ¡ 2); (x ¡ 2)2 ; :::; (x ¡ 2)n g es una base de P n (x). Si n = 4, halla las coordenadas del vector
p(x) = 5x4 + 6x 3 ¡ 4x + 2 respecto de la base B 4 :
10. Estudia si los siguientes subconjuntos de M2£2 (R) son subespacios vectoriales de M2£2 (R):
(a) S = fA 2 M 2£2 (R) : r(A) = 1g; donde r (A) designa el rango de A:
(b) T = fA 2 M2£2 (R) : traza(A) = 0g; donde traza(A) denota la suma de los elementos de la diagonal principal.
11. Se considera el subconjunto P de R n formado por todas las n-uplas de números reales, tales que los elementos de cada n-upla forman
una progresión aritmética. Prueba que P es un subespacio vectorial de R n y determinar una base del mismo. Calcula respecto de la
base hallada las coordenadas del vector (4; 7; 10; ::::; 3n + 1).
12. Determina una base para la suma y la intersección de los espacios F y G engendrados por
2
2
f(1; ¡1; 1; 2); (0; 1; 3; 1)g; f(1; 0; 4; 3); (1; 1; 0; ¡1)g:
13. Sea P = f1; sen x; cos x; sen 2x; cos 2xg.
(a) Estudia la dependencia e independencia lineal de P:
(b) Da una base del subespacio L(P ).
(c) Calcula, respecto de la base encontrada en (b), las coordenadas de:
f (x) = cos 2x + sen 2x; g(x) = cos x:
14. Demuestra que R 3 es suma directa de los siguientes subespacios vectoriales:
(a) W 1 = f(x; y; z) 2 R 3 : x + y + z = 0g; W2 = f(t; 2t; 3t) 2 R3 : t 2 Rg:
(b) U1 = f(x; y; z) 2 R 3 : x = y = zg; U2 = f(0; y; z) 2 R 3 : y; z 2 Rg:
(c) V 1 = f(x; x; 0) 2 R3 : x 2 Rg; V2 = f(0; y; y) 2 R3 : y 2 Rg V 3 = f(z; z; z) 2 R3 : z 2 Rg:
15. Se considera en R 3 el subespacio W = f(x; y; z) : x + y ¡ z = 0; x + y + z = 0g.
2
(a) Halla la ecuación de un suplementario de W .
(b) Descompón según W y el suplementario hallado en (a); el vector (¡1; 3; 4) de R 3 .
16. Consideramos en R3 los subespacios V 1 = f(0; x; y) : x; y 2 Rg; V 2 = Lf(1; 1; 1); (1; 2; 3)g.
17. Determina una base de V 1 + V 2 ; V1 \ V 2 y obten las ecuaciones paramétricas e implícitas de V 1 + V 2 y V 1 \ V2 .
18. Consideramos los subespacios V y W contenidos en R3 :
8
< x1 =¸ + °
V =
x2 =¹ + °
; W ´ x1 ¡ x 2 + 2x3 = 0
:
x3 =¸ + ¹ + 2°
(a) Determina una base de V; V + W; V \ W .
(b) Encuentra unas ecuaciones implícitas para V \ W .
(c) Determina una base de un suplementario de V \ W .
19. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespacios y bases de éstos. Verifica la
verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes:
(a) f(a; b) 2 R2 : a = ¡1g ; base f(¡1; 3)g :
2
(b) fp(x) 2 P3 : (x ¡ 1) divide a p(x)g ; base fx ¡
µ 1; x ¡¶1g:
½µ
¶ µ
¶¾
2 1
2 1
0 1
(c) com(B) = fA 2 M2£2 =BA = ABg con B =
; base
;
:
0 2
0 2
1 0
20. Halla en cada uno de los ejemplos siguientes la suma y la intersección del par de subespacios dados y comprueba que se verifica la
ecuación
dim(V1 ) + dim(V 2 ) = dim(V 1 + V 2 ) + dim(V 1 \ V 2):
µ
¶
µ
¶
2 1
2 0
(a) V 1 = com
; V2 = com
: (Ver el ejercicio anterior).
0 2
0 2
(b) V 1 = fp(x) 2 P 3 =(x + 1) divide a p(x)gV 2 = fp(x) 2 P 3 =(x ¡ 1) divide a p(x)g:
21. Demuestra que el subespacio vectorial de las funciones pares y el de las impares son subespacios suplementarios del espacio vectorial
de las funciones f : R ¡! R.
22. Sea P 2 (x) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. Se consideran dos subconjuntos
suyos, F = fp (x) 2 P 2 (x) : p (x) = ax 2 ¡ ax + 2a; a 2 Rg y G = fp (x) 2 P 2 (x) : p (x) = (2® ¡ ¯) x 2 + ®x ¡ 2¯; ®; ¯ 2 Rg:
Se pide
(a) Probar que F y G son subespacios vectoriales de P 2 (x). Halla sus dimensiones.
(b) Determina F \ G y F + G.
23. Halla la matriz de paso de la base B = f(1; 0); (0; 1)g a la base B 0 = f(2; 3); (¡3; ¡4)g y la matriz de paso de B 0 a B. Si el vector
~x tiene por coordenadas (1; 1)B en la base B, ¿Qué coordenadas tiene en la base B 0 ? Si el vector ~y tiene por coordenadas (5; 0)B0 ,
en la base B 0 , ¿qué coordenadas tiene en la base B?.
24. Halla la matriz de paso de la base B = f1; xg de P1 (R) a la base B 0 = f2 + 3x; ¡4 + 5xg. El polinomio p(x) = 2 ¡ x, ¿qué
coordenadas tiene en la base B 0 ?. El polinomio de coordenadas (5; 5)B0 en la base B 0 , ¿qué coordenadas tiene en la base B ?.
25. En el espacio vectorial de matrices 2 £ 2 con coeficientes reales, M2£ 2 (R), halla las coordenadas de la matriz A en la base B siendo
A=
µ
2
4
¡1
6
¶
y B=
½µ
1
¡1
1
0
¶ µ
2
;
3
0
1
¶ µ
;
0
¡1
1
0
¶ µ
0
;
0
¡2
4
¶¾
3
Facultad de Ciencias Químicas
Departamento de Matemáticas
Álgebra
Capítulo 2: Espacios vectoriales euclideos.
1. Determina una base ortonormal para el subespacio de R 3 generado por:
(a) u 1 = (1; ¡1; 0); u 2 = (5; 3; ¡2); u 3 = (1; ¡1; 0):
(b) v1 = (1; 1; 1); v 2 = (1; 0; 1); v3 = (3; 2; 3):
(c) w1 = (3; ¡1; 2); w2 = (1; 0; 2); w3 = (¡2; 1; 0):
Encuentra además las ecuaciones cartesianas de cada subespacio y halla su suplementario ortogonal.
2. En R4 con su producto escalar usual se pide
(a) Determina un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1; 2; 1; 0) ; (0; ¡1; 1; 0) y (1; 1; ¡2; 1) :
(b) Obtén por el método de Gram-Schmidt una base de vectores ortonormales para
V = L f(1; 2; ¡1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (1; 0; ¡2; 1)g :
3. En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar
< f; g >C =
Z
1
f (x)g(x)dx;
¡1
se consideran los vectores u 1 (x) = 1; u2 (x) = x; u3 (x) = 1 + x: Calcula el ángulo que forman entre sí.
4. Se considera en el espacio P3 (x) el subconjunto de los cuatro primeros polinomios de Chebychev, T = f1; x; 2x 2 ¡ 1; 4x 3 ¡ 3xg:
Demuestra:
(a) Los polinomios son son linealmente independientes.
(b) Los polinomios son ortogonales con el polinomio 1 respecto al producto escalar ponderado
Z 1
f (x)g(x)
p
< f; g >T =
dx:
1 ¡ x2
¡1
5. Demuestra que si 2 vectores son ortogonales, son linealmente independientes.
6. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones un = x n del espacio vectorial E = P (x), con el producto
escalar < f; g > C , y normaliza los polinomios obtenidos. (Para n = 0; 1; 2; 3 y x 2 (¡1; 1)).
7. Demuestra que las funciones fuk g son ortonormales dos a dos con el producto escalar < f; g > C en [0; 1] siendo
p
u k = 2 sin (k¼t) :
8. Sea H el subespacio de R 4 definido por las ecuaciones:
8
< x + 2y ¡ z ¡ 2t = 0
2x + y ¡ 2z ¡ t = 0
:
2x + 7y ¡ 2z ¡ 7t = 0
(a) Determina las ecuaciones paramétricas de H, y una base ortonormal suya.
(b) Calcula la proyección ortogonal sobre H del vector u = (2; ¡2; 3; ¡3).
(c) Determina una base ortonormal de R 4 que contenga a la base de H hallada anteriormente.
(d) Repite lo mismo en R 3 con el sistema
½
2x + y = 0
y u = (1; 1; 1):
z=0
9. Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar < f; g > C en [¡1; 1] ; se pide:
(a) Proyección ortogonal del polinomio p(x) = x + 3 sobre el subespacio engendrado por x + 2.
(b) Calcula una base ortonormal a partir de la base f1; xg.
10. Sea S2 el subespacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con la base " y la matriz A; donde
0
1
½µ
¶ µ
¶ µ
¶¾
1 0 1
1 0
0 1
0 0
"=
;
;
; A = @ 0 2 1 A:
0 0
1 0
0 1
1 1 2
Definimos el producto escalar hu; vi como hu; vi = u t Av para todo u; v 2 S2 : Se pide
µ
¶
µ
¶ µ
1 ¡1
1
0
0
(a) Determina el módulo de la matriz
: Determina el ángulo que forman las matrices
y
¡1
2
0 ¡1
1
µ
¶ µ
¶
1 0
0 1
(b) Halla el subespacio suplementario ortogonal del subespacio S2 generado por
y
:
0 0
1 0
1
0
¶
:
4
3
4
11. Utilizando el producto escalar usual de R y R , encuentra el complemento ortogonal de W , siendo:
½
x 1 ¡ x2 + x 3 + x 4 = 0
a) W = L(u; v) con u = (1; 0; 1); v = (2; ¡1; 1); b) W ´
2x1 ¡ x 2 = 0
12. En el espacio vectorial E = C[¡1; 1], con el producto escalar < f; g >C , se considera la función f (x) = ex . Busca el polinomio
p(x) de grado menor o igual que dos más próximo a f y Calcula kf (x) ¡ p (x)k C .
13. Sea H el subespacio de R 3 definido por la ecuación cartesiana x + 2y ¡ z = 0:
(a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal suya.
(b) Calcula el vector de H más próximo a u = (1; 1; 1) y la distancia de u a H.
(c) Encuentra una base ortonormal de R 3 que contenga a la base hallada anteriormente.
14. Aplica el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones f 1 =Z x; f 2 = x2 y f 3 = x3 del espacio vectorial E =
1
fv : [0; 1] ! R; v es derivable; v(0) = 0g con el producto escalar < f; g >=
f 0(x)g 0 (x)dx.
0
15. Calcula los coeficientes de Fourier1 de la función f (x) = e¡x y la norma de la mejor aproximación de f (x)como combinación lineal
de las funciones obtenidas anteriormente.
16. Prueba que para todo número real µ, la transformación T : R 3 ¡! R 3 definida por
0
1
0
1
x
sen µ cos µ 0
T (x) = A @ y A ; donde A = @ ¡ cos µ sen µ 0 A
z
0
0 1
es una isometría.
17. ¤ Dado el subespacio S, generado por los vectores: f(1; 0; 0); (¡1; 1; 0); (2; 1; 0)g, calcula la proyección ortogonal del vector v =
(1; 1; 1) sobre S.
18. Sean a y b dos vectores ortogonales del plano distintos de cero. Entonces para todo vector c del plano existen ® y ¯ tal que c = ®a+¯ b:
Usa el producto interno para encontrar ® y ¯ en función de a y b.
19. Dado P 2 (R) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y el producto escalar < f; g > C en [¡1; 1] ; se pide:
(a) Comprueba que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para dos polinomios arbitrarios de orden dos. (Toma dos cualesquiera y haz las cuentas).
(b) Demuestra que
µZ 1
¶ 12
Z 1
2
p (x) dx · 2
(p (x)) dx
¡1
¡1
para todo polinomio p (x) 2 P 2 (R) :
20. Sea R 2+¡ el espacio formado por los vectores de R2 con la métrica (no es un producto escalar) hu; vi = ut ¢ A ¢ v siendo A la matriz
µ
¶
1 0
A=
:
0 ¡1
Comprueba, encontrando un ejemplo, que se verifican las siguientes propiedades.
(I)
(II)
(III)
(IV)
Existen vectores con hu; ui < 0 (Vectores temporales).
Existen vectores con hu; ui = 0 (Vectores luz).
Existen vectores con hu; ui > 0 (Vectores espaciales).
Comprueba con un ejemplo que para vectores de los apartados a y b la desigualdad de Cauchy-Schwartz toma la otra
dirección, es decir que
kuk ¢ kvk · jhu ¢ vij
Nota: Este espacio es una versión dos-dimensional del espacio cuatridimensional de Minkowski, que es donde trabaja la teoría de la relatividad
especial de Einstein. Este es el ejemplo más sencillo de espacio vectorial no euclídeo.
1
Los coeficientes de Fourier son las coordenadas de la proyección de la función sobre el subespacio considerado
5
Facultad de Ciencias Químicas
Departamento de Matemáticas
Álgebra
Capítulo 3: Aplicaciones lineales y matrices.
1. ¤ Dada la aplicación lineal:
T : R4 ! R2 T (x; y; z; w) = (x ¡ 2z; 2y + 3w)
(a) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas.
(b) Halla su núcleo y su imagen.
(c) Calcula la imagen por T de un vector ortogonal a v = (1; 1; 1; 1).
(d) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en R4 y la base B = f(1; 3); (2; 1)g en R 2 .
2. Estudia si la aplicación lineal f : R2 ¡! R2 definida por
µ
¶
3
4 4
3
f (x; y) =
x + y; x ¡ y
5
5 5
5
es una transformación ortogonal.
3. Sea P2 (R) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que dos y f : R3 ! P 2 la aplicación lineal que
cumple:
f (1; 1; 1) = 2¯ + ®x; f (0; ¡1; 1) = ®x + ¯x 2 ; f (0; 0; 1) = ¯ + (® ¡ 1)x
donde ® y ¯ son números reales. Se pide:
(a) Halla ® y ¯ para que f no sea inyectiva.
(b) Halla ker f e Im f en función de ® y ¯.
(c) Sea el subespacio U = f(a; b; c) 2 R3 : a = bg. Halla el subespacio f (U ) y su dimensión dependiendo de los valores de ® y ¯ .
4. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados:
µ
¶
¡1
(a) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£1 (R) dada por MB (A) = AB con B =
:
1
(b) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£2 (R) dada por S B (A) = A + B con B 2 M 2£ 2 (R) fija:
(c) A : P n (x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x + 1):
(d) A : P n (x) ¡! Pn (x) dada por A(p(x)) = p(x) + 1:
5. Sea f : R 3 ¡! R 3 dada por f (x1 ; x 2 ; x3 ) = (x 1 ¡ x2 ; x 1 ; x1 ¡ x 3 ). Encuentra la matriz de f respecto a la base canónica. Halla la
imagen mediante f de los siguientes subespacios vectoriales de R3 :
(a) V 1 = f(x1 ; x 2 ; x3 ) 2 R 3 : x 1 ¡ x2 + x3 = 0g:
(b) V 2 = f(0; x 2 ; x3 ) 2 R3 : x 2 ; x3 2 Rg:
(c) V 3 = f(x1 ; x 2 ; x3 ) = t(¡1; 1; 1) : t 2 R 3 g:
6. Sabiendo que la aplicación f transforma los vectores u1 = (1; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u3 = (1; 1; 1) de R 3 en los vectores w1 =
(2; 1; 2), w2 = (3; 1; 2), w3 = (6; 2; 3) respectivamente, encuentra la matriz de f en las siguientes bases:
(a) La base canónica de R 3.
(b) La base fu 1 ; u2 ; u3 g.
7. Halla las ecuaciones del núcleo y de la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si son inyectivas, suprayectivas o
biyectivas:
µ
¶
¡1
(a) M B : M 2£2 (R) ¡! M2£1 (R) dada por MB (A) = AB con B =
:
1
(b) f : P 3 (x) ¡! P3 (x) tal que; f (1) = x2 + 1; f (x) = x + 2; f (x 2 ) = x3 ¡ x; f (x3 ) = 1:
(c) La aplicación derivación de P n (x) en Pn¡1 (x):
8. Sea V un espacio vectorial real y W1 y W2 dos subespacios vectoriales de V y f una aplicación de W1 £ W 2 en V definida por:
f (x; y) = x + y.
(a) Demuestra que f es una aplicación lineal.
(b) Demuestra que ker f = f(x; ¡x)=x 2 W 1 \ W 2 g:
(c) Demuestra que ker f es isomorfo a W1 \ W 2 .
9. Demuestra que si f es una aplicación lineal de V en V 0 , y g es una aplicación lineal de V 0 en V 00, entonces ker(g ± f ) = f ¡1 (ker g)
10. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, f y g endomorfismos de V . Demuestra que:
ker(g ± f ) = f ¡1 (ker g \ Im f ):
11. Demuestra que si f es un endomorfismo de un espacio vectorial V , entonces f 2 = 0 si, y sólo si, f (V ) ½ ker f.
12. Sea f : V ¡! V un endomorfismo. Demuestra que si f 2 = f entonces se verifica que
V = ker f © Im f:
6
2
13. Demuestra que si un endomorfismo de V es idempotente, es decir, f = f , entonces se verifica:
(a) x 2 Im f , x = f (x):
(b) 1 ¡ f es idempotente.
(c) ker(1 ¡ f ) = Im f:
(d) ker f = Im (1 ¡ f ):
14. Sea f un endomorfismo del espacio vectorial V . Demuestra que:
(a) Si dim V = 2n + 1; entonces ker f 6= Im f:
(b) Si dim V = 2n; entonces ker f = Im f , si, y solo si, f 2 = f y dim Im f = n.
15. En R3 se considera la base B = fu1 ; u 2 ; u3 g. Clasifica el endomorfismo f dado por f (u1 ) = au 1 + u 2 + u3 ; f (u 2) = u 1 + u 2 +
u3 ; f (u 3 ) = u 1 + bu2 + u3 :
16. Se consideran 3 espacios vectoriales A; B; C; cuyas bases respectivas son
B A = fu1 ; u 2 ; u3 g; B B = fb1 ; b2 g; B C = fv1 ; v2 ; v3 g
y dos homomorfismos dados respectivamente por
f:
Se pide:
(a)
(b)
(c)
(d)
A
u1
u2
u3
¡!
¡!
¡!
¡!
B
b1 ¡ b 2
b2
2b 2
y
g:
B
b1
b2
¡!
¡!
¡!
C
v 1 ¡ v2 + v3
v 1 ¡ v2
Matriz del homomorfismo h = g ± f : A ¡! C.
Encontrar el conjunto h¡ 1 (1; 1; 1), donde (1; 1; 1) 2 C.
Núcleo de h.
Imagen del subespacio intersección de los subespacios siguientes:
8
< x 1 = 2® + ¯
V1 ´
x 2 = ® ¡ ¯ ; V 2 ´ x 1 ¡ x 2 + 2x 3 = 0
:
x 3 = ¡®
17. Determina en la base canónica de R 3 la matriz del endomorfismo f definido por las siguientes condiciones:
(a) La aplicación f, restringida al plano que tiene por ecuación x + y + z = 0, es una homotecia de razón 3.
(b) La aplicación f transforma en sí misma la recta de ecuaciones
f 2 x + 4y + 3z = 0x + 2y + z = 0:
18. Demuestra que si f es una aplicacion ortogonal, entonces es un isomorfismo.
19. En R3 se considera la base B = fu 1 ; u2 ; u 3 g y el endomorfismo f definido respecto a la base B por:
f (x 1 u 1 + x2 u 2 + x 3u 3 ) = (x 2 + x3 )u 1 + (x 1 ¡ x 2 )u2 + (x2 + x 1 )u 3 :
Se pide:
(a) Expresión analítica de f respecto a la base B .
(b) Ecuaciones de ker f y de Im f:
(c) Determina una base de ker f y ampliarla a una base B 1 de R 3 .
(d) Halla la expresión analítica de f respecto de la base B 1:
20. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión 3. Para cada a 2 R, se considera el endomorfismo fa : V ¡! V cuya matriz
respecto a una base fija B de V es,
0
1
a 0 ¡1
A=@ 0 1 1 A
a 1 a
Estudia los endomorfismos fa según los valores de a:
21. Consideremos la base de R 3, B = fu 1 = (1; 0; 0); u2 = (¡1; 3; 5); u3 = (¡2; 1; 2)g y sea T : R 3 ¡! R 3 la aplicación lineal tal
que
T (u1 ) =
2u1 + u 2 ;
T (u2 ) =
u 1 ¡ u2 + u 3 ;
T (u3 ) =
4u1 ¡ u 2 + 2u3 :
(a) Determina la matriz de la transformación respecto de la base canónica y las ecuaciones cartesianas del ker T referida a la base
canónica y a la base B = fu 1 ; u2 ; u3 g:
(b) Las ecuaciones cartesianas del subespacio L engendrado por u1 y u 2 y la proyección ortogonal de u 3 sobre L.
22. Hallar una aplicación lineal f : R 3 ¡! R3 tal que:
(a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).
7
2
(b) f = f
(c) La ecuación de ker f es x + z = 0
23. Sea f : R 4 ¡! R4 el homomorfismo definido por
f (1; 1; 1; 1)
f (1; 1; 1; 0)
= (0; 0; 1); f (1; 0; 1; 0) = (1; 1; ¡1);
= (0; 0; ¡1); f (¡1; ¡2; 0; 0) = (1; 1; 1):
(a) La matriz de f respecto de las bases canónicas.
(b) Dimensión y ecuaciones cartesianas de ker f e Im f :
24. Se considera el homorfismo f : R 3 ! R 2 que hace corresponder a los vectores (1,0,1), (0,1,0), (,1,1,0) los vectroes (1; 0); (0; 2); (1; 1)
respectivamente. Se pide:
(a) Matriz asociada a f en las bases canónicas de R 3 y R2 .
(b) Subespacio transformado de V ´ 5x 1 ¡ 3x2 ¡ x 3 .
(c) Ecuación de f (V ) en la base B ´ f(1; 1); (2; 0)g:
25. En un espacio vectorial V de dimensión n se considera un endomorfismo f tal que f n = 0 y f n¡1 6= 0: Sea v tal que f n¡1 (v) 6= 0
(a) Demuestra que v,f (v) ; f 2 (v) ; :::; f n¡ 1 (v) es una base de V .
(b) Halla la matriz de f respecto dicha base.
26. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales . Se considera la aplicación
u : P n¡ 1 ! P n tal que u (P ) = Q con Q definido por
³
´
2 d
2
Q (x) = ex
e¡x P (x) ; x 2 R:
dx
(a) Demuestra que la aplicación es lineal.
(b) Halla el núcleo de u:
(c) Halla la dimesión de la imagen de u.
(d) Determina la matriz de u en las bases canónicas.
27. Sea la aplicación lineal f : R 3 ! R3 definida por
f (x; y; z) = (x + z; y + z) :
Determina las bases B1 y B 2 de R 3 y R 2 respectivamente, tales que la matriz de f respecto a B 1 y B2 sea
28. Sea la matriz de orden n con coeficientes en R;
0
0
B 0
B
B
A=B
B
@ 0
1
0
0
¢¢¢
¢¢¢
..
.
0
1
1
0
¢¢¢
¢¢¢
0
0
Halla Ap pasando a endomorfismos de R n ; (p 2 Z) :
29. Se considera el homorfismo f : P3 ! M2£ 2 (R) definido por
µ
¡
¢
f ax3 + bx 2 + cx + d =
µ
1
0
0
1
0
0
¶
:
1
1
0 C
C
C
C:
C
0 A
0
a
c+ d
b+d
0
¶
:
(a) Halla la matriz del homorfismo en las bases canónicas.
(b) Da las ecuaciones implícitas del subespacio imagen.
(c) Calcula una base del núcleo.
30. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno, con las operaciones usuales, y f el endomorfismo de
V que verifica las condiciones siguientes:
– f (1 + x) = 2 ¡ x.
– El núcleo de f coincide con la imagen.
Se pide:
(a) Matriz del endomorfismo f en la base B = f1; xg.
(b) Calcula una base de f (W ), siendo W el subespacio de ecuación
x1 + 2x 2 = 0:
(c) Imagen inversa del conjunto f(1; 1); (0; 0)g.
31. Halla una aplicación lineal f : R3 ¡! R 3 tal que:
(a) f (1; 0; 0) sea proporcional a (0; 0; 1).
(b) f 2 = f:
(c) La ecuación de ker f es x + z = 0:
8
3
3
32. Sean f; g : R ¡! R tales que
p
f (e1 ¡ 3e3 ) = ¡e3 ;
f (e
p2 ) = e2 ;
f ( 3e1 + e3 ) = 2e1 ;
g(e1 ) = e1 ;
g(e2 ) = ¡e2 ;
g(e3 ) = e3 :
(a) Estudia si f y g son ortogonales.
(b) Halla h = f ± g:
33. Sea f : R ! R la aplicación lineal cuya matriz respecto a la base canónica viene dada por
A=
Ã
con a 2 R . Determina para que valores de a la matriz A es ortogonal.
p
2
2
a
¡a
p
2
2
!
9
Facultad de Ciencias Químicas
Departamento de Matemáticas
Álgebra
Capítulo 4: Valores y vectores propios.
1. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de R n en Rn que están dadas por las siguientes matrices:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
4
6
5 ¡1
2 ¡1
¡1 0
a =
; b=
; c=
; d=
¡3 ¡5
4 1
3 1
0
¡1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0 ¡1
2
2 ¡1
2 ¡1 1
0 ¡1
2
e = @ 1 ¡2 ¡1 A ; f = @ 0 ¡2
1 A ; g=@ 0
1 0 A ; h = @ 0 ¡1
0 A:
¡2 3
1
¡1 0
0
¡1 1 0
¡1 1 ¡3
En los casos que sea posible halla una base de Rn formada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las aplicaciones dadas en
el ejercicio anterior.
2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de base P :
0
1
0
1
0
1
0 0 0 1
¡1 3 ¡1
4 ¡1 ¡1
B 0 0 1 0 C
C
a = @ ¡3 5 ¡1 A ; b = @ 1 2 ¡1 A ; c = B
@ 0 1 0 0 A:
¡3 3 1
1 ¡1 2
1 0 0 0
3. Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivación D, en P 3 (x).
4. Determina para que valores a; b 2 R la matriz A es diagonalizable en R siendo A
0
1
a
b 0
A = @ 0 ¡1 0 A :
0
0 1
5. Estudia para que valores reales de ® la matriz A es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diagonal , J; y
una matriz P tal que P ¡1 AP = J; siendo
0
1
1 ¡2 ¡2 ¡ ®
A:
A= @ 0 1
®
0 0
1
6. Demuestra que si x es vector propio de f para el valor propio ¸, entonces x es vector propio de f n para el valor propio ¸n ; n 2 N .
¿Qué ocurre si además f es invertible?.
7. En R3 , consideramos el endomorfismo f dado por
f (x; y; z) = (2x + y + z; 2x + 3y + 2z; x + y + 2z)
y sea A la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: vectores propios, valores propios, diagonalización y matriz de paso.
8. En R3 , consideramos la aplicación f (x; y; z) = (3x + y; ¡x + y; 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonalizable?.
9. Sea E un espacio vectorial sobre R y f un endomorfismo de E tal que f 2 = f . Demuestra que:
(a) E = Im f © ker f:
(b) f es diagonalizable.
10. Si dim(E ) = 3 y B = fu; v; wg es una base de E tal que
0
f (u) = u ¡ w; f (v) = v ¡ 2w; f (w) = 0
determinar una base B de E respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
11. Estudia si es diagonalizable el endomorfismo de R 2 definido por f (a; b) = (a + b; b):
12. Sea f : R 3 ¡! R3 el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es
0 1 0
10 1
y1
1 1 ¡1
x1
@ y2 A = @ 0 2 ¡1 A @ x 2 A :
y3
0 1 0
x3
(a) Calcula los valores propios y sus subespacios propios asociados.
(b) ¿Se puede encontrar otra base B 0 , tal que respecto a ella sea f diagonalizable?.
13. Sea f : R 3 ¡! R3 el endomorfismo definido por:
f (x; y; z) = (x + 2y ¡ z; 2y + z; 2y + 3z):
(a) Halla la matriz de f respecto de la base B = fe1 ; e2 ; e3 g.
(b) Calcula los valores propios, los subespacios propios y comprueba que el subespacio suma de estos subespacios es suma directa.
10
3
3
14. Sea f : R ¡! R el endomorfismo cuya expresión analítica respecto de la base B = fe1; e2 ; e3g es
0 1 0
10 1
y1
1 2 2
x1
@ y2 A = @ 1 2 ¡1 A @ x2 A
y3
¡1 1 4
x3
Encuentra una nueva base B 0 tal que respecto de ella la expresión analítica de f venga dada por una matriz diagonal.
15. Eleva A a la potencia enesima siendo
0
1
a b b
A = @ b a b A:
b b a
16. Demuestra que una matriz A y su traspuesta At tienen el mismo polinomio característico.
17. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo C de los números complejos. Halla la condición necesaria y
suficiente para que los valores propios sean iguales.
18. Halla todas las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales que tengan por valores propios 1 y ¡1.
19. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea V = W1 © W 2 donde dim(W 1 ) = m. Encuentra el polinomio característico de la
proyección ¼ 1 de V sobre W 1 .
20. En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que tres se define la aplicación f dada por f (p(x)) =
p(x) + p0 (x):
(a) Demuestra que f es un endomorfismo.
(b) Halla la matriz A asociada
al endomorfismo
f respecto de la base canónica.
0
1
0 0 0 1
B 0 0 1 0 C
2
3
4
C
(c) Sea la matriz J = B
@ 0 1 0 0 A y la matriz B = A + J: Prueba que las matrices I; B; B ; B y B son linealmente
1 0 0 0
independientes.
(d) Halla la matriz inversa de B.
21. Se considera la matriz
0
1
1
1
1
1
B 1
1 ¡1 ¡1 C
C:
J=B
@ 1 ¡1
1 ¡1 A
1 ¡1 ¡1
1
Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz P que permita la diagonalización.
22. Encuentra una matriz C tal que C 2 = A, siendo
µ
¶
26 ¡10
A=
:
¡10
26
23. Calcula, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton, la inversa de la matriz
0
1
1
2 0
A = @ ¡1 3 1 A :
0
1 1
24. Sea B = fe1; e2 ; e3g una base de IR3 y A la matriz de un endomorfismo referido a dicha base. En dicho endomorfismo, los
subespacios
n
x¡y = 0
V 1 ´ x + y + z = 0; V 2 =
x¡z = 0
están asociados respectivamente a los vectores propios ¸ = 1 y ¸ = 1=2. Se pide:
(a) Diagonaliza la matriz A.
(b) Calcula la matriz M = 2A4 ¡ 7A3 + 9A2 ¡ 5A + I.
(c) Calcula la matriz N = A¡3 ¡ 4A¡ 2 + 5A¡ 1 + 4I.
25. Estudia para que valores reales de t, la matriz A es diagonalizable en el campo real siendo
µ
¶
cos t sen t
A=
:
sen t cos t
26. Encuentra una forma canónica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices:
0
1
0
1
0
1
0
3 2 ¡2
0 ¡1 ¡2
¡2
0 ¡1
3 2
D = @ 0 4 ¡1 A ; E = @ 1
3
1 A ; F = @ ¡1 ¡1 ¡1 A ; G = @ 4 10
0 1 2
1
0
3
1
0
1
3 6
27. Diagonaliza las siguientes matrices simétricas
0
3 ¡1
A = @ ¡1 3
0
0
1
0
1
0
0
102
0
0 A ; B = @ 0 ¡ 10 A ; C = @ 1
2
201
1
1
1 1
0 1A;
1 0
1
¡3
¡12 A :
¡7
11
0
0
t
calculando una matriz de paso P ortogonal que permita escribir su forma diagonal A como A = P AP:
28. Sea B = fe1 ; e2; e3 ; e4 ; e5 g una base del espacio vectorial R5 . Sea f un endomorfismo de R 5 del que se conoce
– f (e2 ) = ¡e2 :
– f (e3 + e4 ) = e3 + e4 :
– f (e5 ) = 2e 5 + e1 ¡ e2 :
– El polinomio característico de f tiene la raíz triple 2.
– Las ecuaciones implícitas, respecto de la base B, del núcleo del endomorfismo f ¡ 2I son
8
x + x 2 + x3 = 0
>
< 1
x3 + x4 = 0
>
: x5 = 0
:
Se pide
(a) Matriz de f respecto de la base B.
(b) La forma canónica de Jordan de f y una matriz de paso P .
29. Dada la matriz A:
0
¡1
A=@ 0
0
donde ® y ¯ son dos números reales. Se pide
®
¡1
0
1
0
¯ A
2
(a) Estudia para que valores de ® y ¯ la matriz A es diagonalizable.
(b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso correspondiente
en función de ® y ¯.
30. Estudia para qué valores de los parámetros a y b, reales, la matriz
0
1
5 0 0
A = @ 0 ¡1 b A
3 0 a
es diagonalizable, calculando:
(a) Forma canónica de Jordan y la matriz de paso para los valores a = ¡1 y b = ¡1.
(b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129 .
31. Sea f un endomorfismo de R 3 . Se sabe que una base del núcleo del endomorfismo está constituida por los vectores (1; 1; 0) y (1; 0; 1)
y que la imagen del vector (0; 2; 1) es el vector (1; 1; 0). Se pide
(a)
(b)
(c)
(d)
Valores propios y subespacios invariantes de f .
Diagonaliza el endomorfismo f .
Clasifica dicho endomorfismo.
Obten los subespacios invariantes de f n .