  EXAMEN ÁLGEBRA PRIMER PARCIAL (17-1-1997)

EXAMEN ÁLGEBRA PRIMER PARCIAL (17-1-1997)
TEORÍA:
1.- Demostrar que dos subespacios vectoriales E1 y E2 de un espacio vectorial E están en suma
directa precisamente si E1  E2={0}
2.- Demostrar las siguientes propiedades del supremo y del ínfimo:
 a  a  b   a

 a  b  c    a  b   c
PROBLEMAS:
1.- Diseñar una red de puertas lógicas lo más simplificada posible para la función lógica:
A  B  C    B  D 
¿Es la función equivalente a la función booleana:
f(A,B,C,D)= A  C  D   A  C    B  C   D   A  D 
2.- Para la construcción de un nuevo tramo de carretera se procederá a efectuar un estudio de
la mecánica del suelo, necesario para elaborar el proyecto de cimentación de un lado y el de
excavación y explanación por otro. Ambos proyectos son imprescindibles para la ejecución de
las actividades que planifican. Se necesita un estudio de impacto ambiental sobre la zona
previamente a la elaboración de ambos proyectos y a la construcción de una carretera
provisional de acceso. Asimismo la excavación, la explanación del terreno y la construcción de la
carretera provisional se realizarán una vez efectuada la contrata de las obras a una empresa del
sector. Lógicamente, la cimentación de la carretera se llevará a cabo una vez concluidas las
obras de excavación y explanación.
Elaborar la tabla de precedencias y el grafo PERT del proyecto de red viaria.
b) Calcular las rutas críticas y la duración del proyecto del
grafo de la figura, supuesto que la duración de las
actividades se mide en días:
¿Se puede recortar la duración de una sola actividad para
que el proyecto se termine en 4 días menos?. Justifica tu
respuesta
3.- Sean los subespacios de  4 dados por:
E1=<(1,0,-1,-1), (-1,0,0,1), (0,0,-1,0), (1,0,2,-1)>
E2={(x,y,z,t)/x=-  ; y=    ; z=    ; t=-  }
E3={(x,y,z,t)/ x+z=0; x+t=0; z-t=0}
Calcular:
a) Bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios
b) Bases de E 2   E 1  E 3  y de E 2s   E 1  E 3 
c) Ampliar si es necesario la base de  E 1  E 3  y calcular la base dual de la base obtenida
o
4.- Sean los subespacios V y W del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que tres, P3(x), tales que :
Vo=<(1,1,1,0), (-1,0,1,1), (2,1,0,-1)>
W=<x+x3, x-x3>
Y sea E el subespacio de [P3(x)]* dado por:
E={(x,y,z,t)/x=  ; y=0; z=-  -  ; t=0}
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Tomando como base de P3(x) la base canónica B={1, x, x2, x3} y como base de [P3(x)]* la base dual
de la base anterior. Calcular:
a) V+W ¿Son suma directa? ¿son suplementarios?
b) Calcular las ecuaciones implícitas de E s  W o   V o
c)
¿Pertenece el polinomio 1-x+x3 al subespacio Eo+Vs ?. En caso afirmativo, calcular las
coordenadas del polinomio en una base de ese subespacio.
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TEST PRIMER PARCIAL (17-1-1997)
1.- Se define en A={(x,y), 0  y  x 2 ;0  x  1 }
la relación (x,y)  (x’,y’)  x  x ' , y '  y .
Respecto esta relación, el elemento ( 12 , 14 ) es:
a) maximal
b) minimal
c) ninguna de las anteriores
2.- Se define en el conjunto de los números
naturales la relación xRy  xy=3. La relación
R es una relación
a) reflexiva
b) de equivalencia
c) simétrica
3.- Sea f:  3   n una aplicación lineal
inyectiva. Entonces:
a) n<3
b) n  3
c) n puede ser cualquier número natural
4.- Sea (e1, e2, e3) una base de  3 y sea E el
subespacio de  3 generado por los vectores
u1=e1, u2=2e1+e2, u3=3e1-e2-e3. Entonces:
a) dim Eo=2
b)dim E*=3
c)dim Es=1
5.- Sea f:  2   2 una aplicación lineal tal
que f(1,1)=(2,0), f(2,0)=(-1,1). Entonces:
a) dim Imf=2
b) dim Kerf=1
c)f(1,0)=(-1,1)
6.- Sea (e1, e2, e3, e4, e5) un sistema de
generadores de un espacio vectorial E y sea
f:E   5 una aplicación lineal biyectiva.
Entonces (f(e1),f(e2), f(e3), f(e4), f(e5))
a) es una base de  5
b) es un conjunto linealmente dependiente
de  5
c)no contiene un sistema de generadores de

5
7.- Sea f:  2   3 una aplicación lineal tal
que f(1,1)=(2,1,3), Kerf=<(0,2)>. Entonces
f(4,1) es:
a) (2,1,3)
b) (0,0,0)
c)(8,4,12)
8.- Sea X={a, b, c, d, e}. Se consideran los
siguientes subconjuntos de X:
A={a, b}; B={a, b, e}; C={a, e}; D={d}; E={c, d}.
Si F=Sup(A, B, C), entonces el
complementario de F es:
a) E
b) D
c)Ninguna de las anteriores
9.- Sea (e1, e2) una base de  2 y (w1, w2) su
base dual. La base dual de la base u1=w2,
u2=2w1+w2 es:
a)  21 ,1,  12 ,0 
b)  12 ,1,  21 ,0 
c)ninguna de las anteriores
10.- Sean E1, E2 subespacios vectoriales de
un espacio vectorial E, tales que dim E1=dim
E1  E2=2. Entonces:
a) dim(E1+E2)=2
b) dimE2<dimE1
c) dimE2  dimE1
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EXAMEN ÁLGEBRA PRIMER PARCIAL (18-1-1997)
TEORÍA:
1.- Demostrar que si E es un espacio vectorial de dimensión “n”, entonces E* es de dimensión
“n”.
2.- Demostrar con todo detalle, las leyes de De Morgan en un álgebra de Boole:

a  b  a  b


a  b  a  b
PROBLEMAS:
1.- Diseñar una red de puertas lógicas lo más simplificada posible para la función lógica:
 A  B  
D  B  C 

¿Existe alguna relación entre la función anterior y la función booleana:
F(A, B, C, D)=  A  B  C  D    A  B  C  D  ?
2.- Para la construcción de un nuevo tramo de carretera se procederá a efectuar un estudio de
la mecánica del suelo, necesario para elaborar el proyecto de cimentación de un lado y el de
excavación y explanación por otro. Ambos proyectos son imprescindibles para la ejecución de
las actividades que planifican. Se necesita un estudio de impacto ambiental sobre la zona
previamente a la elaboración de ambos proyectos y a la construcción de una carretera
provisional de acceso. Asimismo la excavación, la explanación del terreno y la construcción de la
carretera provisional se realizarán una vez efectuada la contrata de las obras a una empresa del
sector. Lógicamente, la cimentación de la carretera se llevará a cabo una vez concluidas las
obras de excavación y explanación.
Elaborar la tabla de precedencias y el grafo PERT del proyecto de red viaria.
b) Calcular las rutas críticas y la duración del proyecto del
grafo de la figura, supuesto que la duración de las
actividades se mide en días:
Si a los 15 días a la actividad F le restan 5 días, C lleva 15
días de ejecución y E ha finalizado, ¿Cuáles son las nuevas
rutas críticas?
3.- Sean los subespacios de  4 dados por:
E1={(x,y,z,t)/x+2y+t=0; 2x-y+2t=0; -x+y-t=0}
E2={(x,y,z,t)/x=  ; y=-2  ; z=     2  ; t=-  }
E3={(x,y,z,t)/ x+z=0; x+t=0; z-t=0}
Calcular:
a) Bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios
b) Bases de  E 2   E 1  E 3  y de E 2s   E 1  E 3 
o
o
c) Ampliar si es necesario la base de  E 1  E 3  y calcular la base dual de la base obtenida
o
4.- Sea E el subespacio del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3.
P3(x) , tales que:
E=<1+x2, x2, 1-x2>
Y sean los subespacios V y W de [P3(x)]* dados por:
V0=<1+x+x2, 1-x2-x3, 2+x-x3>
W={(x,y,z,t)/x+z=0; 2x-2z=0}
Página 4 de 20 ESM
Tomando como base de P3(x) la base canónica B={1, x, x2, x3} y como base de [P3(x)]* la base dual
de la base anterior. Calcular:
a) V+W. ¿Son suma directa?.¿ Son suplementarios?
b) Calcular ecuaciones implícitas de E s  W o   V o
c) ¿Pertenece el polinomio 1-x+x3 al subespacio incidente del subespacio E o  V s ? En caso
afirmativo, calcula las coordenadas del polinomio en una base de ese subespacio.
Página 5 de 20 ESM
TEST PRIMER PARCIAL (18-1-1997)
1.- Se define en A={(x,y), y  x ; y  2  x }
la relación (x,y)  (x’,y’)  x  x ' , y '  y .
Respecto esta relación, el elemento (2,2)
es:
a) maximal
b) minimal
c) ninguna de las anteriores
6.- Sea (e1, e2, e3, e4, e5) un sistema
linealmente independiente de un espacio
vectorial de  5 y sea
f:  5   6 una aplicación lineal inyectiva.
Entonces (f(e1),f(e2), f(e3), f(e4), f(e5))
a) es una base de Imf
b) es un conjunto linealmente dependiente de

2.- Se define en el conjunto de los
números naturales la relación xRy
 3xy=12. La relación R es una relación
a) reflexiva
b) no es una relación definida sobre los
números naturales.
c) simétrica
3.- Sea f:  n   3 una aplicación lineal
inyectiva. Entonces:
a) n  3
b) n>3
c) n puede ser cualquier número natural
4.- Sea (e1, e2, e3) una base de  3 y sea
E el subespacio de  3 generado por los
vectores u1=e1, u2=2e1+e2, u3=3e1-e2.
Entonces:
a) dim Eo=2
b) dim E*=3
c) dim Es=1
5.- Sea f:  2   2 una aplicación lineal
tal que f(1,1)=(2,0), f(2,0)=(8,0).
Entonces:
a) dim Imf=2
b) dim Kerf=1
c) f(1,0)=(-1,1)
Página 6 de 20 ESM
6
c) ninguna de las anteriores
7.-Sea (e1, e2) una base de  2 y sean u1=e1e2, u2=e1+e2. Las coordenadas del vector e13e2 respecto de la base (u1, u2) son:
a) 1,-3
b) 2,-1
c) 1,-2
8.- Sea X={a, b, c, d, e}. Se consideran los
siguientes subconjuntos de X:
A={a, b}; B={a, b, e}; C={a, e}; D={d}; E={c, d}.
Si F=Sup(A, E), y H=Inf(F,B), entonces el
complementario de H es:
a) {c, d}
b) {c,e}
c) {c, d, e}
9.- Sea (e1, e2) una base de  2 y (w1, w2) su
base dual. La base dual de la base u1=w1,
u2=2w1+w2 es:
a)  21 ,1,  12 ,0 
b)  12 ,1,  21 ,0 
c) ninguna de las anteriores
10.- Sean E1, E2 subespacios vectoriales de
un espacio vectorial E, tales que dim E2=dim
E1  E2=2. Entonces:
a) dim(E1+E2)=2
b) dimE2  dimE1
c) dimE2>dimE1
EXAMEN ÁLGEBRA FINAL PRIMER PARCIAL (20-6-1997)
TEORÍA:
1.- Teorema de Steinitz: enunciado y demostración.
2.- Demostrar todos los resultados que corresponden a la fórmula que proporciona la dimensión
del subespacio incidente
PROBLEMAS:
1.- Un camionero debe transportar cuatro mercancías distintas, cuyos volúmenes respectivos
son: 50, 20, 30, 10, a una misma localidad. Su intención es la de llevar el camión, que tiene una
capacidad de 80 m3, de manera que una vez cargado no quepa más. Escribir la función booleana
más simple que indique las distintas posibilidades que tiene en su primer viaje.
2.- Para la construcción de un nuevo tramo de carretera se procederá a efectuar un estudio de
la mecánica del suelo, necesario para elaborar el proyecto de cimentación de un lado y el de
excavación y explanación por otro. Ambos proyectos son imprescindibles para la ejecución de
las actividades que planifican. Se necesita un estudio de impacto ambiental sobre la zona
previamente a la elaboración de ambos proyectos y a la construcción de una carretera
provisional de acceso. Asimismo la excavación, la explanación del terreno y la construcción de la
carretera provisional se realizarán una vez efectuada la contrata de las obras a una empresa del
sector. Lógicamente, la cimentación de la carretera se llevará a cabo una vez concluidas las
obras de excavación y explanación. Todos los proyectos y estudios se realizarán en el plazo de
un mes, mientras que las distintas fases de la obra propiamente dicha se demorarán durante dos
meses. Por su parte, la contrata no será efectiva hasta pasado mes y medio.
a) Elaborar la tabla de precedencias, el grafo PERT y los caminos críticos
b) ¿Se puede recortar la duración de una sola actividad para que el proyecto se termine en 20
días menos de los previstos?. Justificar la respuesta.
3.- Sean E1, E2 y E3 subespacios de  4 dados por:
E1=<(1,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,-1,1)>
E2{(x,y,z,t)/x+y+z+t=0} E3=<(1,0,0,-1), (1,1,1,1), (0,1,1,2)>
Y sea E4 tal que un suplementario suyo es el subespacio V<(    ,     ,    ,     )> con
 ,  , ,   
a) ¿Existe algún par de subespacios Ei que sean suplementarios?.¿Y suma directa?. Justificar la
respuesta
b) Calcular una base y ecuaciones implícitas de  E 1  E 2  también para  E 1  E 3   E 4
4.- Sea [P3(x)]* el espacio dual del espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 y V1 y
V2 subespacios de [P3(x)]*. Que vienen dados por:
 f 1  w1  w 3

V1   f 2  w 2  w 3
f  w w
1
2
 3
V2=<{ (  2  ) w 1  (   ) w 2 } donde ( ,  ,  )   siendo B={w1, w2, w3} la base dual de
Bo={1,x,x2} mientras que el subespacio W es tal que su incidente E=Wo viene dado por:
E=<1-x, x2, x-1-x2>
Calcular:
o
a) Bases de V 1  V 2  y de V1  E o   V 2
b) Ecuaciones implícitas de V1  V 2   E o
c)
Dada una base de V 2o  E   V1o ampliarla si es necesario y calcular la base dual de la base
ampliada
Página 7 de 20 ESM
TEST FINAL PRIMER PARCIAL (20-6-1997)
1.- Se define en A={(x,y), y  x ; y  10  4 x }
la relación (x,y)  (x’,y’)  x  x ' , y '  y .
Respecto esta relación, el elemento (2,2)
es:
a) maximal
b) minimal
c) ninguna de las anteriores
2.- Se define en el conjunto de los
números naturales la relación xRy
 3xy=12. La relación R es una relación
a) no reflexiva
b) no es una relación definida sobre los
números naturales.
c) No simétrica
3.- Sea f:  3   n una aplicación lineal
inyectiva. Entonces:
a) n<3
b) n  3
c) n puede ser cualquier número natural
4.- Sea (e1, e2, e3) una base de  3 y sea E
el subespacio de  3 generado por los
vectores u1=e1, u2=2e1+e2, u3=3e1-e2+e3.
Entonces:
a) dim Eo=2
b) dim E*=3
c) dim Es=1
5.- Sea f:  2   2 una aplicación lineal tal que
f(1,1)=(2,0), f(2,0)=(8,2). Entonces:
a) dim Imf=2
b) dim Kerf=1
c) f(1,0)=(-1,1)
Página 8 de 20 ESM
6.- Sea (f(e1),f(e2), f(e3), f(e4), f(e5)) un
sistema linealmente dependiente de un
espacio vectorial E y sea
f:  6  E una aplicación lineal inyectiva.
Entonces (e1,e2, e3, e4, e5)
a) es una base de Kerf
b) es un conjunto linealmente
dependiente de  6
c) ninguna de las anteriores
7.-Sea (e1, e2) una base de  2 y sean
u1=e1-e2, u2=e1+e2. Las coordenadas del
vector -e1-3e2 respecto de la base (u1, u2)
son:
a) 1,-3
b) 2,-1
c) 1,-2
8.- Sea X={a, b, c, d, e}. Se consideran
los siguientes subconjuntos de X:
A={a, b}; B={a, b, e}; C={a, e}; D={d}; E={c,
d}. Si F=Sup(A, E), y H=Inf(F,E),
entonces H es:
a) {c, d}
b) {c,e}
c) {c, d, e}
9.- Sea (e1, e2) una base de  2 y (w1, w2)
su base dual. La base dual de la base
u1=w1, u2=2w1+w2 es:
a)  21 ,1,  12 ,0 
b) {(1,-2), (0,1)}
c) ninguna de las anteriores
10.- Sean E1, E2 subespacios vectoriales
de un espacio vectorial E, tales que dim
E2=dim E1  E2=2. Entonces:
a) dim(E1+E2)=2
b) dimE2<dimE1
c) dimE2  dimE1
2º EXAMEN ÁLGEBRA FINAL PRIMER PARCIAL (20-6-1997)
TEORÍA:
1.- Demostrar que las aplicaciones lineales biyectivas transforman bases en bases.
2.- Demostrar que las bases son sistemas de generadores minimales y sistemas linealmente
independientes maximales.
PROBLEMAS:
1.- Una empresa de automóviles comercializa sus vehículos con una numeración que incluye a
todos los impares de 1 al 15. Los modelos con pintura metalizada se identifican con un número
impar primo. Escribir la función booleana más sencilla posible que indica, al introducir el código
en sistema binario, cuando se trata de un modelo metalizado.
2.- Para la construcción de un nuevo tramo de carretera se procederá a efectuar un estudio de
la mecánica del suelo, necesario para elaborar el proyecto de cimentación de un lado y el de
excavación y explanación por otro. Ambos proyectos son imprescindibles para la ejecución de
las actividades que planifican. Se necesita un estudio de impacto ambiental sobre la zona
previamente a la elaboración de ambos proyectos y a la construcción de una carretera
provisional de acceso. Asimismo la excavación, la explanación del terreno y la construcción de la
carretera provisional se realizarán una vez efectuada la contrata de las obras a una empresa del
sector. Lógicamente, la cimentación de la carretera se llevará a cabo una vez concluidas las
obras de excavación y explanación. Todos los proyectos y estudios se realizarán en el plazo de
un mes, mientras que las distintas fases de la obra propiamente dicha se demorarán durante dos
meses. Por su parte, la contrata no será efectiva hasta pasado mes y medio.
a) Elaborar la tabla de precedencias, el grafo PERT y los caminos críticos
b) ¿Se puede recortar la duración de una sola actividad para que el proyecto se termine en 20
días menos de los previstos?. Justificar la respuesta.
3.-Sean E1, E2 y E3 subespacios de  4 dados por:
E1={(x,y,z,t)/x-2y+t=0; y-z=0; x-y-z+t=0}
E2{    ,    ,    ,     }
E3=<(-1,1,0,0), (-1,0,1,0), (-1,0,0,1), (0,0,1,-1)>
Y sea E4 tal que un suplementario suyo es el subespacio V<(    ,     ,    ,     )> con
 ,  , ,   
a)¿Existe algún par de subespacios Ei que sean suplementarios?.¿Y suma directa?. Justificar la
respuesta
s
b)Calcular una base y ecuaciones implícitas de  E 1  E 3  también para  E 1  E 2   E 4
4.- Sea [S3(x)]* el espacio dual del espacio de las matrices triangulares superiores de 2x2 y V1,
V2 y W subespacios de [S3(x)]*. Los subespacios V1 y V2 vienen dados por :
 f 1  w1  w 2

V1   f 2  w1  w 2
 f  2w
1
 3
V2=<    w1      w 2     w 3  ,  ,  ,   
 1
Siendo B={w1, w2, w3 } la base dual de Bo=  
 0
1
tal que su incidente viene dado por E=< 
0
Calcular:
Página 9 de 20 ESM
0  0

0   0
 1  0

0   0
1  0

0   0
0   1

1   0
0 

1  
1
>
2 
mientras que el subespacio W es
a) Bases de V 1  V 2  y de V 2  E o   V1
o
b) Ecuaciones implícitas de V1  V 2   E o
Dada una base de V1o  E   V 2o ampliarla si es necesario y calcular la base dual de la base
ampliada.
Página 10 de 20 ESM
TEST 2º FINAL PRIMER PARCIAL (20-6-1997)
1.- Se define en
A={(x,y), 0  y  x 2 ;0  x  1 } la relación
(x,y)  (x’,y’)  x  x ' , y  y ' . Respecto esta
relación, el elemento ( 12 , 14 ) es:
a) maximal
b) minimal
c) ninguna de las anteriores
2.- Se define en el conjunto de los
números naturales la relación xRy  xy=3.
La relación R es una relación
a) no reflexiva
b) no es una relación definida sobre los
números naturales
c) no simétrica
3.- Sea f:  n   3 una aplicación lineal
inyectiva. Entonces:
a) n  3
b) n>3
c) n puede ser cualquier número natural
4.- Sea (e1, e2, e3) una base de  3 y sea E
el subespacio de  3 generado por los
vectores u1=e3, u2=e1+e2, u3=-e1-e2-3e3.
Entonces:
a) dim Eo=2
b) dim E*=3
c) dim Es=1
5.- Sea f:  2   2 una aplicación lineal tal
que f(1,1)=(2,0), f(2,0)=(2,0). Entonces:
a) dim Imf=2
b) dim Kerf=1
c) f(1,0)=(-1,0)
Página 11 de 20 ESM
6.- Sea (e1, e2, e3, e4, e5) un sistema
linealmente independiente de un espacio
vectorial E y sea f:E   5 una aplicación
lineal biyectiva. Entonces (f(e1),f(e2), f(e3),
f(e4), f(e5))
a) no es una base de  5
b) es un conjunto linealmente dependiente de

5
c) es un sistema de generadores de  5
7.- Sea f:  2   3 una aplicación lineal tal
que f(4,1)=(2,1,3), Kerf=<(0,2)>. Entonces
f(4,2) es:
a) (2,1,3)
b) (0,0,0)
c) (8,4,12)
8.- Sea X={a, b, c, d, e}. Se consideran los
siguientes subconjuntos de X:
A={a, b}; B={a, b, e}; C={a, e}; D={d}; E={c, d}.
Si F=Inf(A, B, C), entonces el suplementario
de F es:
a) E
b) D
c) Ninguna de las anteriores
9.- Sea (e1, e2) una base de  2 y (w1, w2) su
base dual. La base dual de la base u1=w1,
u2=2w1+w2 es:
a)  21 ,1,  12 ,0 
b)  12 ,1,  21 ,0 
c) ninguna de las anteriores
10.- Sean E1, E2 subespacios vectoriales de
un espacio vectorial E, tales que dim E2=dim
E1  E2=2. Entonces:
a) dim(E1+E2)=2
b) dimE2  dimE1
c) dimE2>dimE1
EXAMEN ÁLGEBRA FINAL SEGUNDO PARCIAL (23-6-1997)
TEORÍA:
1.- Fórmula del cambio de base para endomorfismos. Enunciado y demostración
2.- Criterio de diagonalización con el polinomio anulador
PROBLEMAS:
1.- Sean B={e1=(1,0,-1), e2=(0,1,1), e3=(1,-1,0)} y B’={u1=(0,1,-1), u2=(1,0,1), u3=(0,1,2)} sendas
bases de  3 y f el endomorfismo definido como:
f(e1)=u1+u2
f(e2)=u1+2u2-u3
f(e3)=2u2-2u3
a) Calcular la matriz del endomorfismo en las bases B’ y B en los espacios inicial y final
respectivamente
b) Base del Kerf y ecuaciones implícitas de Imf en la base B
c) Calcular f-1(e1+e2) en la base B
2.- Estudiar para los distintos valores reales de a y b el sistema:
 x  b  1  y  2 z  1

3 x  3 y  4 z  7

 x  3  b  y  z  3
 2 x  a  1 y  3 z  a  1

Resolverlo si es posible, para el caso a=0, b=4
3.- Sea  3 con el producto escalar usual y la base B={e1=(1,0,1), e2=(-1,1,0), e3=(0,0,1)}. Tenemos
los s.e.v V y W de  3 dados por:
V=<e2+e3>
W={(x,y,z)/ x+z=0, y+z=0, 2x-y+z=0}
Siendo (x,y,z) coordenadas respecto a la base dada B.
Se pide:
a) Calcular una base de V  y de W  . ¿Son V  y W subespacios ortogonales entre sí ¿. Razona la
respuesta.
b) Calcular un vector unitario que sea ortogonal a V y a W
c) Ortonormalizar la base W  calculada en a)
4.- Calcular An siendo A la matriz asociada en la base canónica a la aplicación lineal T:  3   3
que verifica:
T(0,1,1)=(0,-1,-1)
T(2,0,-1)=(0,4,3)
T(1,1,1)=(-1,-1,-1)
¿Qué ocurre con An cuando n es par?. Razona la respuesta.
Página 12 de 20 ESM
TEST FINAL SEGUNDO PARCIAL (23-6-1997)
1.- La matriz de cambio de base de la base
{(1,2), (1,-1)} a la base {(1,2), (2,1)} es:
1
a) 
0
0
b) 
1
2
c) 
1
1

1 
1

0 
1

2 
1
y 
1
4
e
2x
e
2 x
 x

es:
a) y”-4y=x2+1/2
b) y”-4y=x
c) y”-4y=-4x
2
 la matriz de un
2.- Sea 
2 1
endomorfismo T de  2 en una base V={e1,
1
e2}, y sea 
0
6.- La ecuación diferencial cuya solución es:
0 
 la matriz del
 1 
endomorfismo T en una base B y en la base
V. Entonces la base B es:
a) {(1, 2), (-2,-1)}
b) {(1, 2), (2, 1)}
c) {(-1,-2), (2,1)}
7.- Sea T:  3   3 la aplicación lineal cuya
matriz en una base {e1, e2, e3} es
 1

A 1
1

1
1
0
1

0  y sea B la matriz de T en la
0 
base {e1, 2e2+3e3, e1+e2+e3}. Entonces:
a) B   1
b) AB  0
c) T es epiyectiva
3.- Sea T:  3   3 una aplicación lineal tal
que ImT=<(1,1,1)>. Sea A la matriz asociada a
T y la matriz traspuesta de (2,1,2). El
sistema AX=B es:
a) incompatible
b) compatible indeterminado
c) depende de B
8.- Sea T un endomorfismo de  3 cuyos
valores propios son todos los números
enterosa. Sean e, u,dos vectores propios de
T de valor propio 1 y sea v un vector propio
de T de valor propio –1, y sea e’ un vector
propio de T de valor propio 2. Entonces:
a) CT(x)=(x2-1)(x-2)
b) AT(x)=(x-1)(x-2)
c) T no es par
4.- Sea f:  4   5 una aplicación lineal, y
sea A la matriz asociada a f. El sistema
AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c) no se puede saber con estos datos
9.- Sean e1, e2, dos vectores propios
distintos de un endomorfismo T de  3 ,
linealmente dependientes. Entonces:
a) e1, e2, tienen distintos valores propios
b) e1, e2 tienen el mismo valor propio
c) T diagonaliza
5.- Sea {e1, e2, e3} una base ortogonal de  3
tal que e 1  e 2  e 3 . Si V es un subespacio
10.- Si e, u, v son tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , de valor propio 1
y linealmente independientes, entonces:
a) T=Id
b) T-Id no tiene vectores propios
c) T+2Id no diagonaliza
vectorial de  3 tal que Vo=<(1, 2, 5)>,
entonces V  :
a) está generado por (1,2,5)
b) es de dimensión 2
c) ninguna de las anteriores.
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2º TEST ÁLGEBRA FINAL SEGUNDO PARCIAL (24-6-1997)
1.- La matriz de cambio de base de la base
{(1,2), (1,-1)} a la base {(1,-1), (1,2)} es:
0
a) 
0
0
b) 
1
0

1 
1

0 
1
2
3
1
1
3
c) 
1
 1e
2x
e
2 x
x
2

es:
a) y”-4y=x2+1/2
b) y”-4y=x
c) y”-4y=0
2
 la matriz de un
2.- Sea 
2 1
endomorfismo T de  2 en una base V={e1,
1
e2}, y sea 
1
y 
4




1
6.- La ecuación diferencial cuya solución es:
1 
 la matriz del
 1 
endomorfismo T en una base B y en la base
V. Entonces la base B es:
a) {(1/3, 1/3), (-1,1)}
b) {(3/2, 3/2), (-1/2, 1/2)}
c) no se puede calcular con estos datos
3.- Sea T:  3   2 una aplicación lineal tal
que ImT=<(1,1,1)>. Sea A la matriz asociada a
T. El sistema AX=B es:
a) incompatible
b) compatible indeterminado
c) depende de B
4.- Sea f:  4   4 una aplicación no
epiyectiva, y sea A la matriz asociada a f. El
sistema AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c) no se puede saber con estos datos
5.- Sea {e1, e2, e3} una base ortogonal de  3
tal que e 1  e 2  e 3 . Si V es un subespacio
vectorial de  3 tal que Vo=<(1, 2, 5)>,
entonces V  :
a) está generado por (1,2,5)
b) es de dimensión 2
c) ninguna de las anteriores.
Página 14 de 20 ESM
7.- Sea T:  3   3 la aplicación lineal cuya
matriz en una base {e1, e2, e3} es
 1

A 1
1

1
1
0
1

0  y sea B la matriz de T en la
0 
base {e1, 2e2+3e3, e1+e2+e3}. Entonces:
a) B  1
b) AB  1
c) T no es epiyectiva
8.- Sea T un endomorfismo de  3 cuyos
valores propios son todos los números
enteros. Sean e, u, dos vectores propios de
T de valor propio 1 y sea v un vector propio
de T de valor propio –1 y sea e’ un vector
propio de T de valor propio 2. Entonces:
a) CT(x)=(x2-1)(x-2)
b) AT(x)=(x-1)(x-2)
c) T no es par
9.- Sean e1, e2, dos vectores propios
distintos de un endomorfismo T de  3 ,
linealmente dependientes. Entonces:
a) e1, e2 tienen distintos valores propios
b) e1, e2 tienen el mismo valor propio
c) T diagonaliza
10.- Si e, u, v son tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , de valor propio 1
y linealmente independientes, entonces:
a) T=Id
b) T-Id no tiene vectores propios
c) T+2Id no diagonaliza
EXAMEN ÁLGEBRA SEGUNDO PARCIAL (30-5-1997)
TEORÍA:
1.- Fórmula de cambio de base para endomorfismos: enunciado y demostración
2.- Criterio de diagonalización con el polinomio característico: enunciado y demostración
PROBLEMAS:
1.- Sea P2(x) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos, con las
operaciones usuales. Sea f el endomorfismo de P2(x) que verifica:
2
2

 f ( a  ax  bx )  ax  ax  b ___  a , b  

2

 Kerf  bx  3 bx / b  


Se pide:
a) Matriz del endomorfismo f en la base B={1-x, x-x2, x2+x}.
b) Calcular f(W) siendo W el subespacio de ecuación implícita x1+2x2=0, donde (x1, x2, x3) son
coordenadas en la base B
c) Imagen inversa del subespacio V=<1-x-x2, 2>.
2.- Sea f el endomorfismo de  2 tal que en sendas bases B y B’ responde a las expresiones:
f(x,y)=(2x+y, -x+y) f’(x’, y’)=(3y’, -x’+3y’)
Calcular la expresión de los vectores de B como combinación lineal de los vectores de B’
detallando el procedimiento seguido
3.- Sea el espacio de los polinomios en x de grado menor o igual que 2, P2(x), y sea un producto
escalar que en la base B={1, 1-x, -1+x2} tiene asociada la matriz:
 1

G  1
1

 1

 1
2 
1
3
1
a) Calcular la matriz del producto escalar en la base canónica Bo={1, x, x2}
b) Calcular el módulo del polinomio p(x)=2+x-x2
c) Ortonormalizar una base de V  siendo V un subespacio de P2(x) tal que Vo=<(1, -2, 1), (1, 0, 1)>, en la base dual de B
4.- Estudiar la diagonalización del endomorfismo T de  3 según los valores de los parámetros
reales a y b, y calcular una base de diagonalización para a=1, b=2
1

T  0
 0

3
a
a
3a 

0 
b 
Página 15 de 20 ESM
TEST SEGUNDO PARCIAL (30-5-1997)
1.- La matriz de cambio de base de la base
{(1,2), (1,-1)} a la base {(1,-1), (1,2)} es:
1 0

a) 
0 1
0 1

b) 
1 0
c)
1

1

2
3
1
3
1
e
2x
e
2 x
x

es:
a) y”-4y=0
b) y”-4y=x
c) y”-4y=x2
2
 la matriz de un
2.- Sea 
2 1
endomorfismo T de  2 en una base V={e1,
1
e2}, y sea 
1
y 
4




1
6.- La ecuación diferencial cuya solución es:
1 
 la matriz del
 1 
endomorfismo T en una base B y en la base
V. Entonces la base B es:
a) {(1/3, 1/3), (-1,1)}
b) {(1/3, -1), (1/3, 1)}
c) no se puede calcular con estos datos
7.- Sea T:  3   3 la aplicación lineal cuya
matriz en una base {e1, e2, e3} es
1

A  1
1

1
1
0
1

0  y sea B la matriz de T en la
0 
base {e1, 2e2+3e3, e1+e2+e3}. Entonces:
a) B  1
b) AB  0
c) T no es epiyectiva
3.- Sea T:  3   2 una aplicación lineal tal
que KerT=<(1,1,1)>. Sea A la matriz asociada a
T. El sistema AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c) depende de B
8.- Sea T un endomorfismo de  3 cuyos
valores propios son todos los números
naturales. Sean e, u, v, tres vectores propios
de T de valor propio 1 y sea e’ un vector
propio de T de valor propio 2. Entonces:
a) CT(x)=(x-1)2(x-2)
b) AT(x)=(x-1)(x-2)
c) T es par
4.- Sea f:  4   4 una aplicación lineal
epiyectiva, y sea A la matriz asociada a f. El
sistema AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c)no se puede saber con estos datos
9.- Sean e1, e2, e3 tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , linealmente
independientes. Entonces:
a) e1, e2, e3 tienen distintos valores propios
b) e1, e2, e3 tienen el mismo valor propio
c) T diagonaliza
5.- Sea {e1, e2, e3} una base ortogonal de  3
tal que e1  e 2  e 3 . Si V es un subespacio
10.- Si e, u, v son tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , de valor propio 1
y linealmente independientes, entonces:
a) T no diagonaliza
b) T-Id no tiene vectores propios
vectorial de  3 tal que Vo=<(1, 2, 5)>,
entonces V  :
a) está generado por (1,2,5)
b) es de dimensión 2
c) ninguna de las anteriores.
Página 16 de 20 ESM
c) T+2Id diagonaliza
EXAMEN ÁLGEBRA SEGUNDO PARCIAL (31-5-1997)
TEORÍA:
1.- Teorema del rango: enunciado y demostración
2.- Demostrar con todo detalle que la polaridad asociada a un producto escalar es un
isomorfismo, que transforma el subespacio ortogonal en el incidente.
PROBLEMAS:
1.- Sea S3(R) el espacio vectorial de las matrices triangulares superiores de orden dos, con las
operaciones usuales. Sea f el endomorfismo de S3(R) que verifica:
a
f 
0
1 1

a   0
a

a 
f
1
a

0
a b

b   0
b

a 
a, b  
Se pide:
  1
a) Matriz del endomorfismo f en la base B   
 0
1  1
, 
1   0
 1  1
, 
1   0
1 

 1  
b) Calcular f(W) siendo W el subespacio de ecuación implícita x1+2x2=0, donde (x1, x2, x3) son
coordenadas en la base B
c) Imagen inversa del subespacio cuyas ecuaciones paramétricas son:
V   y 1   , y 2   , y 3  2   ;   ,     , con (y1, y2, y3) coordenadas respecto de la base
canónica
2.- Sea f el endomorfismo de  2 tal que en sendas bases B y B’ responde a las expresiones:
f(x,y)=(2x+y, -x+y)
f’(x’, y’)=(3y’, -x’+3y’)
Calcular la expresión de los vectores de B’ como combinación lineal de los vectores de B
detallando el procedimiento seguido
3.- Sea el espacio de los polinomios en x de grado menor o igual que 2, P2(x), y sea un producto
escalar que en la base B={1+x, 1-x, -1+x2} tiene asociada la matriz:
 6

G   4
 6

4
3
4
 6

4 
7 
a) Calcular la matriz del producto escalar en la base B’={2, x-3, x+x2}
b) Calcular el módulo del polinomio p(x)=1+2x+x2
c) Ortonormalizar una base de V  siendo V un subespacio de P2(x) tal que Vo=<(-1, 0, 1), (1, 2,
0)>, en la base dual de B
4.- Estudiar la diagonalización del endomorfismo T de  3 según los valores de los parámetros
reales a y b, y calcular una base de diagonalización para a=2, b=1
 a

T  0
 3b

Página 17 de 20 ESM
ab
b
ab
0 

0 
 1 
TEST SEGUNDO PARCIAL (31-5-1997)
1.- La matriz de cambio de base de la base
{(1,2), (1,-1)} a la base {(-1,1), (-2,-4)} es:
 2

0 
1

0 
2

0 
1 2
 la matriz de un
2.- Sea 
2 1
 0
a) 
1
0
b) 
1
0
c) 
1
endomorfismo T de  2 en una base V={e1,
3
e2}, y sea 
3
1 
 la matriz del
 1 
endomorfismo T en una base B y en la base
V. Entonces la base B es:
a) {(1, -1), (1,1)}
b) {(1, 1), (-1, 1)}
c) no se puede calcular con estos datos
3.- Sea T:  3   3 una aplicación lineal tal
que KerT=<(1,1,1)>. Sea A la matriz asociada a
T. El sistema AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c) depende de B
4.- Sea f:  4   3 una aplicación lineal
epiyectiva, y sea A la matriz asociada a f. El
sistema AX=B es:
a) compatible determinado
b) compatible indeterminado
c) no se puede saber con estos datos
5.- Sea {e1, e2, e3} una base ortogonal de  3
tal que e1  e 2  e 3 =4. Si V es un subespacio
vectorial de  tal que Vo=<(1, 2, 5)>,
entonces V  :
a) está generado por (1,2,5)
b) es de dimensión 2
c) ninguna de las anteriores.
3
Página 18 de 20 ESM
6.- La ecuación diferencial cuya solución es:
y 
1
4
e
2x
e
2 x
 x

es:
a) y”+4y=4x
b) y”-4y=x
c) y”-4y=-x
7.- Sea T:  3   3 la aplicación lineal cuya
matriz en una base {e1, e2, e3} es
 1

A  1
 1

1
1
0
 1

0  y sea B la matriz de T en la
0 
base {e1, 2e2+3e3, e1+e2+e3}. Entonces:
a) B  1
b) AB  1
c) T no es epiyectiva
8.- Sea T un endomorfismo de  3 cuyos
valores propios son todos los números
naturales. Sean e, u, v, tres vectores
linealmente independientes de valor propio 1
y sea e’ un vector propio de T de valor propio
3. Entonces:
a) T no diagonaliza
b) AT(x)=(x-1)(x-3)
c) T es par
9.- Sean e1, e2, e3 tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , linealmente
independientes. Entonces:
a) e1, e2, e3 tienen distintos valores propios
b) e1, e2, e3 tienen el mismo valor propio
c) T diagonaliza
10.- Si e, u, v son tres vectores propios de
un endomorfismo T de  3 , de valor propio 5
y linealmente independientes, entonces:
a) T no diagonaliza
b) T+Id no tiene vectores propios
c) T-2Id diagonaliza
EXAMEN ÁLGEBRA FINAL SEPTIEMBRE (6-9-1997)
TEORÍA:
1.- Demostrar con todo detalle, que si f es una aplicación lineal entre dos subespacios
vectoriales, Kerf e Imf son subespacios vectoriales
2.- Criterio de diagonalización con el polinomio característico. Enunciado y demostración
PROBLEMAS:
1.- Diseñar una red de puertas lógicas lo más simplificada posible para la función lógica:
f  A, B , C , D    A  B   D  B  C 
¿Existe alguna relación entre la función anterior y la función booleana del circuito de la figura?.
Razona la respuesta.
2.- Sea [P3(x)]* el espacio dual del espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 y V1 y
V2 subespacios de [P3(x)]*. Que vienen dados por:
 f 1  w1  w 3

V1   f 2  w 2  w 3
f  w w
1
2
 3
V2=<{ (  2  ) w 1  (   ) w 2 } donde ( ,  ,  )   siendo B={w1, w2, w3} la base dual de
Bo={1,x,x2} mientras que el subespacio W es tal que su incidente E=Wo viene dado por:
E=<1-x, x2, x-1-x2>
Calcular:
o
a) Bases de V 1  V 2  y de V1  E o   V 2
b) Ecuaciones implícitas de V1  V 2   E o
c) Dada una base de V 2o  E   V1o ampliarla si es necesario y calcular la base dual de la base
ampliada
3.- Sean B={e1=(1,0,-1), e2=(0,1,1), e3=(1,-1,0)} y B’={u1=(0,1,-1), u2=(1,0,1), u3=(0,1,2)} sendas
bases de  3 y f el endomorfismo definido como:
f(e1)=u1+u2
f(e2)=u1+2u2-u3
f(e3)=2u2-2u3
a) Calcular la matriz del endomorfismo en las bases B’ y B en los espacios inicial y final
respectivamente
b) Base del Kerf y ecuaciones implícitas de Imf en la base B
c) Calcular f-1(e1+e2) en la base B
4.- Calcular An siendo A la matriz asociada en la base canónica a la aplicación lineal T:  3   3
que verifica:
T(1,1,0)=(-1,-1,0)
T(0,1,2)=(2,3,0)
T(1,1,1)=(-1,-1,-1)
n
¿Qué ocurre con A cuando n es impar?. Razona la respuesta.
Página 19 de 20 ESM
TEST FINAL SEPTIEMBRE (6-9-1997)
1.- Se define en A={(x,y), x 2  y  x ;0  x  1 }
1
2
 la matriz de un
1 
la relación (x,y)  (x’,y’)  x  x ' , y  y ' .
6.- Sea 
 2
Respecto esta relación, el elemento ( 12 , 12 ) es:
endomorfismo T de  2 en una base V={e1,
a) Minimal
b) Maximal
c) Es el primer elemento
e2}, y sea 
2.- Sea (e1, e2) una base de  2 y (w1, w2) su
base dual. La base dual de la base {u1=w1+w2,
u2=w1-w2} es:
a) ( 1/2, ½ ), (1,-1)
b) ( 1/2, ½ ), (-1/2, ½)
c) (1/2, ½ ), (1/2,-1/2)
3.- Sea f:  2   una aplicación lineal tal
que f(2,0)=-1997. Entonces:
a) f es epiyectiva
b) f es inyectiva
c) no existen aplicaciones lineales con esas
condiciones
4.-Sea (e1, e2) una base de  2 y sea u1=e2,
u2=e1-2e2. Sea id:  2   2 la aplicación . Las
coordenadas de id(e1) en la base ( u1, u2) son:
a) (2/5, -1/5)
b) (2/5, 1/5)
c) ninguna de las anteriores.
5.- Sea E el subespacio de  3 generado pro
los vectores (1,0,0), (-1,1,2), (-1,2,4)
Entonces:
a) dimEo=0
b) dimEo=1
c) dimEo=2
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1
1
 1
 la matriz del
1 
endomorfismo T en una base B y en la base
V. Entonces la base B es:
a) {(-3/2, 1/2), (1/2,3/2)}
b) {(1/2, 3/2), (-3/2, 1/2)}
c) {(3/2, -1/2), (1/2, -3/2)}
7.- Sea T:  3   2 una aplicación lineal tal
que dim(KerT)=1. Sea A la matriz asociada a
T. El sistema AX=B es:
a) incompatible
b) compatible indeterminado
c) no se puede saber con estos datos
8.- Se considera el producto escalar
ordinario en  2 y la base u1=(1,1), u2=(2,-1).
El módulo del vector de coordenadas 2,1 en
la base (u1, u2) es:
a)  5
b) 17
c)
5
1
9.- Sea A= 
 5
2
 la matriz de una
4 
aplicación lineal T en la base (e1, e2) , y sea B
la matriz asociada a la aplicación f:  2   2 ,
tal que f(e1)=T(e1+e2), f(e2)=-2T(e2) .
Entonces B es:
a) –1
b) –14
c) 28
10.- Sea T un endomorfismo de  3 cuyos
valores propios son 1 y 5, tal que
dim(Im(T-1))=1. Entonces:
a) T es diagonalizable
b) CT(x)=(x-1)(x-5)
c) No se puede saber con estos datos.