Problemas Seminario 1 con algunas Soluciones

Álgebra lineal y Geometrı́a II
Daniel Hernández Serrano
Darı́o Sánchez Gómez
Departamento de MATEMÁTICAS
SEMINARIO I.
1.
Clasificación de Endomorfismos.
1.1. Anulador y diagonalización.
1. Calcular el polinomio caracterı́stico y anulador de las siguientes matrices:






a 0 0
a 0 0
a 0 0
0 a 0 , 1 a 0 , 1 a 0 .
0 0 a
0 0 a
0 1 a
3
2. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de R y T el endomorfismo de R3 cuya matriz en esta base es:


1 4 −12
0 3 −9  .
0 1 −3
Calcular el polinomio caracterı́stico y el anulador. Estudiar la diagonalización de T .
3. Calcular el polinomio anulador y estudiar la diagonalización del endomorfismo T cuyas ecuaciones
son:
x0 = x + t , y 0 = y , z 0 = z − t , t0 = 3z + 5t .
4. Estudiar en función de los distintos valores del parámetro a la diagonalización de la matriz:


a + 1 0 2a
a 2a
A= 1
−1/2 0 0
Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalización.
5. Sea M2×2 (k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiar
la diagonalización del endomorfismo:
TA : M2×2 (k) → M2×2 (k)
B 7→ A · B
1 1
donde A =
y a ∈ k.
0 a
6. Demostrar que para todo endomorfismo
de C2 de determinante 1 y traza distinta de ±2 existe
λ
0
una base en la que su matriz es
.
0 1/λ
1
2
Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez
ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO I.
4. Estudiar en función de los distintos valores del

a+1
A= 1
−1/2
parámetro a la diagonalización de la matriz:

0 2a
a 2a
0 0
Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalización.
Solución: Calculemos el polinomio caracterı́stico cA (x) de A.
x − (a + 1)
−1
cA (x) = |xId − A| = 1/2
0
x−a
0
−2a
−2a = (x − a)2 (x − 1) .
x Los valores propios de A serán x = a (dos veces) y x = 1. Calculemos los subespacios de vectores
propios correspondientes.

   
a
0
2a
x
0 o
n
a − 1 2a  y  = 0
Ker(T − Id) = (x, y, z) :  1
−1/2
0
−1
z
0
(
−x/2 = z
=
(1 − a)(x − y) = 0
   

x
0 o
1
0 2a
n
0 2a  y  = 0
Ker(T − aId) = (x, y, z) :  1
z
0
−1/2 0 −a
= { x + 2az = 0
= h(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)i
Distinguimos dos casos:
1) a 6= 1, entonces
Ker(T − Id) =
z = −x/2
y=x
= h(2, 2, −1)i
Ker(T − aId) = h(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)i
2) a = 1, sólo hay un valor propio x = 1 y
Ker(T − Id) = h(−2, 0, 1), (0, 1, 0)i
Teniendo en cuenta el criterio de diagonalización por el polinomio caracterı́stico se tiene que A
diagonaliza cuando a 6= 1. En ese caso una base de diagonalización viene dada por
{(2, 2, −1), (−2a, 0, 1), (0, 1, 0)} .
5. Sea M2×2 (k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiar
la diagonalización del endomorfismo:
TA : M2×2 (k) → M2×2 (k)
B 7→ A · B
donde A =
1
0
1
y a ∈ k.
a
Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez
n 1 0 0 1 0 0 0
Solución: La matriz asociada a TA respecto de la base
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0


1 0 1 0
0 1 0 1

es TA = 
0 0 a 0. Calculemos su polinomio caracterı́stico
0 0 0 a
x − 1
0
−1
0 0
x−1
0
−1 = (x − 1)2 (x − a)2 .
cTA (x) = |xId − TA | = 0
0
x
−
a
0 0
0
0
x − a
3
0 o
1
Los valores propios son x = 1 (dos veces) y x = a (dos veces). Calculando los subespacios de
vectores propios asociados a estos valores propios tenemos:

0 0
1
n
0 0
0
Ker(TA − Id) = (x, y, z, t) : 
0 0 a − 1
0 0
0
z=0
=
t=0
1 0
0 1
=h
,
i.
0 0
0 0

1−a
0
n
 0
1
−
a
Ker(TA − aId) = (x, y, z, t) : 
 0
0
0
0
(
(1 − a)x + z = 0
=
(1 − a)y + t = 0
1
0
0
1
=h
,
i.
a−1 0
0 a−1
   
0
x
0
y  0 o
1 
  =  
0   z  0
0
t
a−1
   
0
x
1 0
y  0 o
0 1
  =  
0 0  z  0
0
t
0 0
En consecuencia si a 6= 1
1
{
0
el endomorfismo TA diagonaliza en la base
0
0 1
1
0
0
1
,
,
,
}
0
0 0
a−1 0
0 a−1


1
 1

.
y la matriz respecto de dicha base es 


a
a
2
6. Demostrar que para todo endomorfismo
de
C
de
determinante 1 y traza distinta de ±2 existe
λ
0
una base en la que su matriz es
.
0 1/λ
Solución: Hay que demostrar que existe una base de C2 en la que T diagonaliza, siendo sus
valores propios uno inverso del otro y distintos. Como C es algebraicamente cerrado el polinomio
caracterı́stico de T es de la forma cT (x) = (x − z1 )(x − z2 ) con z1 , z2 ∈ C. Ya que el determinante
de T es 1 se tiene que z2 = 1/z1 . Si z1 = z2 , se sigue que z12 = 1, luego z1 = ±1 lo que contradice
que la traza sea distinta de ±2. Por lo tanto z1 6= z2 , es decir T tiene dos valores propios distintos,
siendo además uno inverso del otro. Existe entonces una base respecto de la cual T diagonaliza
siendo la matriz asociada como la del enunciado.