´ALGEBRA LINEAL. Forma canónica de Jordan. Ejemplo. Cálculo

ÁLGEBRA LINEAL. Forma canónica de Jordan.
Ejemplo. Cálculo de la forma canónica de Jordan de la matriz


2 0 3 0
 1 2 0 3 

A=
 0 0 2 0 
0 0 1 2
1o ) Calculamos el polinomio caracterı́stico:
2−x
0
3
0
1 2−x
0
3
pA (x) =
A = 0
0 2−x
0
0
0
1 2−x
= (2 − x)4
que nos da el valor propio d = 2, con m(2) = 4.
2o ) Calculamos la dimensión del subespacio propio asociado al valor propio obtenido:


0 0 3 0
 1 0 0 3 

dimV (A − 2I4 ) = 4 − rg(A − 2I4 ) = 4 − rg 
 0 0 0 0  = 4 − 2 = 2.
0 0 1 0
Como dimV (A − 2I4 ) = 2 6= m(2) = 4, A no es diagonalizable (saldrán 2 bloques
de Jordan) y debemos seguir calculando dimensiones → paso 3.
3o ) Calculamos las dimensiones de Ker(A − 2I4 )k (k = 1 está hecho en 1o ),
ası́ que empezamos por k = 2,..., hasta que tengamos el polinomio mı́nimo: hasta
que la dimensión calculada coincida con m(2)):


0 0 0 0
 0 0 6 0 

dimKer(A − 2I4 )2 = 4 − rg(A − 2I4 )2 = 4 − rg 
 0 0 0 0 =4−1=3
0 0 0 0
Para (A − 2I4 )3 se tiene que (A − 2I4 )3 = 04 , por lo que dimKer(A − 2I4 )3 = 4 =
m(2) (como es el núcleo y aplicamos la matriz nula 04 , es la dimensión del total), y
el polinomio mı́nimo de A es mA (x) = (x − 2)3 (mı́nimo polinomio que anula, y que
es divisor del polinomio caracterı́stico).
4o ) Hacemos un recuadro donde, el número de filas es el exponente del polinomio
mı́nimo, y el número de columnas de cada fila viene dado por:
Última fila: dimV (A − 2I) − dimKer(I) = 2 − 0 = 2
Fila de enmedio: dimKer(A − 2I)2 − dimV (A − 2I) = 3 − 2 = 1
Primera fila: dimKer(A − 2I)3 − dimKer(A − 2I)2 = 4 − 3 = 1
Entonces queda el cuadro:
ker(A − 2I)3
v1
2
ker(A − 2I) v2 = (A − 2I)v1
ker(A − 2I) v3 = (A − 2I)2 v1 u1
donde v1 es un vector cualquiera de Ker(A − 2I)3 que no pertenezca a Ker(A −
2I) y u1 es un vector de Ker(A − 2I) linealmente independiente con los vi (i=1,2,3).
2
Tomando por ejemplo v1 = (0, 0, 1, 0) (sirve cualquier vector pues KerV (04 ) =
R4 , teniendo en cuenta que no debe verificar (A − 2I)2 v1 = 0 para que no pertenezca
a Ker(A − 2I)2 ), obtenemos v2 y v3 :

   
0 0 3 0
0
3
 1 0 0 3  0   0 
   
v2 = (A − 2I)v1 = 
 0 0 0 0  1  =  0 
0 0 1 0
0
1

   
0 0 0 0
0
0





0 0 6 0  0   6 

v3 = (A − 2I)2 v1 = 
 0 0 0 0  1  =  0 
0 0 0 0
0
0
Para u1 podemos tomar, por ejemplo, u1 = (3, 0, 0, −1).
Queda entonces el recuadro:
ker(A − 2I)3 v1 = (0, 0, 1, 0)
ker(A − 2I)2 v2 = (3, 0, 0, 1)
ker(A − 2I) v3 = (0, 6, 0, 0) u1 = (3, 0, 0, −1)
y la base B = {(0, 0, 1, 0), (3, 0, 0, 1), (0, 6, 0, 0), (3, 0, 0, −1)}.
4o ) Como hay dos columnas, se tienen dos bloques de Jordan, uno de dimensión
3 y otro de dimensión 1, con vectores asociados los de la primera y segunda columna
respectivamente:


2 0 0 0
 1 2 0 0 

J =
 0 1 2 0 
0 0 0 2
siendo la matriz de paso P , tal que A = P JP −1 la formada por los vectores
obtenidos puestos por columnas:

0
 0
P =
 1
0
3
0
0
1

0
3
6
0 

0
0 
0 −1
Nota: Cuando hay más de un valor propio, se sigue el procedimiento anterior para
cada uno: cada uno un recuadro, considerando el número de filas correspondiente con
el exponente del monomio de ese valor propio en polinomio mı́nimo; por ejemplo,
para la matriz A con polinomio mı́nimo mA = (x + 1)2 (x − 3) habrı́a dos filas en el
recuadro de d = −1 y una para d = 3.