unidad 5 trigonometria

UNIDAD 5: TRIGONOMETRÍA
El termino Trigonometría procede del griego y significa medida de triángulos. Por lo tanto se considera la
trigonometría como la rama de la matemática que estudia los elementos de los triángulos. Sin embargo la
trigonometría posee otras importantes aplicaciones que no se refieren únicamente a los triángulos.
5.1 CONCEPTOS BASICOS
5.1.1 Rayo
Sea L una recta. Sean A y B dos puntos en L tal como se aprecia en la figura:
Sea A  x0 , y0  . El conjunto AB   x, y   L : x  x0  recibe el nombre de rayo y el punto A recibe el
nombre de origen o punto inicial del rayo.
5.1.2 Circulo
Se denomina círculo con centro en O y radio r  0 , al conjunto de puntos en el plano cuya distancia a O es r ,
tal como se aprecia en la figura:
5.1.3 Angulo plano
Se denomina ángulo plano a la unión de dos rayos con un mismo origen. Los rayos que forman un ángulo se llaman
lados del ángulo y el origen de los rayos recibe el nombre de vértice del ángulo.
Según la figura los rayos OA y OB determinan un ángulo simbolizado AOB
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Página 82
5.1.4 Angulo central
Al ángulo AOB se denomina ángulo central de un círculo si su vértice es el centro del círculo, tal como se
aprecia en la figura:
5.1.5 Arco subtendido
Consideremos un circulo C con centro en O y radio r , sea AOB un ángulo central de C , tal que A y B
están sobre C . Se llama arco subtendido por el ángulo AOB al conjunto de puntos de C que están entre A y
B , tal como se aprecia en la figura:
 arco subtendido
Es recomendable designar a uno de los lados de un ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final.
Los ángulos que tienen su vértice en el origen del plano cartesiano y el rayo positivo del eje X como lado inicial, se
dice que están en posición normal, como por ejemplo:
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5.1.6 Rotación positiva y rotación negativa
Un ángulo puede construirse por dos rayos con un origen común, uno de ellos fijo (lado inicial) y el otro rayo móvil
(lado final) que rota alrededor de su origen. Si la rotación se ha realizado en el sentido contrario a las manecillas
del reloj, se dice que el ángulo tiene sentido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene sentido negativo,
tal como se aprecia en la figura:
Ángulo ABC con sentido positivo.
Ángulo ABC con sentido negativo.
5.2 MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir ángulos existen dos sistemas de medición, cuyas unidades son el grado y el radian.
5.2.1 Medida de ángulos en grados
Se dice que la medida del ángulo central AOB de un círculo (con sentido positivo) es un grado (1 ) si subtiende
1
un ángulo cuya medida es 360
de la circunferencia. Para indicar que el ángulo AOB mide un ángulo se usa la
notación m AOB  1 .
5.2.2 Medida de ángulos en radianes
Se dice que la medida del ángulo central AOB del círculo de radio 1 con centro en el origen, en radianes es
igual a la longitud del arco AB .
Ejemplo No. 76
Consideremos el ángulo central AOB del círculo
de radio 1 con centro en el origen y cuya medida es
m AOB  45 , tal como se muestra la figura.
Tenemos que:
m AOB  45  18  longitud del arco AB 
 18  2 1


4
1
B
1
1
O
A
radianes
1
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Página 84
Si un ángulo ha sido construido por rotación positiva, entonces se le asigna una medida positiva y si ha sido
construido por rotación negativa, entonces se le asigna una medida negativa.
5.2.3 Conversión de grados a radianes y viceversa
La medida R en radianes de un ángulo que mide G grados es: R 
La medida G en grados de un ángulo que mide R radianes es: G 
G
180
180 R

Ejemplo No. 77
5
6
 radianes 
135 
180  56 

 150
135 3
  radianes
180 4
Actividad No. 23
1. Exprese en radianes los siguientes ángulos medidos en grados:
a. 220
c. 325
b. 36
d. 210
2. Exprese en grados los siguientes ángulos medidos en radianes:
a. 52 
c. 103 
b. 23 
d. 5
5.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SENO Y COSENO
Sea Px, y  un punto sobre el círculo trigonométrico y sea  la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje X y el rayo OP , tal como se muestra en la figura:
1
1
Px, y 

1
1
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Se definen las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente manera:
RR
y
seno :
Es decir: y  seno 
RR
 x
coseno :
Es decir: x  coseno 
Asumiremos la siguiente simbología sen  seno  y cos  coseno  , según lo anterior:
y  sen
x  cos
5.3.1 Propiedades de las funciones seno y coseno
5.3.1.1 Imagen
Como el punto Px, y  pertenece al círculo trigonométrico, se tiene que las coordenadas x y y de P
satisfacen las siguientes desigualdades:
1  y  1
1  x  1
Es decir:
 1  sen  1
 1  cos   1
Por lo tanto la imagen o rango de las funciones seno y coseno es I   1, 1
5.3.1.2 Signo de las funciones seno y coseno
0  

2

2
sen

cos






 
   
    2
3
2
3
2

5.3.1.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuadrantales

0

2


3
2
sen
0
1
0
1
cos
0
0
1
0
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5.3.1.4 Periodicidad de las funciones seno y coseno
1. Sea Px, y  un punto en el círculo trigonométrico. Sea  a medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado
positivo del eje X y cuyo lado final es el rayo OP . Si se hace rotar el rayo OP una vuelta completa o n
vueltas completas, entonces el rayo OP en su posición final corta al círculo trigonométrico en el mismo punto
Px, y  , por lo cual los valores de las funciones seno y coseno se repiten. Por lo tanto:
sen  2   sen
cos   2   cos
En general:
sen  2n   sen
cos   2n   cos
Por tal motivo se dice que las funciones seno y coseno son funciones periódicas y su periodo es 2 .
2. Sea Px, y  un punto del círculo trigonométrico y sea 0    2 la medida del ángulo formado por la parte
positiva del eje X y el rayo OP , entonces:
sen     sen
sen     sen
sen    sen
cos      cos
cos      cos
cos    cos   
3. Sea Px, y  un punto del círculo trigonométrico y sea  la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje X y el rayo OP , entonces las coordenadas de P satisfacen la igualdad x 2  y 2  1 . Como
x  cos y y  sen , entonces:
cos 2  sen 2  1
5.3.2 Las funciones seno y coseno como razones trigonométricas
Un ángulo  , cuya medida es 0    2 , recibe el nombre de ángulo agudo.
Un ángulo  , cuya medida es 2     , recibe el nombre de ángulo obtuso.
La suma de las mediadas de los ángulos interiores de un triángulo es  .
Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo recto recibe el nombre de triangulo rectángulo
y se representa:
1.
2.
3.
4.
A
m ABC 
B

2
C
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Página 87
5. Sea L una recta y sean A y B puntos sobre L , se denomina segmento de extremos A y B al conjunto de
todos los puntos de L que están entre A y B incluyéndolos. Tal segmento se denota AB y se representa:
6. Sea el triángulo ABC tal que m ABC  2 , entonces:
AB y BC reciben el nombre de catetos del triángulo ABC .
AC recibe el nombre de hipotenusa del triángulo ABC .
7. Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo y  es la medida de uno de sus ángulos interiores agudos,
tal como se muestra en la figura, entonces:
A
c
a
B

b
C
sen 
longitud del cateto opuesto al ángulo  cateto opuesto a


longitud de la hipotenusa
hipotenusa
c
cos 
longitud del cateto adyacente al ángulo 
cateto adyacente b


longitud de la hipotenusa
hipotenusa
c
Ejemplo No. 78
Considere el triángulo rectángulo de la figura
A
c
a4
b3
Determine sen y cos
B

C
Solución:
Según el teorema de Pitágoras c  a 2  b 2  4 2  32  16  9  25  5 . Luego:
sen 
cateto opuesto a
cateto adyacente b 3
4
 
 
y cos 
hipotenusa
c
hipotenusa
c
5
5
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5.3.3 Valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida es 30 , 45 y 60
De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sean 30 ,
45 y 60 , dado que estas funciones para un ángulo agudo pueden expresarse como razones entre las medidas
de los lados de un triángulo rectángulo, tal como se aprecia en la figura:
30
45
2
2
3
1
1
45
60
1
Por lo tanto:

30  6
sen
cos
1
2
3
2
45  4
1
2
1
2
60  3
3
2
1
2
5.3.4 Representación gráfica de las funciones trigonométricas seno y coseno
5.3.4.1 Representación gráfica de la función seno
Para construir la gráfica de la función seno, tengamos en cuenta que seno : R   1, 1 y la siguiente tabla de
valores:
x
y  senx
0
0



6
3
2
1
2
3
2
1
2
3

3
2
5
6


7
6

4
3
1
2
0
 12


3
2
3
2

1
5
3


3
2

2
 12
0
11
6
La gráfica de la función seno en el intervalo 0, 2  es:
Dado que la función seno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función seno en el intervalo
0, 2  se repite cada 2 , obteniéndose:
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5.3.4.2 Representación gráfica de la función coseno
Para construir la gráfica de la función coseno, tengamos en cuenta que coseno : R   1, 1 y la siguiente tabla
de valores:
x
y  cosx
0
1



6
3
2
2
3

5
6
3
2
1
2
0
 12


3
2

7
6
1


3
2
4
3

 12
3
2

0
5
3

1
2
11
6

3
2
2
1
La gráfica de la función coseno en el intervalo 0, 2  es:
Dado que la función coseno es una función periódica de periodo 2 , la gráfica de la función coseno en el intervalo
0, 2  se repite cada 2 , obteniéndose:
Actividad No. 24
1. Dados los siguientes ángulos, represéntelos en un círculo trigonométrico y determine sen y cos .
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a.    32 
b.   3
c.
d.
  53 
  116 
3. Considere el triangulo ABC tal que m ABC  2 , con AB  4 , AC  6 y m BAC   . Determine
sen y cos .
4. Considere las siguientes figura:
Determine:
a. 
b. sen45 y cos 45
c. sen60 y cos 60
d.
e.

sen y cos
5. Represente gráficamente la función f    sen  3 
5.4 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE
Recordemos que:
 senk   0 para todo k  Z
 cos2  k   0 para todo k  Z
Sean A    R :   2  k , k  Z  y B    R :   k , k  Z 
1. Se define la función trigonométrica tangente de la siguiente manera:
tangente :
R AR
sen

cos
Es decir: tangente   
sen
cos
Asumiremos la siguiente simbología tan  tangente   . Por lo tanto:
tan 
sen
cos
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2. Se define la función trigonométrica cotangente de la siguiente manera:
cotangente :
RBR
cos

sen
Es decir: cotangente   
cos
sen
Asumiremos la siguiente simbología cot  cotangente   . Por lo tanto:
cot 
cos
sen
3. Se define la función trigonométrica secante de la siguiente manera:
secante :
R AR
1
cos
1
Es decir: secante   
cos

Asumiremos la siguiente simbología sec  secante  . Por lo tanto:
sec 
1
cos
4. Se define la función trigonométrica cosecante de la siguiente manera:
cosecante :
RBR
1
sen
1
Es decir: cosecante   
sen

Asumiremos la siguiente simbología csc  cosecante   . Por lo tanto:
csc 
1
sen
Ejemplo No. 79
Determine:
a.
b.
tan 3 
cot  4 

c.
d.
sec 
csc 23  
Solución:
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Página 92
a. tan3  
sen3 

cos 3 
3
2
1
2
 3
b. cot 4  
cos 4 

sen4 
c. sec  
1
1

 1
cos    1
d. csc 23   
2
2
2
2
1
1
1
2


sen 23   23
3
5.4.1 Periodicidad de las funciones tangente y cotangente
Sean   R y k  Z , entonces:
tan  k   tan , con cos  0
cot   k   cot , con sen  0
Es decir las funciones trigonométricas tangente y cotangente son periódicas con periodo 
5.4.2 Periodicidad de las funciones secante y cosecante
Sean   R y k  Z , entonces:
sec  2k   sec , con cos  0
csc  2k   csc , con sen  0
Es decir las funciones trigonométricas secante y cosecante son periódicas con periodo 2
5.4.3 Signo de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante
0  

2

2
 
    32 
3
2     2
tan

cot

sec
csc














5.4.4 Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante como razones trigonométricas
Consideremos el triángulo ABC tal que m ABC  2 y sea  la medida de uno de sus ángulos interiores
agudos, tal como se muestra en la figura:
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Página 93
A
c
a
B

b
C
De esta manera:
sen
tan 

cos
cos
cot 

sen
sec 
csc 
1

cos
1

sen
longituddel cateto opuestoal ángulo 
longitudde la hipotenusa
longituddel cateto adyacenteal ángulo 
longitudde la hipotenusa
longituddel cateto adyacenteal ángulo 
longitudde la hipotenusa
longituddel cateto opuestoal ángulo 
longitudde la hipotenusa
1
longituddel cateto adyacenteal ángulo 
longitudde la hipotenusa
1
longituddel cateto opuestoal ángulo 
longitudde la hipotenusa

longitud del cateto opuesto al ángulo 
longitud del cateto adyacente al ángulo 

cateto opuesto
a

cateto adyacente b

longitud del cateto adyacente al ángulo 
longitud del cateto opuesto al ángulo 

cateto adyacente b

cateto opuesto
a

longitud de la hipotenusa
longitud del cateto adyacente al ángulo 

hipotenusa
c

cateto adyacente b

longitud de la hipotenusa
longitud del cateto opuesto al ángulo 

hipotenusa
c

cateto opuesto a
Ejemplo No. 80
Si cos  75 y 0    2 , determine sen , tan , cot , sec y csc .
Solución:
7
a
5

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Sea a la medida del cateto opuesto al ángulo  , por lo tanto según el teorema de Pitágoras:
a 2  52  7 2  a 2  25  49  a 2  49  25  a 2  24 
a 2  24  a  2 6
De esta manera:
sen 
2 6
7
tan  2 5 6
cot  2 5 6
sec  75
csc  2 7 6
Actividad No. 25
1. Determine:
a. tan6 
b. cot  π3 
2.
a.
b.
c.
c.
d.
Si sen  23 y 0    2 , determine:
cos
d.
tan
e.
cot
sec 23  
csc4 
sec
csc
3. Determine el valor de A , si A  sen 2 4   sen 23  cos3 
4. Determine el valor de A , si A  cos 3  32    sen2   cos53  
5.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida
para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.
 Sean   R y   R , entonces: cos     cos cos   sen sen 
 Sean   R y   R , entonces: cos     cos cos   sen sen 
 Sean   R y   R , entonces: sen     sen cos   sen cos 
 Sea   R , entonces:
cos 2      sen
cos 2     sen
cos      cos
cos      cos
cos  32      sen
cos  32       sen
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 Sea   R , entonces:
sen2     cos
en 2     cos
sen      sen
sen     sen
sen 32      cos
sen 32      cos
 Sean   R y   R , entonces:
tan  tan
1  tan  tan
tan  tan
tan     
1  tan  tan
tan     
 Sea   R , entonces:
sen2  2sencos
cos 2  cos 2  sen 2
2tan 
tan 2 
1  tan 2
 Sea   R , entonces:
sen 2 
1  cos
2
cos 2 
1  cos
2
tan 2 
1  cos
1  cos
Ejemplo No. 81
Determine:
a. tan15
b. cos 120
Solución:
1  13
tan 45  tan30


a. tan 15  tan 45  30 
1  tan 45  tan30 1  1  13
3 1
3
3 1
3

3 1
3 1
b. cos120  cos60  60  cos60cos60  sen60sen60   12 2   23   14  34   12
2
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Actividad No. 26
Pruebe las siguientes identidades:
sen cot  cos
 2sen
a.
cot
d.
cos 2  sen2tan  1
sen
1  cos
b.
1
1

 2sec 2 
1  sen 1  sen
e.
csc  cot 
c.
1  cos 2
 cos 2
2
f.
tan  cot  2csc 2
Autoevaluación No. 4
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. sen 3  es igual a:
A.
B.
 12
C.
D.
3
 3

3
2
2. 135 es igual a:
A.
B.


C.
D.
3
A. 300
B. 150
4. Si tan  34 , entonces:
C.
D.
700
810
sen  54
sen  53
C.
D.
sen  54
sen  53
3.
9
2
A.
B.
3
4
4
3
4
 es igual a:
5. Según el triángulo de la figura:
A.
B.
tan 
tan 
4
7
3
4
C.
D.
tan 
tan 
3
7
4
3
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- Ecuaciones e inecuaciones
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6. sen45 es igual a:
A. tan 45
C. cos 45
B. 1
D. 0
7. Si  es un ángulo agudo tal que sen  53 , entonces:
A. cos  54
C. cos  15
B. cos  14
D. cos  54
8. Si  es un ángulo agudo tal que sen  53 , entonces:
A. tan  1
C. tan  43
B. tan  34
D. tan  1
9. Un topógrafo está a 115 pies de la base del monumento a Washinton. El topógrafo mide el ángulo de
elevación a lo alto del monumento y obtiene 78.3 . ¿La altura del monumento a Washinton es?
A. 555 pies
C. 566 pies
B. 655 pies
D. 500 pies
10. Sea  3,4 un punto en el lado terminal de  , entonces:
A. tan  43
C. tan   43
B. tan   34
D. tan  34
11. Si tan   54 y cos  0 , entonces:
A.
B.
sec 
41
4
sec 
41
2
C.
D.
sec 
sec 
4
41
2
41
12. Sea  un ángulo en el segundo cuadrante, tal que sen  13 , entonces:
A. cos   2 3 2
C. cos   13
B. cos  2 2
D. cos   12
13. Sea  un ángulo en el segundo cuadrante, tal que sen  13 , entonces:
A. cos   2 3 2
C. cos   13
B. cos  2 2
D. cos   12
14. Un reglamento de seguridad expresa que el máximo ángulo de elevación para una escalera de rescate
es 72 . La escalera más larga de un departamento de bomberos es 110 pies. ¿La altura máxima
segura de un rescate es?
A. 104.6 pies
C. 100.6 pies
B. 10.6 pies
D. 10.4 pies
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- Ecuaciones e inecuaciones
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