14. Extremos de las funciones de varias variables

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA”
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FACULTAD DE CIENCIAS
ICA HATUN YACHAY HUASI
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA
CURSO: CÁLCULO AVANZADO PARA ESTADÍSTICA
DOCENTE: CARLOS APARCANA AQUIJE
ICA −PERÚ
2020 − II
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
El proceso de encontrar los valores óptimos de las funciones en varias
variables es muy parecido al que se aplicó en el caso de las funciones
de una sola variable.
En esta sección trataremos y explicaremos lo relacionado a la
obtención y cálculo de máximos y mínimos de funciones de varias
variables, una temática que entra dentro de lo que se conoce como
optimización. En una primera parte nos dedicaremos a identificar
ejercicios dedicados a la obtención y clasificación de puntos críticos,
para luego estudiar problemas de extremos condicionados.
Antes de continuar con el estudio de las funciones bivariadas
recordaremos rápidamente el tratamiento de los máximos y mínimos
en el caso de funciones reales de una sola variable real, así como
algunos resultados más importantes de nuestro primer curso de
cálculo, el cual se caracterizo por su aplicaciones, teniendo en cuenta
que esta retrospectiva al caso de una sola variables, nos servirá de
Dr. Carlos Aparcana Aquije
2
base o guía para abordar de la misma manera a las funciones en varias
variables, empezando por las bivariadas y posteriormente
generalizarlo las cuales tienen como es de esperar algunas
complicaciones técnicas adicionales.
Recordaremos cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica de
una función y, particularmente, cómo podemos localizar los valores
máximos y mínimos de funciones, dado que muchos problemas exigen
minimizar un costo o maximizar un área o bien encontrar el mejor
resultado posible para una situación, particularmente se estudiará e
investigará la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los
arco iris en el cielo.
Recordemos que algunas aplicaciones importantes del cálculo
diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se pide la
manera óptima (la mejor) de hacer algo. Como por ejemplo
mencionare algunos casos donde intervienen los máximos y mínimos.
1. ¿Cuál es la forma de una lata que minimice los costos de
fabricación?
Dr. Carlos Aparcana Aquije
3
2. ¿Cuál es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? (Ésta
es una cuestión importante para los astronautas que tienen que
soportar los efectos de la aceleración.)
3. ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo
más rápido al toser?
4. ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse de
modo que se minimice la energía consumida por el corazón al
bombear la sangre?
Estos problemas se pueden reducir a encontrar los valores máximo o
mínimo de una función.
En seguida se define con exactitud que son valores máximo y mínimo.
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4
Máximos y mínimos de funciones reales de una sola variable real
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto abierto 𝐷 de
ℝ, decimos que 𝑓 tiene un valor máximo local o relativo en el punto
𝑥0 𝜀 𝐷 si existe una vecindad (un intervalo abierto) o (entono abierto)
alrededor de 𝑥0 y con radio 𝛿 tal que:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ), ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
i.e.
𝑓 tiene un máximo local en 𝑥0 𝜀 𝐷 si ∃ < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 > ⊂ 𝐷 con
𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto abierto 𝐷 de
ℝ, decimos que 𝑓 tiene un valor máximo absoluto o global en el
punto 𝑥0 𝜀 𝐷 si para todo 𝑥 en 𝐷 se tiene que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ).
El número 𝑓 𝑥0 se llama valor máximo de 𝑓 en 𝐷.
Dr. Carlos Aparcana Aquije
5
i.e
𝑓 tiene un máximo global en 𝑥0 𝜀 𝐷 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) , ∀ 𝑥 𝜀 𝐷
Geométricamente
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥0 )
<
𝑥0 − 𝛿 𝑥0
𝑓(𝑥)
>
𝑥0 + 𝛿
<
𝑥1
>
<
𝑥2 − 𝛿
𝑥2
>
𝑥2 + 𝛿
𝑎) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥0 𝜀 𝐷 si ∃ < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
𝑏) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥1 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥1 − 𝛿, 𝑥1 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥1 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥1 − 𝛿, 𝑥1 + 𝛿 >
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6
c) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥2 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥2 − 𝛿, 𝑥2 + 𝛿 > ⊂ 𝐷 donde
𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥2 − 𝛿, 𝑥2 + 𝛿 >
d) 𝑓 tiene un máximo global en 𝑥2 𝜀 𝐷 si ∀ 𝑥 𝜀 ⊂ 𝐷 se tiene 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2 )
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto abierto 𝐷 de ℝ,
decimos que 𝑓 tiene un valor mínimo local o relativo en el punto 𝑥0 𝜀 𝐷 si
existe una vecindad (un intervalo abierto) o (entono abierto) alrededor de 𝑥0
y con radio 𝛿 tal que:
𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥0 , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
i.e.
𝑓 tiene un mínimo local en 𝑥0 𝜀 𝐷 si ∃ < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 > ⊂ 𝐷 con 𝛿 > 0
tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto abierto 𝐷 de ℝ,
decimos que 𝑓 tiene un valor mínimo absoluto o global en el punto 𝑥0 𝜀 𝐷 si
para todo 𝑥 en 𝐷 se tiene que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ). El número 𝑓 𝑥0 se llama
valor mínimo de 𝑓 en 𝐷.
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i.e.
𝑓 tiene un mínimo global en 𝑥0 𝜀 𝐷 si se cumple que:
𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥0 , ∀𝑥 𝜀 𝐷
𝑓(𝑥4 )
𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑥3 )
𝑓(𝑥1 )
<
><
𝑥0 𝑥1 − 𝛿
><
𝑥1 + 𝛿
𝑥2
><
𝑥3
><
𝑥4
>
a) f tiene un mínimo local en x1 ε D si ∃ < x1 − δ, x1 + δ > ⊂ D donde δ > 0
tal que f(x) ≥ f(x1 ) , ∀ x ε < x1 − δ, x1 + δ >
b) f tiene un mínimo global en x1 ε D pues ∀ x ε ⊂ D se tiene f(x) ≥ f(x1 )
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c) 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑥3 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥3 − 𝛿, 𝑥3 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥3 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥3 − 𝛿, 𝑥3 + 𝛿 >
d) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥0 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿 >
e) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥2 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥2 − 𝛿, 𝑥2 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥2 − 𝛿, 𝑥2 + 𝛿 >
f) 𝑓 tiene un máximo local en 𝑥4 𝜀 𝐷 pues ∃ < 𝑥4 − 𝛿, 𝑥4 + 𝛿 > ⊂ 𝐷
donde 𝛿 > 0 tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥4 ) , ∀ 𝑥 𝜀 < 𝑥4 − 𝛿, 𝑥4 + 𝛿 >
g) 𝑓 tiene un máximo global en 𝑥4 𝜀 𝐷 si ∀ 𝑥 𝜀 ⊂ 𝐷 se tiene:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥4 )
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si 𝑓 es una función continua sobre un intervalo cerrado[𝑎, 𝑏] entonces
𝑓 alcanza un valor máximo absoluto 𝑓(𝑐) y un valor mínimo absoluto
𝑓 𝑑 en algunos números 𝑐 y 𝑑 del intervalo cerrado [𝑎, 𝑏].
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Geométricamente
𝑎
𝑐
𝑑
𝑏
𝑎
𝑐
𝑏=𝑑
𝑎 𝑐1 𝑑 𝑐2 𝑏
En la gráfica podemos notar que un valor extremo se puede tomar
más de una vez. Así mismo una función puede o no poseer valores
extremos si se omite cualquiera de las dos hipótesis (continuidad e
intervalo cerrado) del teorema del valor extremo.
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Geométricamente
3
1
2
𝑥
Es una función dicontinua y
tiene valor mínimo 𝑓 (2) = 0
No tiene máximo.
2
Es una función continua pero
Pero no tiene valor máximo ni
mínimo
En la función 𝑓 cuya gráfica se muestra en las figuras anteriores, se puede
apreciar que la primera función está definida sobre el intervalo cerrado [0,2]
pero no tiene valor máximo. (nótese que el rango de 𝑓 es [0,3 >. La función
toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.)
Esto no contradice el teorema del valor extremo porque 𝑓 no es continua. Sin
embargo, una función discontinua puede tener valores máximo y mínimo.
La segunda función que se muestra en la figura es continua sobre el intervalo
abierto < 0,2 >, pero no tiene valor máximo ni mínimo. El rango de esta
función es < 1, ∞ >, es decir la función toma valores arbitrariamente grandes.
Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el intervalo < 0,2 >
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no es cerrado.
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto abierto 𝐷 de
ℝ, decimos que 𝑓 tiene un extremo relativo en el punto 𝑥0 𝜀 𝐷 si
𝑓 𝑥0 es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo.
Teorema
Si 𝑓: 𝐷 =< 𝑎, 𝑏 > ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un conjunto
abierto 𝐷 de ℝ, y sea 𝑥0 𝜀 𝐷 si 𝑓 𝑥0 es un extremo relativo de la
función 𝑓 , entonces
𝑓 ′ 𝑥0 = 0 ∨ 𝑓 ′ 𝑥0 ∄
Teorema. (Teorema del Extremo Estacionario, Teorema de Fermat,
Extremos Singulares)
Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 definida en un conjunto abierto 𝐷 de
ℝ, y sea 𝑥0 𝜀 𝐷 si 𝑓 𝑥0 es un extremo relativo de la función 𝑓 en
𝑥0 y si existe 𝑓 ′ 𝑥0
entonces 𝑓 ′ 𝑥0 = 0
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𝑓 ′ (𝑥4 ) = 0
𝑓 ′ (𝑥2 ) = 0
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
𝑓(𝑥3 )
𝑓 ′ (𝑥3 ) = 0
𝑓 ′ (𝑥1 ) = 0
En los puntos 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 que son extremos relativos de 𝑓 las tangentes a la
curva son horizontales.
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 = < 𝑎, 𝑏 > ⊂ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función definida en un conjunto
abierto 𝐷 de ℝ, y sea 𝑥0 𝜀 𝐷. Decimos que 𝑥0 es un número crítico (o punto crítico)
si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 ∨ 𝑓 ′ 𝑥0 ∄
Nota
Si 𝑓 tiene un valor extremo relativo en el punto 𝑥0 entonces el punto 𝑥0 es un punto
critico
Si 𝑥0 es un punto crítico de 𝑓 , no siempre es cierto que 𝑓 tenga un extermo relativo
en 𝑥0
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Ejemplo
2
3
1. Encuentre los puntos críticos de 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + 1
Resolución
Para determinar los puntos críticos de 𝑓 hacemos que 𝑓 ′ 𝑥 = 0
1
2
2
−
′
3
𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1) = 3
3
3 𝑥−1
Pero 𝑥0
es un número crítico (o punto crítico) si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 ∨
𝑓 ′ 𝑥0 ∄
Cuando 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 no hay puntos críticos, pero 𝑓 ′ 𝑥0 ∄ cuando el
denominador es igual a cero y esto ocurre cuando 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1,
por lo que 𝑥 = 1, es un número critico de 𝑓.
2. Encuentre los puntos críticos de la siguiente función rea de una variable
real 𝑓: ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 2 − 24𝑥 + 1
Resolución
Para determinar los puntos críticos de 𝑓 hacemos que 𝑓 ′ 𝑥 = 0
𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 + 24𝑥 2 − 4𝑥 − 24 = 0
→ 4𝑥 3 + 24𝑥 2 − 4𝑥 − 24 = 0 → 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0
→ 𝑥 + 6 𝑥2 − 1 = 0
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Por lo que los números críticos son {−6, −1,1}
3. Encuentre los puntos críticos de 𝑓: ℝ − {0} ⊂ ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
𝑥 4 +3
𝑥
Resolución
Para determinar los puntos críticos de 𝑓 se encuentran cuando
𝑓 ′ 𝑥 = 0 o cuando 𝑓 ′ 𝑥0 ∄.
Si 𝑓 ′ 𝑥 = 0 .
Como 𝑓 𝑥 =
𝑥 4 +3
𝑥
→
𝑓′
𝑥 =
𝑥(4𝑥 3 )−(𝑥 4 +3)
𝑥2
4
=
3(𝑥 4 −1)
𝑥2
Por lo que 𝑓 ′ 𝑥 = 0 cuando (𝑥 −1) = 0 → 𝑥 = ±1
Si 𝑓 ′ 𝑥0 ∄
Para 𝑓 ′ 𝑥0 ∄ → 𝑥 2 = 0 , sin embargo no es un número crítico
por que la función no esta definida en 𝑥 = 0. Por lo tanto 𝑥 = 0 es
un punto de discontinuidad asintótico
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15
4. Encuentre los puntos críticos de 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥 − 2𝑥 − 8 3 y determine en que puntos críticos la función 𝑓
tiene un valor extremo relativo.
Resolución
Para determinar los puntos críticos de 𝑓 hacemos que 𝑓 ′ 𝑥 = 0 o
cuando 𝑓 ′ 𝑥0 ∄.
2
1 2
−
′
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 2𝑥 − 8 3 (2𝑥 − 2)
3 2
2 2
2(𝑥 − 1)
−
=
𝑥 − 2𝑥 − 8 3 𝑥 − 1 =
=0
2
3
3 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 3
Ahora 𝑓 ′ 𝑥 = 0 sii 𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1
𝑓 ′ 𝑥0 ∄. Cuando 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 → 𝑥 = −2 , 𝑥 = 4
Por lo tanto los puntos críticos son {−2 , 1 , 4}
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b) Determinando los puntos críticos en los que 𝑓 tiene un valor
extremo
1
3
2
Podemos ver que 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 − 8 tiene un punto critico en
𝑥0 = 1 sii 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 tiene un valor extremo en 𝑥0 = 1
−2
1
4
(1, −9)
La gráfica de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 9 + 1
= (𝑥 − 1)2 = −9 → (𝑥 − 1)2 = 𝑦 + 9
Se observa que en 𝑥 = 1 la función 𝑓 tiene un valor extremo y se
trata de un mínimo absoluto.
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CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS DE FUNCIONES
CONTINUAS SOBRE UN INTERVALO CERRADO
Sea 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función real de una variable real
continua para todo 𝑥 𝜀 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ. Se sabe por propiedades de las
funciones continuas que 𝑓 tiene un valor máximo absoluto 𝑀 y un
valor mínimo absoluto 𝑚 en [𝑎, 𝑏], es decir que existen puntos 𝑥1 , 𝑥2
𝜀 [𝑎, 𝑏] tales que
𝒎 = 𝒇 𝒙𝟏 , 𝑴 = 𝒇 𝒙𝟐
𝒎≤𝒇 𝒙 ≤𝑴 ,
∀ 𝒙 𝜺 [𝒂, 𝒃]
Entonces la Regla para calcular máximos y mínimos absolutos es:
Sea 𝑓: ℝ → ℝ / 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función real de una variable real
continua para todo 𝑥 𝜀 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ. Para hallar 𝑀 y 𝑚 los valores
máximos y mínimos absolutos de la función 𝑓 en [𝑎, 𝑏]
respectivamente se procede de la siguiente manera.
Dr. Carlos Aparcana Aquije
18
1°. Se calculan los valores de 𝑓 𝑥 en los puntos críticos 𝑥0 de la
función 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏].
2° Se calcula los valores 𝑓 𝑎 y 𝑓(𝑏)
3° Se aplica las fórmulas
𝑀 = Mayor de los valor encontrados en 1° y 2°
𝑚 = Menor de los valor encontrados en 1° y 2°
Ejemplo
1. Encontrar los valores máximo y mínimo absoluto de la función real
de variable real 𝑓: −1,4 ⊂ ℝ → ℝ /𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 8𝑥 2 + 16
Resolución
Hallando los puntos críticos de la función 𝑓 en el intervalo [−1,4]
𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 3 − 16𝑥 = 4𝑥 𝑥 2 − 4 = 4𝑥 𝑥 + 2 𝑥 − 2
𝑓 ′ 𝑥 = 0 𝑠𝑖𝑖 4𝑥 3 − 16𝑥 = 0 → 4𝑥 𝑥 2 − 4 = 0
→ 4𝑥 𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 0 ∴ 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = −2
Pero 𝑥 = −2 𝜀 −1,4 , por lo que los únicos puntos que se toman
como críticos son 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2
Dr. Carlos Aparcana Aquije
19
Se evalúa la función en los puntos extremos del intervalo y en los
puntos críticos hallados
𝑥
−1
0
2
4
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 16
𝑓(−1) = (−1)4 − 8(−1)2 + 16 = 9
𝑓(0) = (0)4 − 8(0)2 + 16 = 16
𝑓(2) = (2)4 − 8(2)2 + 16 = 0 = 𝑚
𝑓(4) = (4)4 − 8(4)2 + 16 = 144 = 𝑀
𝑀 = máximo absoluto de 𝑓 en −1,4 = 144
𝑚 = mínimo absoluto de 𝑓 en −1,4 = 0
Dr. Carlos Aparcana Aquije
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES BIVARIADAS
Pasemos ahora al estudio de las funciones 𝑓 de varias variables, y es
conveniente preguntarnos
¿Cómo pueden determinarse los extremos locales de 𝑓?
¿Será conveniente extender la noción de punto crítico?
Como habíamos comentado la noción de puntos críticos de una
función en una variable juega un rol muy importante, así como la
derivada primera de la función.
En varias variables, para analizar la razón de cambio de una función se
ha estudiado en capítulos anteriores el concepto de derivadas
parciales y, más aun, se han definido las derivadas direccionales.
Veremos que la idea de punto crítico puede ampliarse a funciones de
varias variables, siendo las derivadas parciales primeras una
herramienta muy útil a la hora de localizar máximos y mínimos de
funciones multivariables
Dr. Carlos Aparcana Aquije
21
Definición:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función definida en un
conjunto o región 𝐷 y sea 𝑎, 𝑏 𝜀 𝐷, se dice que 𝑓 𝑎, 𝑏 es un valor
máximo absoluto o máximo global de 𝑓 en 𝐷 si 𝑓(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦)
∀ 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑆
𝐷
𝑃
Se considera la superficie 𝑆 definida a través de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
en el domino 𝐷
Existe un entono de 𝑃 donde la función toma valores menores que en
𝑃
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22
Definición:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función definida en un
conjunto o región 𝐷 y sea 𝑎, 𝑏 𝜀 𝐷, se dice que 𝑓 𝑎, 𝑏 es un valor
máximo local o máximo relativo de 𝑓 en 𝐷 si 𝑓(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦)
∀ 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐵 (𝑎, 𝑏 , 𝛿) ⊂ 𝐷
Recuerde 𝐵 (𝑎, 𝑏 , 𝛿) = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥, 𝑦 − 𝑎, 𝑏 < 𝛿} ⊂ 𝐷
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑆
𝑃
𝐷
Se considera la superficie 𝑆 definida a través de la función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
en el domino 𝐷
Consideremos ahora oro dominio, Existe un entono de 𝑃 donde la
función toma valores menores que en 𝑃.
El punto (𝑃, 𝑓 𝑃 ) es un máximo
relativo
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23
Definición:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función definida en un
conjunto o región 𝐷 y sea 𝑎, 𝑏 𝜀 𝐷, se dice que 𝑓 𝑎, 𝑏 es un valor
mínimo absoluto o mínimo global de 𝑓 en 𝐷 si 𝑓(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)
∀ 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷
Definición:
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) una función definida en un
conjunto o región 𝐷 y sea 𝑎, 𝑏 𝜀 𝐷, se dice que 𝑓 𝑎, 𝑏 es un valor
mínimo local o mínimo relativo de 𝑓 en 𝐷 si 𝑓(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)
∀ 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐵 (𝑎, 𝑏 , 𝛿) ⊂ 𝐷
Recuerde 𝐵 (𝑎, 𝑏 , 𝛿) = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥, 𝑦 − 𝑎, 𝑏 < 𝛿} ⊂ 𝐷
Nota.
1. Los máximos relativos corresponden a los picos o cimas de las
montañas y los mínimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos,
alguna de las dos derivadas parciales no existe y en los hoyos o
cimas de la montaña las dos derivadas parciales son cero.
Dr. Carlos Aparcana Aquije
24
2. Tambien podemos decir que, un máximo relativo suele aparecer en
la parte superior o pico de una cresta de la superficie que
representa a 𝑓 𝑥, 𝑦 . Un mínimo relativo suele aparecer en la parte
inferior de un valle sobre la superficie que representa a 𝑓 𝑥, 𝑦 .
CONDICIÓN NECESARIA DE EXTREMOS RELATIVOS
Una condición necesaria para la existencia de un máximo relativo o un
mínimo relativo de una función 𝑓 cuyas derivadas parciales 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦
existen, establece que 𝑓𝑥 = 0 y 𝑓𝑦 = 0
Ejemplo
1. Localice los puntos críticos en la gráfica de la función real de
variable vectorial 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 −
12𝑥 + 2𝑦 − 10
Resolución
Determinando primero 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦
𝑓𝑥 = 8𝑥 − 12
𝑓𝑦 = 2𝑦 + 2
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25
Determinando ahora 𝑓𝑥 = 0 y 𝑓𝑦 = 0
3
𝑓𝑥 = 8𝑥 − 12 = 0 → 𝑥 = 2
𝑓𝑦 = 2𝑦 + 2 = 0 → 𝑦 = −1
Sustituyendo estos valores en 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 2𝑦 −
10
3
3 2
3
2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓( , −1) = 4( ) + −1 − 12( ) + 2(−1) − 10
2
2
2
= −20
3
Por lo tanto el único punto critico es ( , −1, −20)
2
2. Localice los puntos críticos en la gráfica de la función real de
variable vectorial 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑓 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 2 − 𝑦 2 + 8𝑥 +
10𝑦 − 5𝑥𝑦
Resolución
Determinando primero 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 luego 𝑓𝑥 = 0 y 𝑓𝑦 = 0
𝑓𝑥 = −4𝑥 + 8 − 5𝑦 = 0 → 4𝑥 + 5𝑦 = 8
𝑓𝑦 = −2𝑦 + 10 − 5𝑥 = 0 → 5𝑥 + 2𝑦 = 10
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26
Resolviendo el sistema para encontrar los valores críticos de 𝑥 e 𝑦
4𝑥 + 5𝑦 = 8
ቊ
5𝑥 + 2𝑦 = 10
−8𝑥 − 10𝑦 = −16
ቊ
→ 17𝑥 = 34 → 𝑥 = 2 reempla z ando en
25𝑥 + 10𝑦 = 50
alguna de las ecuaciones se obtiene 𝑦 = 0
Sustituyendo estos valores en la función se obtiene
𝑓 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 2 − 𝑦 2 + 8𝑥 + 10𝑦 − 5𝑥𝑦
𝑓 2,0 = −2 4 − 0 2 + 8 2 + 10 0 − 5 2 0 = 8
Por lo tanto el único punto critico es (2,0,8)
3. Determine los puntos críticos en la gráfica de la función real de
variable vectorial 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 −
4𝑥
Resolución
Determinando primero 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 luego 𝑓𝑥 = 0 y 𝑓𝑦 = 0
𝑓𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥𝑦 + 4𝑦 − 4 = 0 → 4𝑥 + 4𝑦 − 2𝑥𝑦 = 4
Dr. Carlos Aparcana Aquije
27
𝑓𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 4) = 0
Estas dos ecuaciones deben resolverse simultáneamente. Sin
embargo, las
ecuaciones no son lineales. Pero en la segunda ecuación 𝑓𝑦 = 0
cuando 𝑥 𝑥 − 4 = 0
o cuando los valores críticos son 𝑥 = 0 , 𝑥 = 4
Para determinar los valores de 𝑦 que corresponden a estos valores
críticos de 𝑥 y que hacen 𝑓𝑥 igual a 0, se sustituirán estos valores,
uno a la vez, en la ecuación 4𝑥 + 4𝑦 − 2𝑥𝑦 = 4
Para 𝒙 = 𝟎 → 𝑦 = 1
Por consiguiente, un punto crítico ocurre en la gráfica de 𝑓 cuando
𝑥 = 0 y cuando 𝑦 = 1.
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1, se reemplaza en 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 −
4𝑥
𝑓 0,1 = 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 − 4𝑥 = 0
Así, se presenta un punto crítico en (0, 1, 0).
Dr. Carlos Aparcana Aquije
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Para 𝒙 = 𝟒 → 4𝑥 + 4𝑦 − 2𝑥𝑦 = 4
→ 4 4 + 4𝑦 − 2 4 𝑦 = 4 → 16 + 4𝑦 − 8𝑦 = 4
→ −4𝑦 = −12 → 𝑦 = 3
Reemplazando estos valores en 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑦 − 4𝑥
𝑓 4,3 = 2(4)2 − 4 2 3 + 4 4 3 − 4 4 = 16
Entonces otro punto crítico ocurre en 𝑓 en (4, 3, 16).
Dr. Carlos Aparcana Aquije
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