Sistemas Autónomos 1. Encontrar y clasificar todos los puntos

Sistemas Autónomos
1. Encontrar y clasificar todos los puntos críticos de los siguientes sistemas:
a)
b)
c)
d)
x' = -6·y + 2·x·y - 8
y' = y 2 - x 2
x' = -2·x - y + 2
y' = x·y
x' = 4 - y 2 - 4 ⋅ x 2
y' = 3·x·y
x' = sin(y)
y' = x + x 3
2. Demostrar que el punto (0,0) es un punto centro para el siguiente sistema
x' = -y - p·x· (y 2 + x 2 )1 / 2
y' = x - p·y· (y 2 + x 2 )1 / 2
3. Dibujar en el plano de fases las trayectorias de los siguientes sistemas, considerando únicamente el primer
cuadrante:
a)
b)
x' = x·(3 - x - y)
y' = y·(x - 1)
x' = x 2 - x·y - x
y' = y 2 + x·y - 2·y
c)
x' = y·( x 2 + 1)
y' = 2·x· y 2
d)
x' = y·( x 2 + 1)
y' = -x·( x 2 + 1)
x' = e y - 1
y' = e x · cos(x)
x' = -x
y' = 2· (y ⋅ x)2
e)
f)
4. Estudiar los puntos críticos y trayectorias del sistema constituido por una masa unida a un resorte y con
amortiguamiento: m·x" + b·x' + k·x = 0, en función de los valores -siempre positivos- de las constantes m, b y k.
5. Estudiar los puntos críticos y trayectorias, en el plano de fase, de un péndulo simple cuya ecuación se expresa
como: φ′′ + k ⋅ sin(φ) = 0 , siendo k, una constante positiva.
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