11Define, Interpreta y grafica Funciones en varias Variables. Dominio, Rango y gráfica

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA”
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I VERSI DA
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FACULTAD DE CIENCIAS
ICA HATUN YACHAY HUASI
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA
CURSO: CÁLCULO AVANZADO PARA ESTADÍSTICA
DOCENTE: CARLOS APARCANA AQUIJE
ICA −PERÚ
2020 − II
INTRODUCCIÓN
En esta sección estudiaremos las funciones con dominio en ℝ𝑛 y rango
en ℝ es decir funciones del tipo 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃 . A estas
funciones también se les llama Funciones reales de n variables, o
funciones reales de variable vectorial o funciones reales en varias
variables o simplemente campos escalares.
Los casos donde 𝑛 = 2 ó 3, son los casos donde ocurren con mayor
frecuencia las aplicaciones elementales y es ahí donde fijaremos
nuestro mayor interés, pues como los conceptos fundamentales
asociados con funciones de un vector y las propiedades de estas
funciones no dependen realmente de la dimensión del espacio
(número de variables), podemos estudiar sin añadir dificultad alguna,
el caso general. Podemos señalar a manera de motivación, algunos
casos o ejemplos en la que podemos identificar con mucha facilidad
estas funciones
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2
Ejemplos
1. El área de un rectángulo (que es un valor real) depende (es función
de) de su largo 𝑥 y su ancho 𝑦.
i.e. 𝑓: ℛ ⊂ ℝ × ℝ → ℝ /𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
𝑓: ℛ ⊂ ℝ2 → ℝ /𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
𝑓: ℛ ⊂ ℝ2 → ℝ
𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 (esta notación significa que la
función 𝑓 tomará la pareja 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 = ℝ × ℝ y le asignará el
número real 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = área del rectángulo de largo 𝑥 y
ancho 𝑦)
2. Si establecemos un sistema de coordenadas para una habitación,
en este caso el espacio tridimensional, entonces podemos definir
en dicho sistema la función temperatura 𝑇 como sigue
𝑇: ℝ3 → ℝ /𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆 𝜀 ℝ
ó
ó
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3
o
𝑇: ℝ3 → ℝ
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⟼ 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑇(𝑃) = 𝜆 𝜀 ℝ
i.e.
En cualquier punto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 de la habitación 𝑇(𝑃) es la
temperatura en ese punto. Por l que el dominio de la función 𝑇 es
el conjunto de puntos de la habitación y el rango es un conjunto de
números reales.
3. Si 𝑥 es la base de un triángulo y 𝑦 es la altura de dicho triángulo
1
entonces 𝐴 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 expresa el área de un triángulo.
2
i.e.
1
𝐴: ℝ2 → ℝ /𝐴 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥𝑦
4. Si 𝑥, 𝑦, 𝑧 son las longitudes de un paralelepípedo entonces la
función 𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 𝑧 expresa el área lateral del
paralelepípedo.
i.e.
ϕ: ℝ3 → ℝ /𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 𝑧
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4
5. Si 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 representan los ingresos de n familias, entonces la
función
𝑛
1
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = ෍ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
expresa el ingreso promedio de las n familias, esto es
𝑛
1
𝑛
𝑓: ℝ → ℝ /𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = ෍ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
6. La demanda o volumen de ventas totales de un producto o artículo
es un número real, depende del precio a que se oferta en el
mercado y en muchos casos de factores adicionales tales como la
cantidad gastada por el productor (fabricante) en promocionar el
producto 𝑔 y los precios de los productos de la competencia 𝑐.
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5
Esta demanda se puede expresar como una función en tres
variables, tal como
𝐷: 𝑈 ⊂ ℝ3 → ℝ / 𝐷 𝑝, 𝑔, 𝑐 = 𝜆 𝜀 ℝ
7. El volumen de un globo inflado es un número real, depende de la
presión 𝑃 del aire y de la temperatura 𝑇 , el cual se puede expresar
como
𝑘. 𝑇
2
ϕ: ℝ → ℝ / 𝜙 𝑃, 𝑇 =
=𝜆𝜀ℝ
𝑃
Donde 𝑘 es una constante (Ley general de los gases ideales).
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6
Definición
Una función real de 𝑛-variables reales es un conjunto de pares
ordenados (𝑃, 𝜔) en la cual dos pares distintos no tienen el mismo
primer elemento.
i.e. 𝑓 es un campo escalar entonces
𝑓 = { 𝑃, 𝜔 / 𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 ℝ𝑛 , 𝜔 𝜀 ℝ}
Definición
Una función real de 𝑛-variables reales es una correspondencia de un
conjunto 𝐷 de vectores en ℝ𝑛 a un conjunto 𝐵 de números reales tal
que para cada vector 𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 𝐷 existe uno y solo un
elemento 𝑓(𝑃) 𝜀 𝐵.
El valor real de la función 𝑓 𝑃 se denota como 𝜔 = 𝑓 𝑃
i.e.
𝑓 es un campo escalar entonces
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃
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7
Notación
Si 𝑓 es un campo escalar entonces 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃
o 𝑓 = { 𝑃, 𝜔 / 𝑃 𝜀 ℝ𝑛 , 𝜔 𝜀 ℝ} con 𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 ℝ𝑛 donde
las variables 𝑥𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 se llaman argumentos o variables
independientes, 𝜔 se llama variable dependiente o contra dominio o
rango de 𝑓
Gráficamente
Si 𝑓 es un campo escalar entonces 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → 𝐵 ⊂ ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃
𝐷 ⊂ ℝ𝑛
𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
𝑓
ℝ
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8
Definición. (Función real en dos variables reales)
Si 𝑓 es un campo escalar entonces o es una función real en dos
variables reales tendremos que
𝑓 = { 𝑃, 𝜔
o
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2
o
𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2
𝑥1 , 𝑥2
Definición
/ 𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 𝜀 ℝ2 , 𝜔 𝜀 ℝ}
→ ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )
→ℝ
⟼ 𝜔 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )
Dado el subconjunto 𝐷 ⊂ ℝ2 y el conjunto de números reales ℝ
llamaremos función real en dos variables o función definida en 𝐷 de
ℝ2 o campo escalar en ℝ2 a toda correspondencia 𝑓 que asocias a
cada vector 𝑥1 , 𝑥2 𝜀 𝐷 ⊂ ℝ2 un único elemento 𝜔 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 𝜀 ℝ.
Nota.
Es común usar 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) cuando se trata de un campo escalar en ℝ2
y 𝜔 = 𝑓 𝑃 cuando se trata de un campo escalar en ℝ𝑛 con 𝑛 > 2.
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Ejemplos.
1. Si 𝑓: 𝐷 ⊂
𝑦
𝑓(1, 𝑥 )
ℝ2
→ ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑃 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥 2 +𝑦 2
,
2𝑥𝑦
hallar 𝑓(2,3) y
Resolución.
Asumiendo que 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 hallamos 𝑓 2,3 =
4+9
2(2)(3)
=
13
12
𝑦
𝑥
Ahora consideremos 𝑥 = 1 , 𝑦 = con lo cual podemos hallar
2
2 + 𝑦2
𝑦
𝑥
2+
2 + 𝑦2)
1
𝑦
𝑥(𝑥
2
2
𝑥 = 𝑥
𝑓 1,
=
=
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦
2
2𝑦
𝑥
2𝑥 𝑦
2(1) 𝑥
𝑥
2. Determinar 𝑓(𝑥), si 𝑓
𝑦
𝑥
=
𝑥 2 +𝑦 2
𝑦
, 𝑥, 𝑦 > 0
Resolución
Podemos escribir 𝑓
𝑦
𝑥
=
𝑥2
𝑦2
+1=
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1
𝑦2
𝑥2
+1
10
Haciendo 𝑢 =
𝑦
𝑥
tenemos 𝑓 𝑢 =
1
𝑢2
+1=
1+𝑢2
𝑢2
=
𝑢2 +1
𝑢2
𝑢2 + 1
=
𝑢
Tomando 𝑢 = 𝑥 tenemos 𝑓 𝑥 =
𝑥 2 +1
𝑥
3. Hallar 𝑓(𝑥, 𝑦) si 𝑓 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑦 2
Resolución
Haciendo el siguiente cambio de variable 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑣 = 𝑥 − 𝑦
1
Resolviendo el sistema 𝑢 + 𝑣 = 2𝑥 → 𝑥 = (𝑢 + 𝑣)
2
1
Reemplazando en la primera ecuación 𝑢 = 2 𝑢 + 𝑣 +
𝑦
1
→ 2𝑢 = 𝑢 + 𝑣 + 2𝑦 → 𝑦 = (𝑢 − 𝑣)
2
Reemplazando en la función dada:
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11
1
1
1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑢, 𝑣 = 𝑢 + 𝑣
𝑢 − 𝑣 + (𝑢 − 𝑣) 2
2
2
4
1 2
1
2
2
2
= 𝑢 − 𝑣 + 𝑢 − 2𝑢𝑣 + 𝑣 = 𝑢(𝑢 − 𝑣)
4
2
Haciendo 𝑢 = 𝑥 , 𝑣 = 𝑦 , se tiene:
1 2
𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 𝑥𝑦)
2
4. Sea 𝑧 = 𝑦 + 𝑓 𝑥 − 1 . Determinar las funciones 𝑓, 𝑧 si 𝑧 = 𝑥
para 𝑦 = 1
Resolución
Como 𝑧 = 𝑥 para 𝑦 = 1
→𝑥 =1+𝑓 𝑥−1 →𝑥−1=𝑓 𝑥−1
Haciendo 𝑢 = 𝑥 − 1 → 𝑓 𝑢 = (𝑢 + 1)2 −1
∴ 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥
Lo que implica que 𝑧 = 𝑦 + 𝑥 2 + 2𝑥
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CAMPO DE EXISTENCIA (CAMPO DE DEFINICIÓN)(CAMPO DE
VARIACIÓN)(CAMPO DE EXTENSIÓN) o SIMPLEMENTE DOMINIO DE
UNA FUNCIÓN REAL EN 𝒏 VARIABLES REALES
Definición.
Sea 𝜔 una función real de 𝑛 variables reales, se entiende por campo
de existencia de la función real de 𝑛 variables reales al conjunto de
puntos 𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 ℝ𝑛 que determinan la función dada, es
decir para los puntos en que la función toma valores reales
determinados
i.e.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑃 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 ℝ𝑛 /𝜔 = 𝑓 𝑃 𝜀ℝ está bien definida}
Particularmente
Si 𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑃 = 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 está bien definida}
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑃 𝜀 ℝ2 / ∃ 𝑧 𝜀 ℝ , 𝑧 = 𝑓 𝑃 está bien definida}
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𝐷𝑜𝑚 𝑓 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / ∃ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑧 𝜀 ℝ }
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑃 𝜀 𝐷 ⊂ ℝ2 / ∃ 𝑧 𝜀 ℝ , 𝑧 = 𝑓 𝑃 }
𝑀
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑥
𝑃(𝑥, 𝑦)
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𝐷 ⊂ ℝ2
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RANGO DE UNA FUNCIÓN EN VARIAS VARIABLES
𝑅𝑎𝑛𝑓 = {𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 ℝ / 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓}
o
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑓 𝑃 𝜀 ℝ / 𝑃 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓
o
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝜔 = 𝑓 𝑃 𝜀 ℝ / 𝑃 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓}
Particularmente 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝜔 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ / (𝑥, 𝑦) 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓}
COMO DETERMINAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
1°. Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es un polinomio en 𝑥 𝑒 𝑦 entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ2
2°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
3°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑃(𝑥, 𝑦) entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 sii 𝑃 𝑥, 𝑦 ≥ 0.
𝑃(𝑥,𝑦)
𝑄(𝑥,𝑦)
es una función racional entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑓
sii Q(𝑥, 𝑦) ≠ 0 sii 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 − {𝑄 𝑥, 𝑦 = 0}
4°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln[𝑃 𝑥, 𝑦 ] entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑓 sii 𝑃 𝑥, 𝑦 > 0.
5°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑃 𝑥, 𝑦 o 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑃 𝑥, 𝑦 donde
𝑃(𝑥, 𝑦) es un polinomio entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥, 𝑦) es todo ℝ2 .
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15
6°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑃 𝑥, 𝑦
sii 𝑃(𝑥, 𝑦) ≤ 1
entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦
7°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑃 𝑥, 𝑦
sii 𝑃(𝑥, 𝑦) ≤ 1
entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦
8°. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑃 𝑥, 𝑦 entonces 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 sii
𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2
Nota.
1. En los casos más elementales, el campo de existencia de la función
representa una parte finita o infinita del plano 𝑋𝑂𝑌 y limitada por
una curva o varias curvas lo que determina la frontera del campo.
2. Análogamente para 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 el campo de
existencia es un cuerpo determinado por el espacio 𝑂𝑋𝑌𝑍.
3. Por geometría analítica se sabe que 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 determina una
superficie en el espacio cuyas proyecciones sobre el plano 𝑋𝑂𝑌 es
el dominio de la función.
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IGUALDAD DE FUNCIONES
La igualdad de funciones vectoriales requiere, como en todo
tipo de funciones, igualdad de dominios e imágenes.
Sean𝑓: ℝ𝑛 → ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ,
𝑔: ℝ𝑛 → ℝ / 𝜔 = 𝑔 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛
dos funciones reales de variable vectoriales, entonces:
𝑖) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔
𝑓=𝑔↔ቊ
𝑖𝑖) 𝑓 𝑋 = 𝑔 𝑋 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑋 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑖)
Esta relación cumple las conocidas propiedades reflexiva,
simétrica y transitiva que definen una relación de equivalencia
en el conjunto de las funciones vectoriales
Ejemplo 1.
Determinar si las siguientes funciones son iguales
𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
𝑔: ℝ2 → ℝ /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦
Resolución
En ese caso se tiene que 𝑓 = 𝑔, puesto que:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦 = g 𝑥, 𝑦 , ∀ 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ2
Ejemplo 2.
Determinar si las siguientes funciones son iguales
𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥 + 𝑦)2
g: ℝ2 → ℝ /z = f x, y = 2ln(𝑥 + 𝑦)
Resolución
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 + 𝑦 ≠ 0}
𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 + 𝑦 > 0}
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ≠ 𝐷𝑜𝑚 𝑔
Nótese que para ciertos valores de 𝑥 y 𝑦, la condición 𝑖𝑖) se cumple. En este caso
𝑓≠𝑔
Ejemplo
1. Hallar el campo de extensión y grafíquelo si
𝑓: ℝ2
→ ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥+𝑦+1
Resolución
Es una función escalar para la cual se definen:
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 + 𝑦 + 1 > 0}
𝑅𝑎𝑛 𝑓 𝑥, 𝑦 = {𝜔 𝜀 ℝ / ω > 0}
2. Hallar el campo de extensión y graficarlo si
𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 )
Resolución
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 /1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 > 0}
= { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 /𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 < 0}
Recordemos que 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 es la ecuación de una superficie
esférica con centro en el origen y radio 1, entonces se observa que el
dominio de 𝑓 es la región de puntos en ℝ3 que están al interior de la
superficie esférica, es decir, en la región del espacio que ella encierra.
Ejemplos.
3. Halla el campo de existencia, grafico de 𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 = 4𝑥 2 + 𝑦 2
y determine el rango
Resolución
La función tendrá valores reales para 4𝑥 2 ≥ 0 , 𝑦 2 ≥ 0 entonces
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 4𝑥 2 ≥ 0, 𝑦 2 ≥ 0 }
𝑅𝑎𝑛 𝑓 𝑥, 𝑦 = {𝑧 𝜀 ℝ / 𝑧 ≥ 0} = [0, ∞ >
Para ver su gráfico hagamos lo siguiente
Si 𝑥 = 0 entonces 𝑧 = 𝑦 2 parábola que se abre hacia arriba en eje 𝑧
Si 𝑦 = 0 entonces 𝑧 = 𝑥 2 parábola que se abre hacia arriba en eje 𝑧
Si 𝑧 = 0 entonces 0 = 4𝑥 2 + 𝑦 2 ↔ (𝑥, 𝑦)=(0,0) → 𝑧=(𝑥, 𝑦, 𝑧)=(0,0,0)
Si 𝑧 > 0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 4 → 4 =
4𝑥 2
+
𝑦2
→
2
𝑦
𝑥 2+
4
=1
𝑦
𝑧
𝑧
𝑦
𝑥
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2
−1
1
−2
𝑥
20
Juntemos los 4 gráficos nos dará un Paraboloide elíptico
Si 𝑧 > 0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 4 → 4 =
4𝑥 2
+
𝑦2
→
𝑧
2
𝑦
𝑥 2+
4
=1
−1
−2
4
1
2
−1
−2
2
𝑦
1
𝑥
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21
Ejemplos.
3. Halla el campo de existencia 𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 =
16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 .
Resolución
La función tendrá valores reales cuando 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0 entonces
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 42 }
4
Esta desigualdad satisfacen las coordenadas
de los puntos situados en el borde y dentro
del circulo de centro el origen y de radio 4.
−4
4
𝑅𝑎𝑛 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑧 𝜀 ℝ /0 ≤ 𝑧 ≤ 4 =
−4
𝐼𝑚𝑓 = [0,4]
4
−4
0
4
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22
4. Determinar el dominio e indicarlo gráficamente, si
𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 − 25).
Resolución
La función tendrá valores reales cuando (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 − 25) ≥ 0
entonces
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 − 25) ≥ 0 }
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / (𝑥 2 + 𝑦 2 − 16)(𝑥 2 + 𝑦 2 − 25) ≤ 0 }
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≤ 0 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 ≥ 0}
∨ { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≥ 0 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 ≤ 0}
= { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≤ 0 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 ≥ 0}
∨ { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≥ 0 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 25 ≤ 0}
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ52 / 16 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 25}
4
−5 −4
4 5
−4
−5
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5. Hallar el campo de existencia y graficarlo si
𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑦 2 − 4𝑥 + 8)
Resolución.
La función tendrá valores reales cuando 𝑦 2 − 4𝑥 + 8 > 0
entonces
𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 sii 𝑦 2 − 4𝑥 + 8 > 0
sii 𝑦 2 > 4(𝑥 − 2)
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = { 𝑥, 𝑦 𝜀 ℝ2 / (𝑦 − 0)2 > 4(𝑥 − 2)}
(2,0)
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6. Hallar el domino natural y trazar su gráfica de
𝑦
2
𝑓: ℝ → ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛
𝑥
Resolución
𝑦
𝑦
𝑦
(𝑥, 𝑦)𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑓 sii
≤ 1 sii −1 ≤ ≤ 1 sii −1 ≤ ∧
sii
𝑦
−1 −
𝑥
sii
𝑥+𝑦
𝑥
≤0 ∧
≥0∧
𝑥−𝑦
𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
𝑥
−𝑥−𝑦
𝑥
− 1 ≤ 0 sii
𝑥
≤0∧
𝑦−𝑥
𝑥
𝑦
𝑥
≤1
≤0
≥0
𝑥 + 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑥 > 0 ∨ (𝑥 + 𝑦 ≤ 0 ∧ 𝑥 < 0)
∧
sii ቐ
𝑥 − 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑥 > 0 ∨ (𝑥 − 𝑦 ≤ 0 ∧ 𝑥 < 0)
Geométricamente lo visualizamos
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25
𝑥−𝑦=0
𝑥+𝑦=0
7. Hallar el campo de extensión y graficarlo si
𝑥
2
𝑓: ℝ → ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝑥𝑦
2
Resolución
Se trata de una suma de funciones entonces 𝑧 = ℎ 𝑥 + 𝑔(𝑥, 𝑦)
Por lo tanto 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐷𝑜𝑚 𝑧 = 𝐷𝑜𝑚 ℎ 𝑥 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑥 𝜀 𝐷𝑜𝑚 ℎ sii
𝑥
2
≤ 1 sii −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 sii 𝑥 𝜀 −2,2
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26
𝑥 ≥0 ∧𝑦 ≥0
∨
𝑥 𝜀 𝐷𝑜𝑚 𝑔 sii 𝑥𝑦 ≥ 0 sii ቐ
𝑥 ≤0 ∧𝑦 ≤0
𝑥 𝜀 −2,2 ∩ [𝑥 ≥ 0 ∩ 𝑦 ≥ 0]
∨
∴ 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑓 sii ቐ
𝑥 𝜀 −2,2 ∩ 𝑥 ≤ 0 ∩ 𝑦 ≤ 0]
−2
2
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27
8. Halla el campo de existencia y graficarlo
2
𝑓: ℝ
→ℝ /𝑧 =
𝑥 2 −𝑦
.
𝑥 2 +𝑦 2 −16
Resolución
𝑥 2 −𝑦
La función tendrá valores reales cuando 2 2
≥ 0 entonces
𝑥 +𝑦 −16
𝑥 2 −𝑦
2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥, 𝑦 = { 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ / 𝑥 2 +𝑦2 −16 ≥ 0}
= { 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ2 / (𝑥 2 − 𝑦) ≥ 0 ∧ (𝑥 2 +𝑦 2 − 16) > 0} ∨
{ 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ2 / (𝑥 2 − 𝑦) ≤ 0 ∧ (𝑥 2 +𝑦 2 − 16) < 0}
= { 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ2 / (𝑥 2 ≥ 𝑦) ∧ (𝑥 2 +𝑦 2 > 16)} ∨
{ 𝑥, 𝑦 𝜀ℝ2 / (𝑥 2 ≤ 𝑦) ∧ (𝑥 2 +𝑦 2 < 16)}
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE 𝒏 VARIABLES REALES
Definición
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ / 𝜔 = 𝑓 𝑃 un campo escalar definida en 𝐷.
Definimos la gráfica de 𝑓 como un sub conjunto de ℝ𝑛+1 denotado
por:
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
ε ℝ𝑛+1 /(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ε 𝐷}
o
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { 𝑃, 𝜔 ε ℝ𝑛+1 /𝑃𝜀𝐷 ⊂ ℝ𝑛 }
Nota.
1. Para 𝑛 = 1, la gráfica es intuitivamente hablando una curva
2. Para 𝑛 = 2 , la gráfica es una superficie
Particularmente
Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , la grafica de 𝑓 esta dado por
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 ε ℝ3 / 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚𝑓}
o
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ε ℝ3 / 𝑥, 𝑦 𝜀 𝐷𝑜𝑚𝑓}
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ALGUNAS GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦
Si trazamos los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 ) en el espacio ℝ3 obtendremos
superficies de diferentes formas, unas conocidas y simples otras
complicadas en ellas se recomienda usar computadora
Ejemplos
1. Hallar la gráfica de la función 𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 = −𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑐
Resolución
La gráfica es un plano en ℝ3 𝑧
(0,0, 𝑐)
𝑐
( , 0,0)
𝑎
𝑥
𝑐
(0, , 0)
𝑏
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𝑦
30
2. Hallar la gráfica de la función 𝑓: ℝ2 → ℝ /𝑧 =
𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2
Resolución
La gráfica es una semiesfera (parte superior) en ℝ3
𝑧
𝑎
𝑎
𝑦
𝑥
3. Determinar la graficar de 𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑘
Resolución
3
La gráfica es un plano en ℝ
paralelo al plano 𝑋𝑌
𝑧
𝑧=𝑘
𝑘
𝑦
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𝑥
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4. Determinar la grafica de 𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑧
Resolución.
La gráfica es un paraboloide
𝑦
𝑥
5. Determinar la grafica de 𝑓: ℝ2 → ℝ / 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2
𝑧
Resolución
𝑦
La gráfica es un paraboloide
Hiperbólico o silla de mono
o silla de montar
𝑥
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32