Coordenadas Polares

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Escuela Básica de Ingeniería
Departamento de Cálculo
Curvas Polares
Prof. Derwis Rivas Olivo
1. Representar los siguientes puntos dados en coordenadas polares
1
b) [1, π]
2
1
a) [1, π]
3
5
e) [4, π]
4
1
c) [−1, π]
3
1
g) [− , π]
2
f ) [−2, 0]
1
d) [−1, − π]
3
1 2
h) [ , π]
3 3
2. Hallar las coordenadas rectangulares de cada uno de los siguientes puntos
1
a) [3, π]
2
1
b) [4, π]
6
c) [−1, −π]
1
d) [−1, π]
4
1
e) [−3, − π]
3
f ) [2, 0]
1
g) [3, − π]
2
h) [2, 3π]
3. Los siguientes puntos vienen dados en coordenadas rectangulares. Hallar, para cada punto,
todas las coordenadas polares posibles
a) (0, 1)
b) (1, 0)
e) (2, −2)
√
f ) (3, −3 3)
c) (−3, 0)
√
g) (4 3, 4)
d) (4, 4)
√
h) ( 3, −1)
4. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas polares
p
a) x = 2
b) x2 + y 2 + x = x2 + y 2
2
2
2
d) x + (y − 2) = 4
2
2
e) (x − a) + y = a
2 2
2
g) (x + y ) = 2xy
2 2
2
2
h) (x + y ) = x − y
c) 2xy = 1
f) y = 3
2
i) x2 − y 2 = 4
5. Escribir la ecuación en coordenadas rectangulares e identificarla
a) rsenθ = 4
b) r cos θ = 4
d) r = 4sen(θ + π)
3
g) r =
2 − cos θ
senθ
j) r =
cos2 θ
e) r = 3 cos θ
6
h) r =
1 + 2senθ
−2
k) r =
senθ
1 2
π
9
f ) tan θ = 2
c) θ2 =
i) r2 =
2
1 + sen2 θ
l) r2 cos(2θ) = 2
6. Identificar y dibujar cada una de las siguientes curvas dadas en coordenadas polares
a) r = 3 cos θ
e) r = 8 cos 3θ
i) r = 2 + 4senθ
m) r = 2 + 4 cos θ
b) r = sen3θ
2
f ) r = 4 cos 2θ
2
j) r = −16sen2θ
n) r = 2 + 2 cos θ
c) r2 = sen2θ
g) r = 2 − cos θ
2θ
k) r = e
o) r = −2senθ
d) r = 4(1 − senθ)
h) r = 1 + 2 cos θ
l) r = sen2θ
p) r csc θ = 3
7. Calcular el área limitada por los siguientes elementos.
π
4
(a) r = cos θ, r = senθ y los rayos θ = 0, θ =
(b) r = 2 cos θ, r = cos θ y los rayos θ = 0, θ =
π
4
(c) r = 1 + cos θ, r = cos θ y los rayos θ = 0, θ =
π
2
8. Encuentra el área en cada caso.
(a) Fuera de r =
3
2
− senθ, pero dentro de r = 2senθ.
(b) Fuera de r = 2senθ, pero dentro de r =
(c) A la vez dentro de r =
3
2
3
2
− senθ.
− senθ y r = 2senθ.
9. Expresa (sin calcular) el área en cada caso.
(a) Fuera de r = 2, pero dentro de r = 4senθ.
(b) Fuera de r = 1 − cosθ pero dentro de r = 1 + cos θ.
(c) Dentro de r = 4 y a la derecha de r = 2 sec θ.
(d) Dentro de r = 2, pero fuera de r = 4 cos θ.
(e) Dentro de r = 4 y entre las rectas θ =
π
2
y r = 2 sec θ.
(f) Dentro del lazo interno de r = 1 − 2senθ.
(g) Fuera del lazo interno y dentro del lazo externo de r = 1 − 2senθ.
(h) Dentro de un pétalo de r = 2sen3θ.
(i) Dentro de r = 1 + cos θ, pero dentro de r = 2 − cos θ.
(j) A la vez dentro de r = 1 − senθ y de r = senθ.
(k) Fuera de r = cos 2θ, pero dentro de r = 1.